Giải môn toán Câu 1: Tìm hệ số của số hạng chứa $x^4$ trong khai triển biểu thức $(3x-1)^5$ thành đa thức.,Câu 2. Tìm hệ số của $x^3$ trong khai triển của $(4x+1)^5$,Câu 3. Tính bán kính đường tròn $(C):~x^2+y^2-6x-8y=0.$,Câu 4: Có 6 tấm thẻ màu xanh và 4 tấm thẻ màu đỏ. Chọn ra đồng thời 5 tấm thẻ. Tính xác suất của biến cố ",Trong 5 tấm thẻ chọn ra có đúng 3 tấm thẻ màu đỏ".,Câu 5: Cho hai điểm $A(-1;2)$ và $B(3;4)$ và đường thẳng $\Delta:~2x+y-5=0.$,a) Viết phương trình tổng quát đường trung trực của đoạn thẳng AB .,b) Viết phương trình đường tròn (C) tâm A và tiếp xúc với đường thẳng $\Delta.$

Question

Accepted Answer

Câu 1:
Để tìm hệ số của số hạng chứa $x^4$ trong khai triển biểu thức $(3x - 1)^5$, ta sử dụng công thức nhị thức Newton.

Theo công thức nhị thức Newton, khai triển của $(a + b)^n$ là:
$$
(a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k
$$

Trong trường hợp này, ta có $a = 3x$, $b = -1$, và $n = 5$. Ta cần tìm số hạng chứa $x^4$, tức là số hạng có dạng $\binom{5}{k} (3x)^{5-k} (-1)^k$ với $5 - k = 4$. Do đó, $k = 1$.

Thay $k = 1$ vào công thức, ta có:
$$
\binom{5}{1} (3x)^{5-1} (-1)^1 = \binom{5}{1} (3x)^4 (-1)
$$

Tính toán tiếp:
$$
\binom{5}{1} = 5
$$
$$
(3x)^4 = 3^4 x^4 = 81x^4
$$
$$
(-1) = -1
$$

Nhân các kết quả lại:
$$
5 \cdot 81x^4 \cdot (-1) = -405x^4
$$

Vậy hệ số của số hạng chứa $x^4$ trong khai triển biểu thức $(3x - 1)^5$ là $-405$.

Câu 2.
Để tìm hệ số của $x^3$ trong khai triển của $(4x + 1)^5$, ta sử dụng công thức nhị thức Newton.

Theo công thức nhị thức Newton, khai triển của $(a + b)^n$ là:
$$
(a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k
$$

Trong trường hợp này, $a = 4x$, $b = 1$, và $n = 5$. Ta cần tìm hệ số của $x^3$, tức là tìm hệ số của $(4x)^3$ trong khai triển.

Ta có:
$$
(4x + 1)^5 = \sum_{k=0}^{5} \binom{5}{k} (4x)^{5-k} 1^k
$$

Để có $x^3$, ta cần $5 - k = 3$, suy ra $k = 2$.

Vậy hệ số của $x^3$ là:
$$
\binom{5}{2} (4x)^{3} 1^{2}
$$

Tính $\binom{5}{2}$:
$$
\binom{5}{2} = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10
$$

Tính $(4x)^3$:
$$
(4x)^3 = 4^3 x^3 = 64x^3
$$

Vậy hệ số của $x^3$ là:
$$
10 \times 64 = 640
$$

Đáp số: 640

Câu 3.
Để tính bán kính của đường tròn $(C):~x^2+y^2-6x-8y=0$, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Viết phương trình đường tròn dưới dạng chuẩn:
   Phương trình đường tròn chuẩn có dạng $(x-a)^2 + (y-b)^2 = R^2$, trong đó $(a, b)$ là tọa độ tâm và $R$ là bán kính.

