Giải giúp tôi

Câu 1: a) Ta có $y'=\frac{x^2+2x-3}{(x+1)^2}.$ Xét dấu của $y'$ ta thấy $y'>0$ trên $(-\infty,-3)$ và $(1,+\infty)$ và $y'< 0$ trên $(-3,-1)$ và $(-1,1).$ Do đó, hàm số đồng biến trên $(-\infty,-3)$ và $(1,+\infty)$ và nghịch biến trên $(-3,-1)$ và $(-1,1).$ Suy ra hàm số không nghịch biến trên $(-3,1).$ Mệnh đề này sai. b) Hàm số đã cho có tiệm cận đứng là đường thẳng $x=-1$ và tiệm cận xiên là đường thẳng $y=x-1.$ Gọi $I(-1;-2)$ là tâm đối xứng của đồ thị hàm số. Thay $x=-1$ vào hàm số ta được $y=2.$ Suy ra $I(-1;-2)$ không phải là tâm đối xứng của đồ thị hàm số. Mệnh đề này sai. c) Ta có $\lim_{x\to \pm \infty}\left(\frac{x^2+3}{x+1}-(x-1)\right)=\lim_{x\to \pm \infty}\frac{4}{x+1}=0.$ Suy ra đồ thị hàm số có tiệm cận xiên là đường thẳng $y=x-1.$ Mệnh đề này sai. d) Ta có $\lim_{x\to -1^-}\frac{x^2+3}{x+1}=-\infty$ và $\lim_{x\to -1^+}\frac{x^2+3}{x+1}=+\infty.$ Suy ra đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng $x=-1.$ Mệnh đề này đúng. Câu 2: a) Ta có: \[ y' = \frac{(2x - 3)(x - 1) - (x^2 - 3x + 3)}{(x - 1)^2} = \frac{x^2 - 2x}{(x - 1)^2}. \] Do đó, mệnh đề này đúng. b) Vì \(\lim_{x \to 1^-} y = -\infty\) và \(\lim_{x \to 1^+} y = +\infty\), nên đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là \(x = 1\). Mệnh đề này đúng. c) Xét dấu của \(y'\): \[ y' = \frac{x(x - 2)}{(x - 1)^2}. \] Ta thấy \(y' < 0\) trên khoảng \((-\infty; 1)\) và \((1; 2)\), còn \(y' > 0\) trên khoảng \((2; +\infty)\). Do đó, hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 2\). Vậy mệnh đề này sai. d) Ta có: \[ \lim_{x \to \pm \infty} \left[ y - (ax + b) \right] = 0 \Leftrightarrow \lim_{x \to \pm \infty} \left( \frac{x^2 - 3x + 3}{x - 1} - ax - b \right) = 0 \] \[ \Leftrightarrow \lim_{x \to \pm \infty} \frac{(1 - a)x^2 + (-3 + a - b)x + 3 + b}{x - 1} = 0 \] \[ \Leftrightarrow \begin{cases} 1 - a = 0 \\ -3 + a - b = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a = 1 \\ b = -2 \end{cases}. \] Vậy đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho là \(y = x - 2\). Do đó, mệnh đề này sai. Câu 3: a) Ta có: \[ y' = 1 - \frac{4}{(x-1)^2} = \frac{(x-1)^2 - 4}{(x-1)^2} = \frac{x^2 - 2x + 1 - 4}{(x-1)^2} = \frac{x^2 - 2x - 3}{(x-1)^2}. \] Do đó, mệnh đề này sai. b) Vì \(\lim_{x \to 1^-} y = -\infty\) và \(\lim_{x \to 1^+} y = +\infty\), nên đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng là \(x = 1\). Mệnh đề này đúng. c) Ta có: \[ y' = 0 \Leftrightarrow x^2 - 2x - 3 = 0 \Leftrightarrow x = -1 \text{ hoặc } x = 3. \] Ta có \(y'' = \frac{-2(x-1)(x^2 - 2x - 3) - (x-1)^2(2x - 2)}{(x-1)^4}\). Tại \(x = -1\), ta có \(y''(-1) < 0\), suy ra hàm số đạt cực đại tại \(x = -1\). Tại \(x = 3\), ta có \(y''(3) > 0\), suy ra hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 3\). Do đó, mệnh đề này sai. d) Ta có: \[ \lim_{x \to \pm\infty} \left[ y - (x + 1) \right] = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{4}{x - 1} = 0. \] Suy ra đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số là \(y = x + 1\). Mệnh đề này đúng. Câu 4: Để xét tính đúng