Câu 23.
Câu hỏi:
Một hội trường lớn có 35 ghế ở hàng đầu tiên, 37 ghế ở hàng thứ hai, 39 ghế ở hàng thứ ba và cứ tiếp tục theo quy luật như vậy. Có tất cả 27 hàng ghế. Hội trường đó có số ghế là
A. 1647. B. 1700. C. 1615. D. 1200.
Vui lòng lập luận từng bước.
Câu trả lời:
Ta nhận thấy rằng số ghế trong mỗi hàng tăng dần theo quy luật số học với khoảng cách là 2 ghế.
Hàng đầu tiên có 35 ghế.
Hàng thứ hai có 37 ghế.
Hàng thứ ba có 39 ghế.
...
Hàng thứ n có số ghế là: 35 + (n - 1) 2
Ta cần tính tổng số ghế của 27 hàng ghế. Đây là tổng của dãy số học với số hạng đầu là 35, khoảng cách là 2 và số hạng là 27.
Công thức tính tổng của dãy số học là:
Trong đó:
- là số hạng của dãy.
- là số hạng đầu tiên.
- là số hạng cuối cùng.
Ta tính số ghế ở hàng thứ 27:
Bây giờ ta tính tổng số ghế của 27 hàng ghế:
Vậy, hội trường đó có số ghế là 1647.
Đáp án đúng là: A. 1647.
Câu 24.
Để rút gọn biểu thức , chúng ta sẽ sử dụng các tính chất của hàm sin và cos.
Bước 1: Xác định tính chất của hàm sin và cos liên quan đến các góc bội số của :
-
-
Bước 2: Áp dụng tính chất trên vào biểu thức :
1. Ta có:
2. Vì là số lẻ, nên:
3. Tiếp theo, ta xét phần còn lại:
4. Vì là số chẵn, nên:
Bước 3: Thay kết quả vào biểu thức ban đầu:
Vậy đáp án đúng là:
C.
Câu 25.
Trước tiên, ta biết rằng trong một cấp số nhân, mỗi số hạng sau bằng số hạng trước nhân với công bội . Do đó, ta có thể viết các số hạng của cấp số nhân như sau:
Theo đề bài, ta có:
Thay các số hạng vào, ta có:
Nhóm các số hạng lại, ta có:
Tổng các số mũ của là:
Do đó, ta có:
Biểu diễn dưới dạng lũy thừa của :
Vậy ta có:
Ta nhận thấy rằng . Để tìm , ta cần tìm và . Ta thấy rằng:
Chúng ta có thể giả sử và . Thay vào, ta có:
So sánh các số mũ, ta có:
Chia cả hai vế cho 5, ta có:
Giả sử và , ta có:
Do đó:
Vậy giá trị của là .
Đáp án đúng là: C. .
Câu 26.
Để viết ba số hạng đầu tiên của dãy số với công thức , chúng ta sẽ lần lượt thay giá trị của từ 1 đến 3 vào công thức này.
1. Với :
2. Với :
3. Với :
Vậy ba số hạng đầu tiên của dãy số là 3, 5 và 7.
Do đó, đáp án đúng là:
B. 3;5;7.
Câu 27.
Để tìm tập xác định của hàm số , ta cần đảm bảo rằng mẫu số không bằng 0 vì nếu thì hàm số sẽ không xác định.
Bước 1: Xác định điều kiện để mẫu số không bằng 0.
Bước 2: Tìm các giá trị của làm cho .
Bước 3: Tập xác định của hàm số là tất cả các giá trị của ngoại trừ các giá trị làm cho .
Vậy đáp án đúng là:
A.
Đáp án: A.
Câu 28.
Giá trị đại diện của nhóm là trung điểm của khoảng này.
Giá trị đại diện của nhóm là:
Đáp án đúng là: B. 22,5
Câu 29.
Để tìm số trung bình của mẫu số liệu, ta thực hiện các bước sau:
1. Tính tổng doanh thu của tất cả các ngày.
2. Chia tổng doanh thu cho số ngày để tìm số trung bình.
Bước 1: Tính tổng doanh thu
Ta tính tổng doanh thu của mỗi khoảng doanh thu và sau đó cộng lại.
- Doanh thu từ [5;7): 2 ngày, doanh thu trung bình khoảng này là triệu đồng/ngày.
Tổng doanh thu của 2 ngày là triệu đồng.
- Doanh thu từ [7;9): 7 ngày, doanh thu trung bình khoảng này là triệu đồng/ngày.
Tổng doanh thu của 7 ngày là triệu đồng.
- Doanh thu từ [9;11): 7 ngày, doanh thu trung bình khoảng này là triệu đồng/ngày.
Tổng doanh thu của 7 ngày là triệu đồng.
- Doanh thu từ [11;13): 3 ngày, doanh thu trung bình khoảng này là triệu đồng/ngày.
Tổng doanh thu của 3 ngày là triệu đồng.
- Doanh thu từ [13;15): 1 ngày, doanh thu trung bình khoảng này là triệu đồng/ngày.
Tổng doanh thu của 1 ngày là triệu đồng.
Tổng doanh thu của tất cả các ngày là:
Bước 2: Tính số trung bình
Số trung bình của mẫu số liệu là:
Vậy số trung bình của mẫu số liệu trên thuộc khoảng [9;11).
