Giải giúp tôi

Câu 20: Để giải quyết các câu hỏi liên quan đến hàm số \( y = \frac{x^2 - x + 7}{x - 2} \), ta sẽ phân tích từng phần: a) Đường thẳng \( x = 2 \) là đường tiệm cận đứng của đồ thị (C): - Điều kiện xác định (ĐKXĐ) của hàm số là \( x \neq 2 \) vì mẫu số không được bằng 0. - Khi \( x \to 2 \), mẫu số tiến về 0 trong khi tử số không tiến về 0, do đó hàm số có tiệm cận đứng tại \( x = 2 \). Vậy, khẳng định a) là đúng. b) Đồ thị (C) cắt trục tung tại điểm \( (0; \frac{7}{2}) \): - Để tìm giao điểm với trục tung, ta cho \( x = 0 \). - Khi \( x = 0 \), \( y = \frac{0^2 - 0 + 7}{0 - 2} = \frac{7}{-2} = -\frac{7}{2} \). Vậy, khẳng định b) là sai. Đồ thị cắt trục tung tại \( (0; -\frac{7}{2}) \). c) Gọi \( x_1, x_2 \) là hai điểm cực trị của hàm số. Khi đó \( x_1 + x_2 = 4 \): - Để tìm điểm cực trị, ta tính đạo hàm của hàm số: \[ y' = \frac{(2x - 1)(x - 2) - (x^2 - x + 7)}{(x - 2)^2} \] \[ = \frac{2x^2 - 4x - x + 2 - x^2 + x - 7}{(x - 2)^2} \] \[ = \frac{x^2 - 4x - 5}{(x - 2)^2} \] - Đặt \( y' = 0 \), ta có: \[ x^2 - 4x - 5 = 0 \] \[ \Rightarrow (x - 5)(x + 1) = 0 \] \[ \Rightarrow x_1 = 5, x_2 = -1 \] - Tổng \( x_1 + x_2 = 5 + (-1) = 4 \). Vậy, khẳng định c) là đúng. d) Hình dưới là đồ thị (C) của hàm số đã cho: - Dựa vào các phân tích trên, đồ thị có tiệm cận đứng tại \( x = 2 \) và cắt trục tung tại \( (0; -\frac{7}{2}) \). - Đồ thị có hai điểm cực trị tại \( x = 5 \) và \( x = -1 \). Vậy, khẳng định d) là đúng. Hình vẽ phù hợp với các đặc điểm đã phân tích. Câu 21: a) Ta có: \[ y' = \left( \frac{x^2 + 4}{x} \right)' = \left( x + \frac{4}{x} \right)' = 1 - \frac{4}{x^2} = \frac{x^2 - 4}{x^2}. \] Do đó, khẳng định a) đúng. b) Xét dấu của đạo hàm \( y' = \frac{x^2 - 4}{x^2} \): \[ y' < 0 \Leftrightarrow \frac{x^2 - 4}{x^2} < 0 \Leftrightarrow x^2 - 4 < 0 \Leftrightarrow -2 < x < 2. \] Tuy nhiên, hàm số không xác định tại \( x = 0 \). Do đó, hàm số nghịch biến trên khoảng \( (-2, 0) \) và \( (0, 2) \). Khẳng định b) sai vì nó không tách biệt khoảng \( x = 0 \). c) Để tìm điểm cực đại, ta xét đạo hàm \( y' = \frac{x^2 - 4}{x^2} \): \[ y' = 0 \Leftrightarrow x^2 - 4 = 0 \Leftrightarrow x = \pm 2. \] Ta kiểm tra dấu của \( y' \) quanh các điểm này: - Khi \( x \) gần \( -2 \) từ bên trái, \( y' > 0 \). - Khi \( x \) gần \( -2 \) từ bên phải, \( y' < 0 \). Do đó, hàm số có điểm cực đại tại \( x = -2 \). Khẳng định c) đúng. d) Để tìm cực tiểu, ta kiểm tra dấu của \( y' \) quanh \( x = 2 \): - Khi \( x \) gần \( 2 \) từ bên trái, \( y' < 0 \). - Khi \( x \) gần \( 2 \) từ bên phải, \( y' > 0 \). Do đó, hàm số có điểm cực tiểu tại \( x = 2 \). Giá trị cực tiểu là: \[ y(2) = \frac{2^2 + 4}{2} = \frac{4 + 4}{2} = 4. \] Khẳng định d) sai vì giá trị cực tiểu là 4, không phải 2. Kết luận: - Khẳng định a) đúng. - Khẳng định b) sai. - Khẳng định c) đúng. - Khẳng định d) sai. Câu 22: a) Ta có: \[ y' = \frac{(2x + 1)(x - 1) - (x^2 + x + 2)}{(x - 1)^2} = \frac{x^2 - 2x - 3}{(x - 1)^2}. \] Vậy phát biểu này đúng. b) Vì \(\lim_{x \to 1^-} y = -\infty\) và \(\lim_{x \to 1^+} y = +\infty\), nên đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là \(x = 1\). Vậy phát biểu này đúng. c) Xét dấu của \(y'\): \[ y' = \frac{x^2 - 2x - 3}{(x - 1)^2} = \frac{(x + 1)(x - 3)}{(x - 1)^2}. \] Ta