giúp e với ạ

Câu 23: Để tìm độ dài ngắn nhất của cây cầu nối từ hòn đảo ra mặt đường, chúng ta cần tìm điểm trên đồ thị hàm số bậc ba $f(x)$ sao cho khoảng cách từ điểm đó đến đường thẳng $y = 16 - 4x$ là ngắn nhất. Bước 1: Xác định phương trình của đường thẳng vuông góc với đường thẳng $y = 16 - 4x$. Phương trình đường thẳng $y = 16 - 4x$ có hệ số góc là $-4$. Đường thẳng vuông góc với nó sẽ có hệ số góc là $\frac{1}{4}$. Do đó, phương trình của đường thẳng vuông góc có dạng: \[ y = \frac{1}{4}x + b \] Bước 2: Tìm giao điểm của đường thẳng này với đồ thị hàm số bậc ba $f(x)$. Giao điểm của hai đường thẳng là điểm mà cả hai phương trình đều đúng. Ta cần tìm điểm $(x_0, y_0)$ sao cho: \[ y_0 = f(x_0) \] \[ y_0 = \frac{1}{4}x_0 + b \] Bước 3: Xác định giá trị của $b$. Do điểm cực đại của đồ thị hàm số bậc ba là $(2, 4)$, ta có thể suy ra rằng đường thẳng vuông góc đi qua điểm này. Thay $(2, 4)$ vào phương trình $y = \frac{1}{4}x + b$, ta có: \[ 4 = \frac{1}{4}(2) + b \] \[ 4 = \frac{1}{2} + b \] \[ b = 4 - \frac{1}{2} = \frac{7}{2} \] Vậy phương trình của đường thẳng vuông góc là: \[ y = \frac{1}{4}x + \frac{7}{2} \] Bước 4: Tìm giao điểm của đường thẳng này với đường thẳng $y = 16 - 4x$. Thay phương trình $y = \frac{1}{4}x + \frac{7}{2}$ vào phương trình $y = 16 - 4x$, ta có: \[ \frac{1}{4}x + \frac{7}{2} = 16 - 4x \] Nhân cả hai vế với 4 để loại bỏ mẫu số: \[ x + 14 = 64 - 16x \] \[ 17x = 50 \] \[ x = \frac{50}{17} \approx 2.94 \] Thay $x = \frac{50}{17}$ vào phương trình $y = 16 - 4x$, ta có: \[ y = 16 - 4\left(\frac{50}{17}\right) = 16 - \frac{200}{17} = \frac{272 - 200}{17} = \frac{72}{17} \approx 4.24 \] Bước 5: Tính khoảng cách giữa điểm $(2, 4)$ và điểm $(\frac{50}{17}, \frac{72}{17})$. Khoảng cách giữa hai điểm $(x_1, y_1)$ và $(x_2, y_2)$ là: \[ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \] \[ d = \sqrt{\left(\frac{50}{17} - 2\right)^2 + \left(\frac{72}{17} - 4\right)^2} \] \[ d = \sqrt{\left(\frac{50}{17} - \frac{34}{17}\right)^2 + \left(\frac{72}{17} - \frac{68}{17}\right)^2} \] \[ d = \sqrt{\left(\frac{16}{17}\right)^2 + \left(\frac{4}{17}\right)^2} \] \[ d = \sqrt{\frac{256}{289} + \frac{16}{289}} \] \[ d = \sqrt{\frac{272}{289}} \] \[ d = \sqrt{\frac{16 \times 17}{17 \times 17}} \] \[ d = \sqrt{\frac{16}{17}} \] \[ d = \frac{4}{\sqrt{17}} \approx 0.97 \text{ (đơn vị là 100m)} \] Vậy độ dài ngắn nhất của cây cầu là: \[ 0.97 \times 100 = 97 \text{ mét} \] Đáp số: 97 mét.