Giải thích các câu hỏi dưới đây

Câu 1. Câu 1: Trong các phát biểu sau, phát biểu nào là mệnh đề? A. 2 + 3 = 5 B. 2 + 3 > 5 C. 2 + 3 < 5 D. 2 + 3 Phương pháp giải: - Mệnh đề là phát biểu có thể xác định được tính đúng sai. Lời giải chi tiết: - A. 2 + 3 = 5 là mệnh đề vì phát biểu này đúng. - B. 2 + 3 > 5 là mệnh đề vì phát biểu này sai. - C. 2 + 3 < 5 là mệnh đề vì phát biểu này sai. - D. 2 + 3 không phải là mệnh đề vì phát biểu này không thể xác định được tính đúng sai. Vậy đáp án đúng là: A, B, C. Câu 2: Trong các phát biểu sau, phát biểu nào là mệnh đề? A. 2 + 3 = 6 B. 2 + 3 > 6 C. 2 + 3 < 6 D. 2 + 3 Phương pháp giải: - Mệnh đề là phát biểu có thể xác định được tính đúng sai. Lời giải chi tiết: - A. 2 + 3 = 6 là mệnh đề vì phát biểu này sai. - B. 2 + 3 > 6 là mệnh đề vì phát biểu này sai. - C. 2 + 3 < 6 là mệnh đề vì phát biểu này đúng. - D. 2 + 3 không phải là mệnh đề vì phát biểu này không thể xác định được tính đúng sai. Vậy đáp án đúng là: A, B, C. Câu 3: Trong các phát biểu sau, phát biểu nào là mệnh đề? A. 2 + 3 = 7 B. 2 + 3 > 7 C. 2 + 3 < 7 D. 2 + 3 Phương pháp giải: - Mệnh đề là phát biểu có thể xác định được tính đúng sai. Lời giải chi tiết: - A. 2 + 3 = 7 là mệnh đề vì phát biểu này sai. - B. 2 + 3 > 7 là mệnh đề vì phát biểu này sai. - C. 2 + 3 < 7 là mệnh đề vì phát biểu này đúng. - D. 2 + 3 không phải là mệnh đề vì phát biểu này không thể xác định được tính đúng sai. Vậy đáp án đúng là: A, B, C. Câu 4: Trong các phát biểu sau, phát biểu nào là mệnh đề? A. 2 + 3 = 8 B. 2 + 3 > 8 C. 2 + 3 < 8 D. 2 + 3 Phương pháp giải: - Mệnh đề là phát biểu có thể xác định được tính đúng sai. Lời giải chi tiết: - A. 2 + 3 = 8 là mệnh đề vì phát biểu này sai. - B. 2 + 3 > 8 là mệnh đề vì phát biểu này sai. - C. 2 + 3 < 8 là mệnh đề vì phát biểu này đúng. - D. 2 + 3 không phải là mệnh đề vì phát biểu này không thể xác định được tính đúng sai. Vậy đáp án đúng là: A, B, C. Câu 5: Trong các phát biểu sau, phát biểu nào là mệnh đề? A. 2 + 3 = 9 B. 2 + 3 > 9 C. 2 + 3 < 9 D. 2 + 3 Phương pháp giải: - Mệnh đề là phát biểu có thể xác định được tính đúng sai. Lời giải chi tiết: - A. 2 + 3 = 9 là mệnh đề vì phát biểu này sai. - B. 2 + 3 > 9 là mệnh đề vì phát biểu này sai. - C. 2 + 3 < 9 là mệnh đề vì phát biểu này đúng. - D. 2 + 3 không phải là mệnh đề vì phát biểu này không thể xác định được tính đúng sai. Vậy đáp án đúng là: A, B, C. Câu 2. Mệnh đề ban đầu là: "Nếu một tam giác có hai cạnh bằng nhau thì tam giác đó là tam giác cân". Mệnh đề đảo của một mệnh đề "Nếu A thì B" là "Nếu B thì A". Áp dụng vào đây: - A: Một tam giác có hai cạnh bằng nhau. - B: Tam giác đó là tam giác cân. Vậy mệnh đề đảo sẽ là: "Nếu một tam giác là tam giác cân thì tam giác đó có hai cạnh bằng nhau." Do đó, đáp án đúng là: A. Nếu một tam giác là tam giác cân thì tam giác đó có hai cạnh bằng nhau. Câu 3. A. $\forall x \in \mathbb{R}, x^2 - x + 1 > 0$ Ta có: $x^2 - x + 1 = x^2 - x + \frac{1}{4} + \frac{3}{4} = (x - \frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4}$. Vì $(x - \frac{1}{2})^2 \geq 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$ nên $(x - \frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4} > 0$. Do đó, $x^2 - x + 1 > 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$. Mệnh đề này đúng. B. $\exists n \in \mathbb{N}, n < 0$ Tập hợp số tự nhiên $\mathbb{N}$ bao gồm các số 0, 1, 2, 3, ... và không có số nào nhỏ hơn 0. Do đó, không tồn tại số tự nhiên $n$ sao cho $n < 0$. Mệnh đề này sai. C. $\exists x \in \mathbb{Q}, x^2 = 2$ Giả sử tồn tại số hữu tỉ $x = \frac{p}{q}$ (với $p, q$ là số nguyên và $q \neq 0$) sao cho $x^2 = 2$. Ta có: $\left(\frac{p}{q}\right)^2 = 2 \Rightarrow \frac{p^2}{q^2} = 2 \Rightarrow p^2 = 2q^2$. Điều này dẫn đến mâu thuẫn vì $p^2$ phải là số chẵn (do $2q^2$ là số chẵn), nhưng nếu $p$ là số chẵn thì $p^2$ sẽ là số chia hết cho 4, trong khi $2q^2$ chỉ chia hết cho 2. Do đó, không tồn tại số hữu tỉ $x$ sao cho $x^2 = 2$. Mệnh đề này sai. D. $\forall x \in \mathbb{Z}, \frac{1}{x} > 0$ Tập hợp số nguyên $\mathbb{Z}$ bao gồm các số âm, số dương và số 0. Nếu $x$ là số âm, thì $\frac{1}{x}$ sẽ là số âm. Nếu $x = 0$, thì $\frac{1}{x}$ không xác định. Do đó, không phải mọi số nguyên $x$ đều thỏa mãn $\frac{1}{x} > 0$. Mệnh đề này sai. Kết luận: Mệnh đề đúng là A. $\forall x \in \mathbb{R}, x^2 - x + 1 > 0$. Câu 4. Để tìm số tập hợp \(X\) thỏa mãn \(\{a; b\} \subset X \subset \{a; b; c; d; e\}\), ta cần xác định các tập hợp con của \(\{a; b; c; d; e\}\) mà chứa cả \(a\) và \(b\) nhưng không phải là toàn bộ tập hợp \(\{a; b; c; d; e\}\). Các tập hợp con của \(\{a; b; c; d; e\}\) mà chứa cả \(a\) và \(b\) là: 1. \(\{a, b\}\) 2. \(\{a, b, c\}\) 3. \(\{a, b, d\}\) 4. \(\{a, b, e\}\) 5. \(\{a, b, c, d\}\) 6. \(\{a, b, c, e\}\) 7. \(\{a, b, d, e\}\) Tuy nhiên, vì \(X\) phải là một tập hợp con đúng của \(\{a; b; c; d; e\}\), nên ta loại bỏ trường hợp \(\{a, b, c, d, e\}\). Như vậy, các tập hợp \(X\) thỏa mãn là: 1. \(\{a, b\}\) 2. \(\{a, b, c\}\) 3. \(\{a, b, d\}\) 4. \(\{a, b, e\}\) 5. \(\{a, b, c, d\}\) 6. \(\{a, b, c, e\}\) 7. \(\{a, b, d, e\}\) Vậy số tập hợp \(X\) thỏa mãn là 7. Đáp án đúng là: B. 7. Câu 5. Để giải quyết câu hỏi về tập hợp $A \cup B$ và hình biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình $x - 2y \leq -2.7$, chúng ta sẽ thực hiện từng bước như sau: Bước 1: Xác định tập hợp $A \cup B$ - Tập hợp $A = [-5; 1]$: Đây là đoạn từ -5 đến 1, bao gồm cả hai điểm đầu mút. - Tập hợp $B = (-3; 2)$: Đây là khoảng từ -3 đến 2, không bao gồm hai điểm đầu mút. Tập hợp $A \cup B$ là sự kết hợp của tất cả các phần tử trong cả hai tập hợp $A$ và $B$. Do đó: \[ A \cup B = [-5; 2) \] Bước 2: Xác định số lượng số nguyên âm trong tập hợp $A \cup B$ Các số nguyên âm trong đoạn $[-5; 2)$ là: \[ -5, -4, -3, -2, -1 \] Như vậy, tập hợp $A \cup B$ chứa 5 số nguyên âm. Bước 3: Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình $x - 2y \leq -2.7$ Để biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình $x - 2y \leq -2.7$, chúng ta cần vẽ đường thẳng $x - 2y = -2.7$ và xác định miền thỏa mãn bất phương trình. 