Giải giúp tôi

Câu 8: Để xét tính đúng sai của các mệnh đề, ta cần phân tích từng mệnh đề dựa trên đồ thị và tính chất của hàm số \( y = \frac{ax^2 + bx + c}{mx + n} \). a) Hàm số nghịch biến trên từng khoảng \((- \infty; -3)\). - Đồ thị cho thấy trên khoảng \((- \infty; -3)\), hàm số có xu hướng đi xuống từ trái qua phải. Điều này cho thấy hàm số nghịch biến trên khoảng này. Kết luận: Mệnh đề a đúng. b) Đồ thị hàm số có tâm đối xứng là điểm \( I(-1; 0) \). - Để đồ thị hàm số có tâm đối xứng tại \( I(-1; 0) \), hàm số phải có dạng đối xứng qua điểm này. Quan sát đồ thị, ta thấy đồ thị có dạng đối xứng qua điểm \( I(-1; 0) \). Kết luận: Mệnh đề b đúng. c) Đồ thị hàm số có tiệm cận xiên là đường thẳng \( y = x + 1 \). - Tiệm cận xiên của hàm số \( y = \frac{ax^2 + bx + c}{mx + n} \) có dạng \( y = \frac{a}{m}x + k \) với \( k = \frac{b - an/m}{m} \). - Để có tiệm cận xiên là \( y = x + 1 \), ta cần \(\frac{a}{m} = 1\) và \(k = 1\). Kết luận: Mệnh đề c đúng. d) Đồ thị hàm số có điểm cực tiểu là \((-3; -4)\). - Quan sát đồ thị, tại \( x = -3 \), hàm số đạt giá trị cực tiểu là \(-4\). Kết luận: Mệnh đề d đúng. Tóm lại, tất cả các mệnh đề a, b, c, d đều đúng. Câu 9: Để xét tính đúng sai của các mệnh đề, ta cần phân tích hàm số \( y = \frac{ax^2 + bx + c}{mx + n} \). a) Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là \( x = 1 \) Tiệm cận đứng xảy ra khi mẫu số bằng 0 và tử số khác 0. Do đó, ta cần giải phương trình: \[ mx + n = 0 \] Giả sử \( x = 1 \) là tiệm cận đứng, ta có: \[ m \cdot 1 + n = 0 \Rightarrow m + n = 0 \] Vậy mệnh đề a) đúng nếu \( m + n = 0 \). b) Tiệm cận xiên của đồ thị hàm số là \( y = x \) Tiệm cận xiên có dạng \( y = ax + b \) khi bậc của tử số lớn hơn bậc của mẫu số. Ở đây, bậc của tử số là 2 và bậc của mẫu số là 1, nên có tiệm cận xiên. Để tìm tiệm cận xiên, ta thực hiện phép chia: \[ \frac{ax^2 + bx + c}{mx + n} = ax + \frac{(b - an)x + c}{mx + n} \] Nếu tiệm cận xiên là \( y = x \), thì \( a = 1 \). Vậy mệnh đề b) đúng nếu \( a = 1 \). c) Điểm \( I(1;1) \) là tâm đối xứng của đồ thị hàm số Điểm \( I(x_0, y_0) \) là tâm đối xứng của đồ thị hàm số nếu: \[ f(x_0 + h) + f(x_0 - h) = 2y_0 \] Thay \( x_0 = 1 \) và \( y_0 = 1 \) vào, ta cần kiểm tra: \[ f(1 + h) + f(1 - h) = 2 \] Nếu điều này đúng, thì mệnh đề c) đúng. d) Điểm cực đại của đồ thị hàm số là \( (1;2) \) Điểm cực đại xảy ra khi đạo hàm của hàm số bằng 0 và đổi dấu từ dương sang âm. Đạo hàm của hàm số là: \[ y' = \frac{(2ax + b)(mx + n) - (ax^2 + bx + c)m}{(mx + n)^2} \] Giải phương trình \( y' = 0 \) để tìm điểm cực đại. Nếu \( x = 1 \) và \( y(1) = 2 \), thì mệnh đề d) đúng. Kết luận - Mệnh đề a) đúng nếu \( m + n = 0 \). - Mệnh đề b) đúng nếu \( a = 1 \). - Mệnh đề c) cần kiểm tra điều kiện đối xứng. - Mệnh đề d) cần kiểm tra điều kiện cực đại. Câu 10: Để xét tính đúng sai của các mệnh đề, ta cần phân tích đồ thị và hàm số đã cho. Hàm số có dạng \( y = \frac{ax^2 + bx + c}{mx + n} \). Điều