2. Hoàn thành bình phương:
   Ta sẽ hoàn thành bình phương cho các hạng tử liên quan đến $x$ và $y$ trong phương trình ban đầu.

$$
   x^2 - 6x + y^2 - 8y = 0
   $$

Ta thêm và bớt các hằng số cần thiết để hoàn thành bình phương:
   
   $$
   (x^2 - 6x + 9) + (y^2 - 8y + 16) = 9 + 16
   $$

Điều này dẫn đến:

$$
   (x - 3)^2 + (y - 4)^2 = 25
   $$

3. Nhận diện bán kính:
   Bây giờ, phương trình đã được viết dưới dạng chuẩn $(x - 3)^2 + (y - 4)^2 = 25$. Từ đây, ta thấy rằng $R^2 = 25$, do đó $R = \sqrt{25} = 5$.

Vậy bán kính của đường tròn $(C)$ là $5$.

Đáp số: Bán kính của đường tròn là $5$.

Câu 4:
Để tính xác suất của biến cố "Trong 5 tấm thẻ chọn ra có đúng 3 tấm thẻ màu đỏ", chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Tìm tổng số cách chọn 5 tấm thẻ từ 10 tấm thẻ:
   - Tổng số cách chọn 5 tấm thẻ từ 10 tấm thẻ là:
     $$
     C_{10}^5 = \frac{10!}{5!(10-5)!} = \frac{10!}{5! \cdot 5!} = 252
     $$

2. Tìm số cách chọn đúng 3 tấm thẻ màu đỏ từ 4 tấm thẻ màu đỏ:
   - Số cách chọn 3 tấm thẻ màu đỏ từ 4 tấm thẻ màu đỏ là:
     $$
     C_4^3 = \frac{4!}{3!(4-3)!} = \frac{4!}{3! \cdot 1!} = 4
     $$

3. Tìm số cách chọn 2 tấm thẻ màu xanh từ 6 tấm thẻ màu xanh:
   - Số cách chọn 2 tấm thẻ màu xanh từ 6 tấm thẻ màu xanh là:
     $$
     C_6^2 = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6!}{2! \cdot 4!} = 15
     $$

4. Tìm số cách chọn đúng 3 tấm thẻ màu đỏ và 2 tấm thẻ màu xanh:
   - Số cách chọn đúng 3 tấm thẻ màu đỏ và 2 tấm thẻ màu xanh là:
     $$
     C_4^3 \times C_6^2 = 4 \times 15 = 60
     $$

5. Tính xác suất của biến cố "Trong 5 tấm thẻ chọn ra có đúng 3 tấm thẻ màu đỏ":
   - Xác suất của biến cố này là:
     $$
     P = \frac{\text{Số cách chọn đúng 3 tấm thẻ màu đỏ và 2 tấm thẻ màu xanh}}{\text{Tổng số cách chọn 5 tấm thẻ từ 10 tấm thẻ}} = \frac{60}{252} = \frac{5}{21}
     $$

Vậy xác suất của biến cố "Trong 5 tấm thẻ chọn ra có đúng 3 tấm thẻ màu đỏ" là $\frac{5}{21}$.

Câu 5:
a) Ta có $M_{AB}(\frac{-1+3}{2};\frac{2+4}{2})=(1;3).$
Phương trình đường thẳng AB là: $y-2=\frac{4-2}{3-(-1)}(x+1)$
$y-2=\frac{1}{2}(x+1)$
$y=\frac{1}{2}x+\frac{5}{2}$
Đường trung trực của đoạn thẳng AB vuông góc với đường thẳng AB tại M. Vậy phương trình đường trung trực của đoạn thẳng AB là:
$y-3=-2(x-1)$
$y-3=-2x+2$
$2x+y-5=0$
b) Ta có khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng $\Delta$ là:
$d(A,\Delta)=\frac{|2\times (-1)+2-5|}{\sqrt{2^{2}+1^{2}}}=\frac{9}{\sqrt{5}}$
Vậy bán kính đường tròn (C) là $\frac{9}{\sqrt{5}}$
Phương trình đường tròn (C) là $(x+1)^{2}+(y-2)^{2}=\frac{81}{5}$