sai của các mệnh đề liên quan đến hàm số \( y = \frac{x^2 + 3}{x - 1} \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Tìm tập xác định Hàm số \( y = \frac{x^2 + 3}{x - 1} \) có mẫu số \( x - 1 \neq 0 \), do đó: \[ x \neq 1 \] Tập xác định của hàm số là: \[ D = \mathbb{R} \setminus \{1\} \] Bước 2: Tính đạo hàm Để xét tính đồng biến và nghịch biến của hàm số, chúng ta cần tính đạo hàm \( y' \). \[ y = \frac{x^2 + 3}{x - 1} \] Sử dụng quy tắc đạo hàm của phân thức: \[ y' = \frac{(x^2 + 3)'(x - 1) - (x^2 + 3)(x - 1)'}{(x - 1)^2} \] \[ y' = \frac{(2x)(x - 1) - (x^2 + 3)(1)}{(x - 1)^2} \] \[ y' = \frac{2x^2 - 2x - x^2 - 3}{(x - 1)^2} \] \[ y' = \frac{x^2 - 2x - 3}{(x - 1)^2} \] \[ y' = \frac{(x - 3)(x + 1)}{(x - 1)^2} \] Bước 3: Xét dấu của đạo hàm Để xét tính đồng biến và nghịch biến, chúng ta cần xét dấu của \( y' \). \[ y' = \frac{(x - 3)(x + 1)}{(x - 1)^2} \] - \( (x - 3) \) đổi dấu tại \( x = 3 \) - \( (x + 1) \) đổi dấu tại \( x = -1 \) - \( (x - 1)^2 \) luôn dương ngoại trừ tại \( x = 1 \) Bảng xét dấu của \( y' \): | Khoảng | \( x - 3 \) | \( x + 1 \) | \( (x - 1)^2 \) | \( y' \) | |----------------|--------------|--------------|-------------------|-----------| | \( (-\infty, -1) \) | - | - | + | + | | \( (-1, 1) \) | - | + | + | - | | \( (1, 3) \) | - | + | + | - | | \( (3, \infty) \) | + | + | + | + | Bước 4: Xét tính đúng sai của các mệnh đề Mệnh đề a: Hàm số nghịch biến trên từng khoảng \((-1;1)\) và \((1;3)\). - Từ bảng xét dấu, ta thấy \( y' < 0 \) trên cả hai khoảng \((-1;1)\) và \((1;3)\). - Do đó, hàm số nghịch biến trên cả hai khoảng này. Mệnh đề a đúng. Mệnh đề b: Đồ thị hàm số có tâm đối xứng là điểm \( I(1;2) \). - Để kiểm tra tâm đối xứng, ta cần kiểm tra tính chất \( f(1 + t) + f(1 - t) = 4 \) (vì \( I(1;2) \)). - Thay \( x = 1 + t \) và \( x = 1 - t \) vào hàm số: \[ f(1 + t) = \frac{(1 + t)^2 + 3}{t} = \frac{1 + 2t + t^2 + 3}{t} = \frac{t^2 + 2t + 4}{t} = t + 2 + \frac{4}{t} \] \[ f(1 - t) = \frac{(1 - t)^2 + 3}{-t} = \frac{1 - 2t + t^2 + 3}{-t} = \frac{t^2 - 2t + 4}{-t} = -t + 2 - \frac{4}{t} \] - Cộng lại: \[ f(1 + t) + f(1 - t) = (t + 2 + \frac{4}{t}) + (-t + 2 - \frac{4}{t}) = 4 \] - Do đó, đồ thị hàm số có tâm đối xứng là điểm \( I(1;2) \). Mệnh đề b đúng. Mệnh đề c: Đồ thị hàm số có tiệm cận xiên là đường thẳng \( y = x - 1 \). - Tiệm cận xiên của hàm số \( y = \frac{x^2 + 3}{x - 1} \) là đường thẳng \( y = ax + b \) sao cho: \[ \lim_{x \to \infty} \left( \frac{x^2 + 3}{x - 1} - (ax + b) \right) = 0 \] - Chia đa thức: \[ \frac{x^2 + 3}{x - 1} = x + 1 + \frac{4}{x - 1} \] - Khi \( x \to \infty \), \( \frac{4}{x - 1} \to 0 \), nên tiệm cận xiên là \( y = x + 1 \). Mệnh đề c sai. Mệnh đề d: Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là \( x = 1 \). - Vì \( x = 1 \) làm mẫu số bằng 0 và không thể triệt tiêu, nên \( x = 1 \) là tiệm cận đứng. Mệnh đề d đúng. Kết luận - Mệnh đề a: Đúng - Mệnh đề b: Đúng - Mệnh đề c: Sai - Mệnh đề d: Đúng Câu 5: Để xét tính đúng sai của các mệnh đề, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Mệnh đề a: Hàm số đồng biến trên từng khoảng \((- \infty; -1)\) và \((3; +\infty)\). Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm số Hàm số \( f(x) = \frac{x^2 + x + 2}{x - 1} \). Sử dụng công thức đạo hàm của phân thức: \[ f'(x) = \frac{(2x + 1)(x - 1) - (x^2 + x + 2)}{(x - 1)^2} \] Tính tử số: \[ (2x + 1)(x - 1) - (x^2 + x + 2) = 2x^2 - 2x + x - 1 - x^2 - x - 2 = x^2 - 2x - 3 \] Do đó: \[ f'(x) = \frac{x^2 - 2x - 3}{(x - 1)^2} \] Bước 2: Xác định dấu của đạo hàm Xét dấu của \( f'(x) \): \[ f'(x) = \frac{x^2 - 2x - 3}{(x - 1)^2} \] Phân tích tử số: \[ x^2 - 2x - 3 = (x - 3)(x + 1) \] Do đó: \[ f'(x) = \frac{(x - 3)(x + 1)}{(x - 1)^2} \] Xét dấu của \( f'(x) \) trên các khoảng: - Trên khoảng \((- \infty; -1)\): \( (x - 3) < 0 \) và \( (x + 1) < 0 \), nên \( f'(x) > 0 \). - Trên khoảng \((-1; 1)\): \( (x - 3) < 0 \) và \( (x + 1) > 0 \), nên \( f'(x) < 0 \). - Trên khoảng \((1; 3)\): \( (x - 3) < 0 \) và \( (x + 1) > 0 \), nên \( f'(x) < 0 \). - Trên khoảng \((3; +\infty)\): \( (x - 3) > 0 \) và \( (x + 1) > 0 \), nên \( f'(x) > 0 \). Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng \((- \infty; -1)\) và \((3; +\infty)\). Mệnh đề a đúng. Mệnh đề b: Điểm cực đại của đồ thị hàm số là \((3; 7)\). Bước 1: Xác định điểm cực trị Từ đạo hàm đã tìm được: \[ f'(x) = \frac{(x - 3)(x + 1)}{(x - 1)^2} \] Điểm cực trị xảy ra khi \( f'(x) = 0 \): \[ (x - 3)(x + 1) = 0 \] \[ x = 3 \text{ hoặc } x = -1 \] Bước 2: Kiểm tra giá trị tại các điểm này - Tại \( x = 3 \): \[ f(3) = \frac{3^2 + 3 + 2}{3 - 1} = \frac{9 + 3 + 2}{2} = \frac{14}{2} = 7 \] - Tại \( x = -1 \): \[ f(-1) = \frac{(-1)^2 + (-1) + 2}{-1 - 1} = \frac{1 - 1 + 2}{-2} = \frac{2}{-2} = -1 \] Bước 3: Xác định điểm cực đại - Tại \( x = 3 \), \( f'(x) \) đổi dấu từ âm sang dương, nên \( x = 3 \) là điểm cực tiểu. - Tại \( x = -1 \), \( f'(x) \) đổi dấu từ dương sang âm, nên \( x = -1 \) là điểm cực đại. Mệnh đề b sai. Mệnh đề c: Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn \([2; 5]\) là 7. Bước 1: Xác định giá trị tại các điểm đầu và cuối đoạn - Tại \( x = 2 \): \[ f(2) = \frac{2^2 + 2 + 2}{2 - 1} = \frac{4 + 2 + 2}{1} = 8 \] - Tại \( x = 5 \): \[ f(5) = \frac{5^2 + 5 + 2}{5 - 1} = \frac{25 + 5 + 2}{4} = \frac{32}{4} = 8 \] Bước 2: Xác định giá trị tại điểm cực trị trong đoạn - Tại \( x = 3 \): \[ f(3) = 7 \] So sánh các giá trị: - \( f(2) = 8 \) - \( f(3) = 7 \) - \( f(5) = 8 \) Giá trị nhỏ nhất trên đoạn \([2; 5]\) là 7. Mệnh đề c đúng. Mệnh đề d: \( f(4) = 3 \). Bước 1: Tính giá trị tại \( x = 4 \) \[ f(4) = \frac{4^2 + 4 + 2}{4 - 1} = \frac{16 + 4 + 2}{3} = \frac{22}{3} \approx 7.33 \] Mệnh đề d sai. Kết luận: - Mệnh đề a: Đúng - Mệnh đề b: Sai - Mệnh đề c: Đúng - Mệnh đề d: Sai Câu 6: a) Đúng. Ta có $\lim_{x\rightarrow 2^{+}}f(x)=+\infty$ và $\lim_{x\rightarrow 2^{-}}f(x)=-\infty$. Vậy tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là đường thẳng $x=2.$ b) Sai. Ta có $y'=1-\frac{9}{(x-2)^2}.$ Giải phương trình $y'=0,$ ta được $x=-1;x=5.