kiện xác định (ĐKXĐ) Hàm số xác định khi \( mx + n \neq 0 \). Từ đồ thị, ta thấy có tiệm cận đứng tại \( x = 1 \), do đó \( mx + n = 0 \) khi \( x = 1 \). Vậy \( m \cdot 1 + n = 0 \) hay \( m + n = 0 \). Xét các mệnh đề: a) Hàm số nghịch biến trên từng khoảng \((-1;1)\) và \((1;3)\). - Từ đồ thị, ta thấy hàm số giảm trên các khoảng \((-1;1)\) và \((1;3)\). Do đó, mệnh đề này đúng. b) Đồ thị hàm số có điểm cực tiểu là \((3;7)\). - Từ đồ thị, tại \( x = 3 \), hàm số có giá trị \( y = 7 \) và đây là điểm cực tiểu. Do đó, mệnh đề này đúng. c) Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng \( x = -1 \). - Từ đồ thị, tiệm cận đứng là \( x = 1 \), không phải \( x = -1 \). Do đó, mệnh đề này sai. d) Đồ thị hàm số có điểm cực đại là \((-1;-1)\). - Từ đồ thị, tại \( x = -1 \), hàm số có giá trị \( y = -1 \) và đây là điểm cực đại. Do đó, mệnh đề này đúng. Kết luận: - Mệnh đề a: Đúng. - Mệnh đề b: Đúng. - Mệnh đề c: Sai. - Mệnh đề d: Đúng. Câu 11: Để giải quyết các yêu cầu của bài toán, ta cần phân tích từng phần một cách chi tiết. a) Đồ thị (C) có tiệm cận xiên là đường thẳng \( y = x + 1 \). Để tìm tiệm cận xiên của hàm số \( y = \frac{x^2 - x - 1}{x - 2} \), ta thực hiện phép chia đa thức: 1. Chia tử số \( x^2 - x - 1 \) cho mẫu số \( x - 2 \): \[ \begin{array}{r|l} x - 2 & x^2 - x - 1 \\ \hline x & x^2 - 2x \\ \hline & x + 1 \\ \end{array} \] Kết quả phép chia là \( x + 1 \) với số dư là \( 1 \). 2. Do đó, ta có: \[ y = x + 1 + \frac{1}{x-2} \] Khi \( x \to \infty \) hoặc \( x \to -\infty \), \( \frac{1}{x-2} \to 0 \), do đó tiệm cận xiên là \( y = x + 1 \). Kết luận: Đúng, đồ thị (C) có tiệm cận xiên là đường thẳng \( y = x + 1 \). b) Hàm số có giá trị nhỏ nhất trên khoảng \( (2;+\infty) \) là 5. Để tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số trên khoảng \( (2;+\infty) \), ta xét đạo hàm của hàm số: 1. Đạo hàm của hàm số \( y = \frac{x^2 - x - 1}{x - 2} \) là: \[ y' = \frac{(2x - 1)(x - 2) - (x^2 - x - 1)}{(x - 2)^2} \] \[ = \frac{2x^2 - 4x - x^2 + x + 2x - 4 - x^2 + x + 1}{(x - 2)^2} \] \[ = \frac{x^2 - 2x - 3}{(x - 2)^2} \] 2. Tìm nghiệm của \( y' = 0 \): \[ x^2 - 2x - 3 = 0 \Rightarrow (x - 3)(x + 1) = 0 \] \[ \Rightarrow x = 3 \text{ hoặc } x = -1 \] Trên khoảng \( (2;+\infty) \), chỉ có \( x = 3 \). 3. Xét dấu của \( y' \) trên khoảng \( (2; 3) \) và \( (3; +\infty) \): - Trên khoảng \( (2; 3) \), chọn \( x = 2.5 \), ta có \( y'(2.5) < 0 \). - Trên khoảng \( (3; +\infty) \), chọn \( x = 4 \), ta có \( y'(4) > 0 \). Vậy hàm số đạt cực tiểu tại \( x = 3 \). 