thấy \(y' > 0\) trên khoảng \((-1; 1)\) và \(y' < 0\) trên khoảng \((1; 3)\). Suy ra đồ thị hàm số đạt cực đại tại \(x = -1\). Vậy phát biểu này sai. d) Ta có: \[ \lim_{x \to \pm \infty} \left[ y - (x + 2) \right] = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{-x + 4}{x - 1} = -1 \neq 0. \] Suy ra đồ thị hàm số không có tiệm cận xiên là \(y = x + 2\). Vậy phát biểu này sai. Câu 23: Để xét tính đúng sai của các khẳng định, ta dựa vào bảng biến thiên của hàm số \( y = f(x) \). a) Hàm số đồng biến trên khoảng \( (7;+\infty) \): - Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy từ \( x = 3 \) đến \( +\infty \), đạo hàm \( f'(x) > 0 \). Điều này cho thấy hàm số đồng biến trên khoảng \( (3;+\infty) \). - Do đó, khẳng định "Hàm số đồng biến trên khoảng \( (7;+\infty) \)" là đúng. b) \( f(4) < f(5) \): - Trên khoảng \( (3;+\infty) \), hàm số đồng biến, nên khi \( x \) tăng từ 4 đến 5, giá trị hàm số cũng tăng. - Do đó, \( f(4) < f(5) \) là đúng. c) Hàm số nghịch biến trên khoảng \( (-1;3) \): - Dựa vào bảng biến thiên, trên khoảng \( (-1;1) \), hàm số đồng biến (vì \( f'(x) > 0 \)), và trên khoảng \( (1;3) \), hàm số nghịch biến (vì \( f'(x) < 0 \)). - Do đó, khẳng định "Hàm số nghịch biến trên khoảng \( (-1;3) \)" là sai. d) Hàm số đạt cực đại tại \( x=3 \): - Tại \( x = 3 \), đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương, cho thấy hàm số đạt cực tiểu tại \( x = 3 \). - Do đó, khẳng định "Hàm số đạt cực đại tại \( x=3 \)" là sai. Hàm số đạt cực tiểu tại \( x = 3 \). Tóm lại: - a) Đúng - b) Đúng - c) Sai - d) Sai Câu 24: Để xét tính đúng sai của các mệnh đề, ta cần phân tích từng mệnh đề dựa trên đồ thị và bảng biến thiên đã cho. a) Hàm số nghịch biến trên khoảng $(-1;0)$ và $(0;1)$ - Dựa vào bảng biến thiên, trên khoảng $(-1;0)$, đạo hàm $y'$ âm, do đó hàm số nghịch biến. - Trên khoảng $(0;1)$, đạo hàm $y'$ cũng âm, do đó hàm số nghịch biến. Kết luận: Mệnh đề a đúng. b) Điểm cực đại của đồ thị hàm số là $(1;2)$ - Dựa vào bảng biến thiên, tại $x = -1$, hàm số đạt giá trị cực đại $y = 2$. - Không có thông tin nào cho thấy hàm số có cực đại tại $x = 1$. Kết luận: Mệnh đề b sai. c) Hàm số có bảng biến thiên như hình dưới - Bảng biến thiên cho thấy hàm số có cực đại tại $x = -1$ với $y = 2$ và cực tiểu tại $x = 1$ với $y = -2$. - Điều này phù hợp với đồ thị đã cho. Kết luận: Mệnh đề c đúng. d) Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là $x=0$ - Tiệm cận đứng xảy ra khi mẫu số của hàm số bằng 0, tức là $mx + n = 0 \Rightarrow x = -\frac{n}{m}$. - Tuy nhiên, dựa vào đồ thị, tiệm cận đứng là $x = 0$. Kết luận: Mệnh đề d đúng. Tóm lại: - Mệnh đề a đúng. - Mệnh đề b sai. - Mệnh đề c đúng. - Mệnh đề d đúng. Câu 25: a) Ta có $f'(x)=\frac{(2x+2)(x-1)-(x^2+2x-2)}{(x-1)^2}=\frac{x^2-2x}{(x-1)^2}.$ Trên khoảng $(0;2)$ ta có $f'(x)< 0$ nên hàm số nghịch biến trên khoảng $(0;2).$ Khẳng định này đúng. b) Ta có $\lim_{x\to +\infty }(f(x)-x)=\lim_{x\to +\infty }\frac{-2x-2}{x-1}=-2.$ Do đó đường tiệm cận xiên của (C) có phương trình là $y=x-2.$ Khẳng định này sai. c) Ta có $f'(x)=0\Leftrightarrow x=0;x=2.$ Ta có $f(2)=8;f(4)=\frac{14}{3};f(0)=2.$ Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=f(x)$ trên đoạn $[2;4]$ bằng $\frac{14}{3}.$ Khẳng định này sai.