Giúp em với ạ Câu 4,Một nhà sản xuất trung bình bán được 1000 ti vi màn hình,phẳng mỗi tuần với giá 14 triệu đồng một chiếc. Một cuộc,khảo sát thị trường chỉ ra rằng nếu cứ giảm giá bán 500,nghìn đồng, số lượng ti vi bán ra sẽ tăng thêm khoảng 100,ti vi mỗi tuần. Gọi p (triệu đồng) là giá của mỗi ti vi, x là số,ti vi. Vậy hàm cầu là: $p(x)=-\frac1{200}x+19.$ Chi phí,hàng tuần là $C(x)=12000-3x$ (triệu đồng), trong đó,x là số ti vi bán ra trong tuần. Cần bán ra bao nhiêu tivi để,lợi nhuận thu được là cao nhất?

Question

Accepted Answer

Gọi $p$ (triệu đồng) là giá của mỗi ti vi, $x$ là số ti vi. Khi đó ta cần xác định hàm cầu $\mathrm{p}=\mathrm{p}(\mathrm{x})$.

Theo giả thiết tốc độ thay đổi của $x$ tỉ lệ với tốc độ thay đổi của $p$ nên hàm số $p=p(x)$ là hàm số bậc nhất. Do đó $\mathrm{p}(\mathrm{x})=\mathrm{ax}+\mathrm{b}(\mathrm{a} eq 0)$.
Theo đề có: $x_1=1000$ thì $p_1=14 ; x_2=1100$ thì $p_2=13,5$.
Khi đó phương trình đường thẳng $\mathrm{p}(\mathrm{x})=\mathrm{ax}+\mathrm{b}$ đi qua hai điểm $(1000 ; 14)$ và $(1100 ; 13,5)$ nên ta có hệ phương trình:

$
\left\{\begin{array} { l }
{ 1 0 0 0 a + b = 1 4 } \
{ 1 1 0 0 a + b = 1 3 , 5 }
\end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}
a=-\frac{1}{200} \
b=19
\end{array} ight. ight.
$

Vậy $p=-\frac{1}{200} x+19$.

Doanh thu từ bán x ti vi là $\mathrm{R}(\mathrm{x})=\mathrm{x} \cdot \mathrm{p}(\mathrm{x})=x\left(-\frac{1}{200} x+19 ight)=-\frac{1}{200} x^2+19 x$.

Khi đó tổng lợi nhuận từ bán $x$ ti vi là:

$
\begin{aligned}
& \mathrm{P}(\mathrm{x})=\mathrm{R}(\mathrm{x})-\mathrm{C}(\mathrm{x}) \
& =-\frac{1}{200} x^2+19 x-(12000-3 x) \
& =-\frac{1}{200} x^2+22 x-12000
\end{aligned}
$

Bài toán trở thành tìm x để $\mathrm{P}(\mathrm{x})$ lớn nhất.
Có $P^{\prime}(x)=-\frac{1}{100} x+22 ; P^{\prime}(x)=0 \Leftrightarrow-\frac{1}{100} x+22=0 \Leftrightarrow x=2200$.
Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy số ti vi bán ra trong 1 tuần là $2200$ chiếc thì lợi nhuận đạt giá trị lớn nhất.