4. Tính giá trị hàm số tại \( x = 3 \): \[ y(3) = \frac{3^2 - 3 - 1}{3 - 2} = \frac{9 - 3 - 1}{1} = 5 \] Kết luận: Đúng, hàm số có giá trị nhỏ nhất trên khoảng \( (2;+\infty) \) là 5, đạt được khi \( x = 3 \). c) Đồ thị (C) có hai điểm cực trị nằm về hai phía đối với trục Oy. Từ phần b), ta đã tìm được điểm cực trị \( x = 3 \). Điểm cực trị còn lại là \( x = -1 \). - Tại \( x = -1 \), tính giá trị hàm số: \[ y(-1) = \frac{(-1)^2 - (-1) - 1}{-1 - 2} = \frac{1 + 1 - 1}{-3} = -\frac{1}{3} \] - Tại \( x = 3 \), giá trị hàm số là 5. Hai điểm cực trị là \( (-1, -\frac{1}{3}) \) và \( (3, 5) \), nằm về hai phía của trục Oy. Kết luận: Đúng, đồ thị (C) có hai điểm cực trị nằm về hai phía đối với trục Oy. d) Hàm số nghịch biến trên khoảng \( (2;3) \). Từ phần b), ta đã xét dấu của \( y' \) trên khoảng \( (2; 3) \): - Trên khoảng \( (2; 3) \), \( y'(x) < 0 \). Kết luận: Đúng, hàm số nghịch biến trên khoảng \( (2;3) \). Tóm lại, tất cả các khẳng định a), b), c), d) đều đúng. Câu 12: Để giải quyết các khẳng định về hàm số \( y = f(x) = \frac{x^2 + x - 1}{x - 1} \), chúng ta sẽ kiểm tra từng phần một cách chi tiết. Khẳng định a) Đạo hàm \( f'(x) = \frac{x(x-2)}{(x-1)^2} \) với \( x \neq 1 \) Đầu tiên, chúng ta tính đạo hàm của \( f(x) \): \[ f(x) = \frac{x^2 + x - 1}{x - 1} \] Sử dụng quy tắc thương để tính đạo hàm: \[ f'(x) = \frac{(2x + 1)(x - 1) - (x^2 + x - 1)}{(x - 1)^2} \] \[ = \frac{2x^2 + x - 2x - 1 - x^2 - x + 1}{(x - 1)^2} \] \[ = \frac{x^2 - 2x}{(x - 1)^2} \] \[ = \frac{x(x - 2)}{(x - 1)^2} \] Vậy khẳng định a) đúng. Khẳng định b) Đường thẳng \( y = x - 2 \) là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số Để kiểm tra tiệm cận xiên, chúng ta cần tìm giới hạn của \( f(x) - (x - 2) \) khi \( x \to \infty \): \[ f(x) - (x - 2) = \frac{x^2 + x - 1}{x - 1} - (x - 2) \] \[ = \frac{x^2 + x - 1 - (x - 1)(x - 2)}{x - 1} \] \[ = \frac{x^2 + x - 1 - (x^2 - 3x + 2)}{x - 1} \] \[ = \frac{x^2 + x - 1 - x^2 + 3x - 2}{x - 1} \] \[ = \frac{4x - 3}{x - 1} \] Khi \( x \to \infty \): \[ \lim_{x \to \infty} \frac{4x - 3}{x - 1} = 4 \] Vậy đường thẳng \( y = x - 2 \) không phải là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số. Khẳng định b) sai. Khẳng định c) Hàm số có giá trị cực đại bằng 5 Để tìm giá trị cực đại, chúng ta cần tìm các điểm tới hạn bằng cách giải phương trình \( f'(x) = 0 \): \[ \frac{x(x - 2)}{(x - 1)^2} = 0 \] \[ x(x - 2) = 0 \] \[ x = 0 \text{ hoặc } x = 2 \] Kiểm tra giá trị của \( f(x) \) tại các điểm này: \[ f(0) = \frac{0^2 + 0 - 1}{0 - 1} = 1 \] \[ f(2) = \frac{2^2 + 2 - 1}{2 - 1} = \frac{4 + 2 - 1}{1} = 5 \] Vậy hàm số có giá trị cực đại bằng 5 tại \( x = 2 \). Khẳng định c) đúng. Khẳng định d) Giá trị lớn nhất của hàm số trên khoảng \( (-1; 1) \) bằng 1 Trên khoảng \( (-1; 1) \), chúng ta cần kiểm tra giá trị của \( f(x) \) tại các điểm biên và các điểm tới hạn trong khoảng này: \[ f(-1) = \frac{(-1)^2 + (-1) - 1}{-1 - 1} = \frac{1 - 1 - 1}{-2} = \frac{-1}{-2} = \frac{1}{2} \] \[ f(0) = 1 \] Vậy giá trị lớn nhất của hàm số trên khoảng \( (-1; 1) \) là 1. Khẳng định d) đúng. Kết luận Khẳng định a) đúng. Khẳng định b) sai. Khẳng định c) đúng. Khẳng định d) đúng. Câu 13: Để giải quyết các câu hỏi liên quan đến hàm số \( y = f(x) = \frac{x^2 + 3x}{x-1} \), chúng ta cần thực hiện các bước sau: Điều kiện xác định (ĐKXĐ) Hàm số xác định khi