Đáp án đúng là: D. [9;11).
Câu 30.
Để tìm nhóm chứa tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu trên, chúng ta thực hiện các bước sau:
1. Tính tổng số học sinh trong mẫu số liệu:
2. Tìm chỉ số của tứ phân vị thứ ba:
Chỉ số này nằm giữa các giá trị thứ 31 và 32.
3. Xác định nhóm chứa chỉ số 31.5:
- Nhóm [0; 20): 5 học sinh
- Nhóm [20; 40): 9 học sinh (tổng từ nhóm đầu tiên đến nhóm này là 5 + 9 = 14 học sinh)
- Nhóm [40; 60): 12 học sinh (tổng từ nhóm đầu tiên đến nhóm này là 14 + 12 = 26 học sinh)
- Nhóm [60; 80): 10 học sinh (tổng từ nhóm đầu tiên đến nhóm này là 26 + 10 = 36 học sinh)
Chúng ta thấy rằng chỉ số 31.5 nằm trong khoảng từ 26 đến 36, do đó nhóm chứa tứ phân vị thứ ba là nhóm [60; 80).
Đáp án: C.
Câu 31.
Cấp số cộng có số hạng đầu tiên và công sai . Ta cần tìm số hạng thứ 3 của cấp số cộng này.
Công thức để tính số hạng thứ n của một cấp số cộng là:
Áp dụng công thức trên để tìm số hạng thứ 3 ():
Vậy số hạng thứ 3 của cấp số cộng này là 8.
Đáp án đúng là: D. 8.
Câu 32.
Cấp số nhân có số hạng đầu và công bội . Ta cần tìm số hạng sao cho tổng số hạng đầu tiên bằng 21.
Tổng số hạng đầu tiên của một cấp số nhân được tính theo công thức:
Áp dụng vào bài toán:
Theo đề bài, tổng này bằng 21:
Chia cả hai vế cho 3:
Cộng thêm 1 vào cả hai vế:
Biểu diễn 8 dưới dạng lũy thừa của 2:
Do đó:
Vậy đáp án đúng là:
B.
Đáp số:
Câu 33.
Dãy số có tính chất:
Điều này cho thấy đây là một dãy số cách đều với khoảng cách là 4. Ta sẽ tìm công thức tổng quát của dãy số này.
Bước 1: Xác định số hạng đầu tiên và khoảng cách giữa các số hạng liên tiếp.
- Số hạng đầu tiên:
- Khoảng cách:
Bước 2: Áp dụng công thức tổng quát của dãy số cách đều:
Bước 3: Thay các giá trị vào công thức:
Vậy công thức của là:
Do đó, đáp án đúng là:
B. .
Câu 34.
Ta sẽ kiểm tra từng đẳng thức để xác định đẳng thức nào là sai.
A.
Đây là công thức cộng cho tổng hai sin, nên đẳng thức này đúng.
B.
Đây là công thức trừ cho sin, nên đẳng thức này đúng.
C.
Đây là công thức nhân đôi cho tích hai cos, nên đẳng thức này đúng.
D.
Đây là công thức sai. Công thức đúng phải là . Ta có thể kiểm tra thêm:
Như vậy, , không phải là .
Vậy đẳng thức sai là D.
Đáp án: D.
Câu 35.
Để xác định dãy số nào là dãy số tăng, chúng ta cần kiểm tra xem mỗi số hạng sau lớn hơn số hạng trước hay không. Dưới đây là các bước để xác định dãy số tăng:
1. Kiểm tra từng số hạng:
- Dãy số tăng là dãy số mà mỗi số hạng sau lớn hơn số hạng trước nó.
2. So sánh các số hạng liên tiếp:
- Ta sẽ so sánh từng cặp số hạng liên tiếp trong dãy số để xem liệu số hạng sau có lớn hơn số hạng trước hay không.
3. Lập luận từng bước:
- Bước 1: Xác định số hạng đầu tiên của dãy số.
- Bước 2: So sánh số hạng thứ hai với số hạng đầu tiên.
- Bước 3: Nếu số hạng thứ hai lớn hơn số hạng đầu tiên, tiếp tục so sánh số hạng thứ ba với số hạng thứ hai.
- Bước 4: Lặp lại quá trình này cho đến khi hết các số hạng trong dãy số.
4. Kết luận:
- Nếu tất cả các số hạng sau đều lớn hơn số hạng trước, thì dãy số đó là dãy số tăng.
Ví dụ cụ thể:
- Dãy số: 1, 3, 5, 7, 9
- Số hạng thứ hai (3) lớn hơn số hạng đầu tiên (1).
- Số hạng thứ ba (5) lớn hơn số hạng thứ hai (3).
- Số hạng thứ tư (7) lớn hơn số hạng thứ ba (5).
- Số hạng thứ năm (9) lớn hơn số hạng thứ tư (7).
Vì vậy, dãy số 1, 3, 5, 7, 9 là dãy số tăng.
Tóm lại, để xác định dãy số nào là dãy số tăng, chúng ta cần kiểm tra từng cặp số hạng liên tiếp và đảm bảo rằng mỗi số hạng sau đều lớn hơn số hạng trước.