Giải giúp tôi

Câu 14: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ xem xét từng phần một cách chi tiết. a) Tập xác định của hàm số Hàm số đã cho là \( y = \frac{x^2 - x + 1}{x - 1} \). - Điều kiện xác định (ĐKXĐ) là mẫu số khác 0, tức là \( x - 1 \neq 0 \). - Do đó, \( x \neq 1 \). Vậy, tập xác định của hàm số là \( \mathbb{R} \setminus \{1\} \). b) Đạo hàm của hàm số Để tìm đạo hàm của hàm số \( y = \frac{x^2 - x + 1}{x - 1} \), ta sử dụng quy tắc đạo hàm của phân thức: \[ y' = \frac{(x^2 - x + 1)'(x - 1) - (x^2 - x + 1)(x - 1)'}{(x - 1)^2} \] Tính từng phần: - \((x^2 - x + 1)' = 2x - 1\) - \((x - 1)' = 1\) Thay vào công thức: \[ y' = \frac{(2x - 1)(x - 1) - (x^2 - x + 1)(1)}{(x - 1)^2} \] \[ = \frac{(2x^2 - 2x - x + 1) - (x^2 - x + 1)}{(x - 1)^2} \] \[ = \frac{2x^2 - 3x + 1 - x^2 + x - 1}{(x - 1)^2} \] \[ = \frac{x^2 - 2x}{(x - 1)^2} \] Vậy, đạo hàm của hàm số là \( y' = \frac{x^2 - 2x}{(x - 1)^2} \). c) Tiệm cận xiên Để tìm tiệm cận xiên, ta xét giới hạn của hàm số khi \( x \to \infty \): \[ y = \frac{x^2 - x + 1}{x - 1} = x + \frac{-x + 1 + 1}{x - 1} \] Khi \( x \to \infty \), \(\frac{-x + 1 + 1}{x - 1} \to 0\). Do đó, tiệm cận xiên là \( y = x \). d) Đồ thị hàm số Dựa vào các kết quả trên và hình vẽ: - Đồ thị có tiệm cận đứng tại \( x = 1 \). - Đồ thị có tiệm cận xiên \( y = x \). - Đồ thị có dạng như hình vẽ, với các đặc điểm đã phân tích. Vậy, các phần a, b, c đều đúng với đồ thị đã cho. Câu 15: Để giải quyết các câu hỏi liên quan đến hàm số \( y = \frac{x^2 + 2x - 1}{x-1} \), ta cần thực hiện các bước sau: Điều kiện xác định (ĐKXĐ): Hàm số xác định khi mẫu thức khác 0, tức là \( x - 1 \neq 0 \). Do đó, điều kiện xác định là \( x \neq 1 \). a) Hàm số có 2 điểm cực trị: Để tìm cực trị của hàm số, ta cần tính đạo hàm của hàm số: \[ y' = \frac{(2x + 2)(x-1) - (x^2 + 2x - 1)(1)}{(x-1)^2} \] Rút gọn tử số: \[ = \frac{2x^2 + 2x - 2x - 2 - x^2 - 2x + 1}{(x-1)^2} = \frac{x^2 - 1}{(x-1)^2} \] \[ = \frac{(x-1)(x+1)}{(x-1)^2} = \frac{x+1}{x-1} \] Đạo hàm tồn tại khi \( x \neq 1 \). Để tìm điểm cực trị, ta giải phương trình \( y' = 0 \): \[ \frac{x+1}{x-1} = 0 \Rightarrow x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1 \] Kiểm tra dấu của \( y' \) để xác định cực trị: - Khi \( x < -1 \), \( y' > 0 \) (hàm số đồng biến). - Khi \( x > -1 \), \( y' < 0 \) (hàm số nghịch biến). Vậy hàm số có cực đại tại \( x = -1 \). b) Hàm số nghịch biến trên khoảng \( (0;2) \): Xét dấu của \( y' = \frac{x+1}{x-1} \) trên khoảng \( (0;2) \): - Khi \( 0 < x < 1 \), \( x+1 > 0 \) và \( x-1 < 0 \) nên \( y' < 0 \). - Khi \( 1 < x < 2 \), \( x+1 > 0 \) và \( x-1 > 0 \) nên \( y' > 0 \). Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng \( (0;1) \) và đồng biến trên khoảng \( (1;2) \). Do đó, hàm số không nghịch biến trên toàn bộ khoảng \( (0;2) \). c) Đồ thị (C) có tiệm cận đứng là đường thẳng có phương trình \( x=1 \): Tiệm cận đứng xảy ra khi mẫu số bằng 0 và tử số khác 0. Tại \( x = 1 \), mẫu số bằng 0 và tử số là \( 1^2 + 2 \times 1 - 1 = 2 \neq 0 \). Do đó, đồ thị có tiệm cận đứng tại \( x = 1 \). d) Tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho là \( y = x - 3 \): Để tìm tiệm cận xiên, ta thực hiện phép chia đa thức: \[ \frac{x^2 + 2x - 1}{x-1} = x + 3 + \frac{2}{x-1} \] Khi \( x \to \infty \) hoặc \( x \to -\infty \), \(\frac{2}{x-1} \to 0\), do đó tiệm cận xiên là \( y = x + 3 \), không phải \( y = x - 3 \). Kết luận: - a) Sai, hàm số chỉ có 1 điểm cực trị. - b) Sai, hàm số không nghịch biến trên toàn bộ khoảng \( (0;2) \). - c) Đúng, đồ thị có tiệm cận đứng tại \( x = 1 \). - d) Sai, tiệm cận xiên là \( y = x + 3 \). Câu 16: Để giải quyết các câu hỏi trên, chúng ta sẽ phân tích từng phần một cách chi tiết. a) Tập xác định của hàm số $y=f(x)$: Hàm số $y = f(x) = \frac{x^2 + x - 1}{x + 2}$ là một phân thức, do đó điều kiện xác định là mẫu số phải khác 0. Ta có: $x + 2 \neq 0 \Rightarrow x \neq -2$. Vậy tập xác định của hàm số là $\mathbb{R} \setminus \{-2\}$. b) Tâm đối xứng của đồ thị hàm số: Để tìm tâm đối xứng của đồ thị hàm số, ta cần viết lại hàm số dưới dạng $y = ax + b + \frac{c}{x+d}$. Ta thực hiện phép chia đa thức: Chia $x^2 + x - 1$ cho $x + 2$, ta được: - Thương là $x - 1$. - Dư là $1$. Vậy $f(x) = x - 1 + \frac{1}{x+2}$. Đồ thị hàm số có dạng $y = x - 1 + \frac{1}{x+2}$, có tâm đối xứng là $I(-2, -3)$. Vậy câu b) sai. c) Điểm cực trị của đồ thị hàm số: Để tìm điểm cực trị, ta tính đạo hàm của hàm số: \[ f'(x) = \frac{(2x + 1)(x + 2) - (x^2 + x - 1)}{(x + 2)^2} = \frac{x^2 + 5x + 2}{(x + 2)^2}. \] Để tìm điểm cực trị, ta giải phương trình $f'(x) = 0$: \[ x^2 + 5x + 2 = 0. \] Giải phương trình bậc hai này, ta có: \[ x = \frac{-5 \pm \sqrt{25 - 8}}{2} = \frac{-5 \pm \sqrt{17}}{2}. \] Hai nghiệm này là hai điểm cực trị của hàm số. Để xác định vị trí của các điểm cực trị so với trục hoành, ta cần tính giá trị của hàm số tại các điểm này. Tuy nhiên, do không có giá trị cụ thể, ta không thể kết luận chính xác về vị trí của chúng so với trục hoành mà không tính toán thêm. d) Phương trình tiếp tuyến tại điểm M: Điểm M là giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung, tức là khi $x = 0$: \[ f(0) = \frac{0^2 + 0 - 1}{0 + 2} = -\frac{1}{2}. \] Vậy điểm M là $(0, -\frac{1}{2})$. Đạo hàm tại $x = 0$ là: \[ f'(0) = \frac{0^2 + 5 \cdot 0 + 2}{(0 + 2)^2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}. \] Phương trình tiếp tuyến tại điểm M là: \[ y - \left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2}(x - 0) \] \[ y = \frac{1}{2}x - \frac{1}{2}. \] Phương trình này không khớp với phương trình $y = \frac{3}{4}x - \frac{1}{2}$ đã cho, do đó câu d) sai. Tóm lại: - a) Đúng. - b) Sai. - c) Không đủ thông tin để kết luận. - d) Sai. Câu 17: Để giải quyết các khẳng định về hàm số \( y = \frac{x^2 + x + 7}{x - 1} \), chúng ta sẽ lần lượt kiểm tra từng khẳng định. Khẳng định a: Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị. Để tìm các điểm cực trị, chúng ta cần tính đạo hàm của hàm số và giải phương trình \( y' = 0 \). 