mẫu số khác 0, tức là \( x - 1 \neq 0 \). Do đó, điều kiện xác định là \( x \neq 1 \). a) Hàm số \( y = f(x) \) đồng biến trên khoảng \((- \infty; 1)\). Để kiểm tra tính đồng biến của hàm số trên khoảng \((- \infty; 1)\), ta cần tính đạo hàm của hàm số. Hàm số có dạng phân thức, nên ta sử dụng quy tắc đạo hàm của phân thức: \[ f'(x) = \frac{(2x + 3)(x - 1) - (x^2 + 3x)(1)}{(x-1)^2} \] Tính toán tử số: \[ (2x + 3)(x - 1) = 2x^2 - 2x + 3x - 3 = 2x^2 + x - 3 \] \[ (x^2 + 3x)(1) = x^2 + 3x \] Do đó, tử số của đạo hàm là: \[ 2x^2 + x - 3 - (x^2 + 3x) = x^2 - 2x - 3 \] Vậy đạo hàm là: \[ f'(x) = \frac{x^2 - 2x - 3}{(x-1)^2} \] Xét dấu của \( f'(x) \) trên khoảng \((- \infty; 1)\): - Phân tích \( x^2 - 2x - 3 = (x-3)(x+1) \). Trên khoảng \((- \infty; 1)\), xét dấu của \( (x-3)(x+1) \): - \( x+1 < 0 \) khi \( x < -1 \). - \( x-3 < 0 \) khi \( x < 3 \). Do đó, trên khoảng \((- \infty; 1)\), \( (x-3)(x+1) < 0 \) khi \( x \in (-1, 1) \). Vì \( (x-1)^2 > 0 \) với mọi \( x \neq 1 \), nên \( f'(x) < 0 \) trên khoảng \((-1, 1)\). Kết luận: Hàm số không đồng biến trên khoảng \((- \infty; 1)\). b) Giá trị cực đại của hàm số \( y = f(x) \) bằng 1. Để tìm cực trị, ta giải phương trình \( f'(x) = 0 \): \[ x^2 - 2x - 3 = 0 \] Giải phương trình bậc hai: \[ x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{2 \pm 4}{2} \] \[ x = 3 \quad \text{hoặc} \quad x = -1 \] Xét dấu của \( f'(x) \) quanh các điểm này: - \( f'(x) \) đổi dấu từ âm sang dương tại \( x = -1 \) (cực tiểu). - \( f'(x) \) đổi dấu từ dương sang âm tại \( x = 3 \) (cực đại). Tính \( f(3) \): \[ f(3) = \frac{3^2 + 3 \times 3}{3 - 1} = \frac{9 + 9}{2} = 9 \] Kết luận: Giá trị cực đại của hàm số là 9, không phải 1. c) Hàm số \( y = f(x) \) có 3 điểm cực trị. Hàm số chỉ có 2 điểm cực trị tại \( x = -1 \) và \( x = 3 \). Kết luận này là sai. d) Đồ thị hàm số có tiệm cận xiên tạo với 2 trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 8. Tìm tiệm cận xiên: \[ y = \frac{x^2 + 3x}{x-1} = x + 4 + \frac{4}{x-1} \] Tiệm cận xiên: \( y = x + 4 \). Giao điểm với trục hoành (\( y = 0 \)): \[ x + 4 = 0 \Rightarrow x = -4 \] Giao điểm với trục tung (\( x = 0 \)): \[ y = 4 \] Tam giác có đỉnh tại \((-4, 0)\), \((0, 4)\), và gốc tọa độ \((0, 0)\). Diện tích tam giác: \[ S = \frac{1}{2} \times \text{đáy} \times \text{chiều cao} = \frac{1}{2} \times 4 \times 4 = 8 \] Kết luận: Đúng, diện tích tam giác bằng 8. Tóm lại, chỉ có câu d) là đúng. Câu 14: Để tìm tập xác định của hàm số \( y = \frac{x^2 - x + 1}{x - 1} \), chúng ta cần đảm bảo rằng mẫu số khác 0 vì chia cho 0 là không xác định. Bước 1: Xác định điều kiện cho mẫu số: \[ x - 1 \neq 0 \] Bước 2: Giải bất phương trình trên: \[ x \neq 1 \] Bước 3: Kết luận tập xác định: Tập xác định của hàm số là tất cả các số thực ngoại trừ 1, tức là: \[ D = \mathbb{R} \setminus \{1\} \] Do đó, tập xác định của hàm số \( y = \frac{x^2 - x + 1}{x - 1} \) là: \[ \boxed{\mathbb{R} \setminus \{1\}} \]