1. Vẽ đường thẳng $x - 2y = -2.7$: - Chọn hai điểm trên đường thẳng để vẽ: - Khi $x = 0$: $0 - 2y = -2.7 \Rightarrow y = 1.35$ - Khi $y = 0$: $x - 0 = -2.7 \Rightarrow x = -2.7$ 2. Xác định miền nghiệm: - Chọn một điểm kiểm tra, ví dụ $(0, 0)$: \[ 0 - 2(0) = 0 \] Vì $0 > -2.7$, nên điểm $(0, 0)$ không thuộc miền nghiệm. - Do đó, miền nghiệm nằm phía bên trái đường thẳng $x - 2y = -2.7$. Kết luận: - Tập hợp $A \cup B$ chứa 5 số nguyên âm. - Hình biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình $x - 2y \leq -2.7$ là miền nằm phía bên trái đường thẳng $x - 2y = -2.7$. Đáp án đúng là: - Số lượng số nguyên âm trong tập hợp $A \cup B$: D. 5 - Hình biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình $x - 2y \leq -2.7$: Miền nằm phía bên trái đường thẳng $x - 2y = -2.7$. Câu 6. Giá quảng cáo trên VTV1 là 30 triệu đồng cho 1 lần phát vào khung giờ I, do đó số tiền phải trả cho x lần phát vào khung giờ I là \(30x\) triệu đồng. Giá quảng cáo trên VTV1 là 6 triệu đồng cho 1 lần phát vào khung giờ II, do đó số tiền phải trả cho y lần phát vào khung giờ II là \(6y\) triệu đồng. Tổng số tiền mà công ty phải trả cho cả hai khung giờ là \(30x + 6y\) triệu đồng. Theo đề bài, tổng số tiền này không được vượt quá 900 triệu đồng, tức là: \[30x + 6y \leq 900.\] Do đó, đáp án đúng là: C. \(30x + 6y \leq 900.\) Câu 7. Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( F = y - x \) trên miền xác định bởi hệ bất đẳng thức \(\left\{\begin{array}ly-2x\leq2\\2y-x\geq4\\x+y\leq5\end{array}\right.\), ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định miền xác định: - Bất đẳng thức thứ nhất: \( y - 2x \leq 2 \) - Bất đẳng thức thứ hai: \( 2y - x \geq 4 \) - Bất đẳng thức thứ ba: \( x + y \leq 5 \) 2. Vẽ các đường thẳng tương ứng: - \( y = 2x + 2 \) - \( y = \frac{x}{2} + 2 \) - \( y = -x + 5 \) 3. Xác định giao điểm của các đường thẳng: - Giao điểm của \( y = 2x + 2 \) và \( y = -x + 5 \): \[ 2x + 2 = -x + 5 \implies 3x = 3 \implies x = 1 \implies y = 4 \] Vậy giao điểm là \( (1, 4) \). - Giao điểm của \( y = \frac{x}{2} + 2 \) và \( y = -x + 5 \): \[ \frac{x}{2} + 2 = -x + 5 \implies \frac{3x}{2} = 3 \implies x = 2 \implies y = 3 \] Vậy giao điểm là \( (2, 3) \). - Giao điểm của \( y = 2x + 2 \) và \( y = \frac{x}{2} + 2 \): \[ 2x + 2 = \frac{x}{2} + 2 \implies 2x = \frac{x}{2} \implies 4x = x \implies x = 0 \implies y = 2 \] Vậy giao điểm là \( (0, 2) \). 4. Kiểm tra các giao điểm trong miền xác định: - Điểm \( (1, 4) \): \[ F = 4 - 1 = 3 \] - Điểm \( (2, 3) \): \[ F = 3 - 2 = 1 \] - Điểm \( (0, 2) \): \[ F = 2 - 0 = 2 \] 5. So sánh các giá trị của \( F \): - \( F(1, 4) = 3 \) - \( F(2, 3) = 1 \) - \( F(0, 2) = 2 \) Như vậy, giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( F = y - x \) trên miền xác định là \( 1 \). Đáp án: 1