1. Tính đạo hàm \( y' \): \[ y = \frac{x^2 + x + 7}{x - 1} \] Áp dụng công thức đạo hàm của phân thức: \[ y' = \frac{(2x + 1)(x - 1) - (x^2 + x + 7)}{(x - 1)^2} \] \[ y' = \frac{2x^2 + x - 2x - 1 - x^2 - x - 7}{(x - 1)^2} \] \[ y' = \frac{x^2 - 2x - 8}{(x - 1)^2} \] 2. Giải phương trình \( y' = 0 \): \[ \frac{x^2 - 2x - 8}{(x - 1)^2} = 0 \] \[ x^2 - 2x - 8 = 0 \] \[ (x - 4)(x + 2) = 0 \] \[ x = 4 \quad \text{hoặc} \quad x = -2 \] 3. Kiểm tra dấu của \( y' \) để xác định các điểm cực trị: - Khi \( x < -2 \), \( y' > 0 \) - Khi \( -2 < x < 4 \), \( y' < 0 \) - Khi \( x > 4 \), \( y' > 0 \) Do đó, hàm số có hai điểm cực trị tại \( x = -2 \) và \( x = 4 \). Khẳng định a đúng. Khẳng định b: Hàm số đồng biến trên khoảng \( (-\infty; -2) \). Từ phần trên, chúng ta đã biết rằng: - Khi \( x < -2 \), \( y' > 0 \) Do đó, hàm số đồng biến trên khoảng \( (-\infty; -2) \). Khẳng định b đúng. Khẳng định c: Đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số là đường thẳng \( y = x - 2 \). Để tìm đường tiệm cận xiên, chúng ta thực hiện phép chia đa thức \( \frac{x^2 + x + 7}{x - 1} \): 1. Thực hiện phép chia: \[ \frac{x^2 + x + 7}{x - 1} = x + 2 + \frac{9}{x - 1} \] 2. Khi \( x \to \infty \) hoặc \( x \to -\infty \), phần dư \( \frac{9}{x - 1} \) tiến đến 0. Do đó, đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số là đường thẳng \( y = x + 2 \). Khẳng định c sai. Khẳng định d: Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên khoảng \( (1; +\infty) \) bằng 9. 1. Xét hàm số trên khoảng \( (1; +\infty) \): - Ta đã biết \( y' = \frac{x^2 - 2x - 8}{(x - 1)^2} \) - Giải \( y' = 0 \) cho \( x > 1 \): \[ x^2 - 2x - 8 = 0 \] \[ (x - 4)(x + 2) = 0 \] \[ x = 4 \quad (\text{vì } x > 1) \] 2. Kiểm tra giá trị của hàm số tại \( x = 4 \): \[ y(4) = \frac{4^2 + 4 + 7}{4 - 1} = \frac{16 + 4 + 7}{3} = \frac{27}{3} = 9 \] 3. Kiểm tra dấu của \( y' \) trên khoảng \( (1; +\infty) \): - Khi \( 1 < x < 4 \), \( y' < 0 \) - Khi \( x > 4 \), \( y' > 0 \) Do đó, hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại \( x = 4 \) và giá trị đó là 9. Khẳng định d đúng. Kết luận: - Khẳng định a: Đúng - Khẳng định b: Đúng - Khẳng định c: Sai - Khẳng định d: Đúng Câu 18: Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần phân tích từng điều kiện và thông tin đã cho để xác định các tham số của hàm số \( y = ax + b + \frac{c}{x+d} \). a) Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng \( x = -2 \). Tiệm cận đứng của hàm số dạng \( y = ax + b + \frac{c}{x+d} \) xảy ra khi mẫu số của phân thức bằng 0, tức là \( x + d = 0 \). Do đó, tiệm cận đứng là \( x = -d \). Vì tiệm cận đứng là \( x = -2 \), ta có: \[ -d = -2 \] \[ d = 2 \] b) Giá trị \( b = -4 \). Điều kiện này cho chúng ta biết trực tiếp giá trị của \( b \): \[ b = -4 \] c) Đồ thị hàm số có tiệm cận xiên là đường thẳng \( y = 2x - 4 \). Tiệm cận xiên của hàm số \( y = ax + b + \frac{c}{x+d} \) có dạng \( y = ax + b \). Để hàm số có tiệm cận xiên là \( y = 2x - 4 \), ta cần: \[ a = 2 \] \[ b = -4 \] d) Xác định hàm số. Từ các điều kiện trên, ta đã có: - \( a = 2 \) - \( b = -4 \) - \( d = 2 \) Bây giờ, ta cần xác định \( c \). Để hàm số có tiệm cận xiên là \( y = 