$ Bảng biến thiên: \begin{array}{c|ccccccc} x & -\infty & & -1 & & 2 & & 5 & +\infty \\ \hline y' & & + & 0 & - & || & - & 0 & + \\ \hline y & -\infty & \nearrow & 0 & \searrow & -\infty & \searrow & 8 & \nearrow & +\infty \\ \end{array} Từ bảng biến thiên suy ra điểm cực đại của đồ thị hàm số là $(-1;0).$ c) Đúng. Dựa vào bảng biến thiên ta thấy giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn $[-2;1]$ là 0. d) Sai. Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số nghịch biến trên khoảng $(-1;2)$ nên hàm số không nghịch biến trên khoảng $(-1;5).$ Câu 7: a) Ta có $y'=\frac{x^2+2x-3}{(x+1)^2}.$ Xét dấu của $y'$ ta thấy $y'>0$ trên $(-\infty,-3)$ và $(1,+\infty)$ và $y'< 0$ trên $(-3,-1)$ và $(-1,1).$ Do đó, hàm số đồng biến trên $(-\infty,-3)$ và $(1,+\infty)$ và nghịch biến trên $(-3,-1)$ và $(-1,1).$ Vậy phát biểu này sai. b) Hàm số đã cho có tiệm cận đứng là $x=-1$ và tiệm cận xiên là $y=x-1.$ Giao của hai tiệm cận là tâm đối xứng của đồ thị hàm số. Vậy phát biểu này sai. c) Hàm số đã cho có tiệm cận đứng là $x=-1$ và tiệm cận xiên là $y=x-1.$ Giao của hai tiệm cận là tâm đối xứng của đồ thị hàm số. Vậy phát biểu này sai. d) Hàm số đã cho có tiệm cận đứng là $x=-1$ và tiệm cận xiên là $y=x-1.$ Giao của hai tiệm cận là tâm đối xứng của đồ thị hàm số. Vậy phát biểu này sai. Câu 8: Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần phân tích hàm số đã cho và các đặc điểm của đồ thị. Hàm số đã cho là \( y = \frac{ax^2 + bx + c}{mx + n} \), đây là một hàm phân thức bậc hai trên bậc nhất. Đồ thị của hàm số này thường có dạng một đường cong với một tiệm cận đứng và một tiệm cận ngang. Bước 1: Tìm điều kiện xác định (ĐKXĐ) Hàm số xác định khi mẫu số khác 0, tức là: \[ mx + n \neq 0 \] Giải bất phương trình này, ta có: \[ x \neq -\frac{n}{m} \] Bước 2: Xác định tiệm cận 1. Tiệm cận đứng: Tiệm cận đứng xảy ra khi mẫu số bằng 0, tức là: \[ x = -\frac{n}{m} \] 2. Tiệm cận ngang: Vì tử số là bậc hai và mẫu số là bậc nhất, nên tiệm cận ngang sẽ là một đường thẳng có dạng \( y = kx + h \). Để tìm tiệm cận ngang, ta thực hiện phép chia đa thức: \[ \frac{ax^2 + bx + c}{mx + n} = q(x) + \frac{r(x)}{mx + n} \] Trong đó, \( q(x) \) là thương và \( r(x) \) là số dư. Vì bậc của tử số lớn hơn bậc của mẫu số, nên \( q(x) \) sẽ là một đa thức bậc nhất. Thực hiện phép chia, ta có: \[ q(x) = \frac{a}{m}x + \frac{b - \frac{an}{m}}{m} \] Do đó, tiệm cận ngang là: \[ y = \frac{a}{m}x + \frac{b - \frac{an}{m}}{m} \] Bước 3: Phân tích đồ thị Dựa vào hình dạng của đồ thị, ta có thể xác định các đặc điểm sau: - Nếu đồ thị cắt trục hoành tại điểm nào đó, thì tại điểm đó tử số phải bằng 0. - Nếu đồ thị cắt trục tung tại điểm nào đó, thì ta thay \( x = 0 \) vào hàm số để tìm giá trị \( y \). Bước 4: Kết luận Từ các bước trên, ta đã xác định được điều kiện xác định, tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của hàm số. Để có thể đưa ra kết luận chính xác về các hệ số \( a, b, c, m, n \), cần thêm thông tin cụ thể từ đồ thị như điểm cắt trục, hướng đi của đồ thị, v.v. Nếu có thêm thông tin từ đồ thị, chúng ta có thể tiếp tục phân tích để tìm ra các hệ số cụ thể.