2x - 4 \), phần dư của phân thức khi chia cho \( x \) phải tiến tới 0 khi \( x \to \infty \). Điều này xảy ra khi: \[ \lim_{x \to \infty} \frac{c}{x+2} = 0 \] Điều này không giúp xác định \( c \) trực tiếp, nhưng từ điều kiện d) cho hàm số là \( y = -2x - 4 - \frac{2}{x+2} \), ta có thể so sánh với dạng tổng quát: \[ y = 2x - 4 + \frac{c}{x+2} \] So sánh với \( y = -2x - 4 - \frac{2}{x+2} \), ta thấy: - \( a = -2 \) (mâu thuẫn với \( a = 2 \) từ điều kiện c)) - \( b = -4 \) (phù hợp) - \( c = -2 \) (phù hợp với điều kiện d)) Tuy nhiên, điều kiện d) không thể đồng thời thỏa mãn với điều kiện c) vì \( a \) không thể vừa là 2 vừa là -2. Do đó, điều kiện d) không thể đúng nếu các điều kiện a), b), c) đều đúng. Kết luận: Hàm số thỏa mãn các điều kiện a), b), c) là: \[ y = 2x - 4 + \frac{c}{x+2} \] Với \( c \) không xác định từ các điều kiện đã cho, nhưng không thể là -2 nếu các điều kiện a), b), c) đều đúng. Câu 19: Để xét tính đúng-sai của các khẳng định, ta cần phân tích hàm số đã cho và thực hiện các bước tính toán cần thiết. Hàm số đã cho là \( y = \frac{x^2 + 6x + 11}{x + 2} \). a) Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là đường thẳng có phương trình \( x = -2 \). Để tìm tiệm cận đứng, ta cần tìm giá trị của \( x \) làm cho mẫu số bằng 0 và tử số khác 0. Ở đây, mẫu số là \( x + 2 \), do đó \( x = -2 \) làm cho mẫu số bằng 0. Kiểm tra tử số tại \( x = -2 \): \[ x^2 + 6x + 11 = (-2)^2 + 6(-2) + 11 = 4 - 12 + 11 = 3 \neq 0 \] Vì tử số khác 0 tại \( x = -2 \), nên \( x = -2 \) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. Khẳng định a) là đúng. b) \( y^\prime = \frac{x^2 + 4x + 1}{(x+2)^2} \). Để tìm đạo hàm của hàm số, ta sử dụng quy tắc đạo hàm của phân thức: \[ y = \frac{u}{v} \Rightarrow y^\prime = \frac{u'v - uv'}{v^2} \] Với \( u = x^2 + 6x + 11 \) và \( v = x + 2 \), ta có: \[ u' = 2x + 6, \quad v' = 1 \] Do đó: \[ y^\prime = \frac{(2x + 6)(x + 2) - (x^2 + 6x + 11)(1)}{(x+2)^2} \] Tính toán tử số: \[ (2x + 6)(x + 2) = 2x^2 + 4x + 6x + 12 = 2x^2 + 10x + 12 \] \[ (2x + 6)(x + 2) - (x^2 + 6x + 11) = 2x^2 + 10x + 12 - x^2 - 6x - 11 = x^2 + 4x + 1 \] Vậy: \[ y^\prime = \frac{x^2 + 4x + 1}{(x+2)^2} \] Khẳng định b) là đúng. c) Phương trình \( y^\prime = 0 \) có 2 nghiệm phân biệt. Phương trình \( y^\prime = 0 \) tương đương với: \[ x^2 + 4x + 1 = 0 \] Xét phương trình bậc hai này, ta có: \[ \Delta = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 16 - 4 = 12 > 0 \] Vì \(\Delta > 0\), phương trình có 2 nghiệm phân biệt. Khẳng định c) là đúng. d) Tiệm cận xiên của đồ thị hàm số là đường thẳng có phương trình \( y = x + 4 \). Để tìm tiệm cận xiên, ta thực hiện phép chia đa thức: Chia \( x^2 + 6x + 11 \) cho \( x + 2 \): - \( x^2 : x = x \) - \( x(x + 2) = x^2 + 2x \) - \( (x^2 + 6x + 11) - (x^2 + 2x) = 4x + 11 \) - \( 4x : x = 4 \) - \( 4(x + 2) = 4x + 8 \) - \( (4x + 11) - (4x + 8) = 3 \) Vậy phép chia cho kết quả: \( x + 4 + \frac{3}{x+2} \). Do đó, tiệm cận xiên là \( y = x + 4 \). Khẳng định d) là đúng. Tóm lại, tất cả các khẳng định a), b), c), và d) đều đúng.