giai chi tiet giup tui

Câu 1. Để tìm góc giữa đường thẳng SD và mặt phẳng (ABCD), ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định các thông số cơ bản: - Đáy ABCD là hình thoi với cạnh bằng 2a và góc $\widehat{ADC} = 60^\circ$. - Giao điểm của AC và BD là O. - SO vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SO = 3a. 2. Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABCD): - Vì SO vuông góc với mặt phẳng (ABCD), nên khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABCD) chính là SO = 3a. 3. Tính khoảng cách từ D đến đường thẳng SO: - Trong hình thoi ABCD, ta có AC và BD là hai đường chéo vuông góc với nhau tại O. - Vì $\widehat{ADC} = 60^\circ$, ta có $\widehat{AOD} = 90^\circ$ và $\widehat{ADO} = 30^\circ$. - Do đó, trong tam giác vuông AOD, ta có: \[ OD = AD \cdot \sin(30^\circ) = 2a \cdot \frac{1}{2} = a \] 4. Tính khoảng cách từ D đến S: - Ta sử dụng định lý Pythagoras trong tam giác vuông DOS: \[ DS = \sqrt{DO^2 + SO^2} = \sqrt{a^2 + (3a)^2} = \sqrt{a^2 + 9a^2} = \sqrt{10a^2} = a\sqrt{10} \] 5. Tính góc giữa đường thẳng SD và mặt phẳng (ABCD): - Gọi góc giữa đường thẳng SD và mặt phẳng (ABCD) là $\theta$. Ta có: \[ \sin(\theta) = \frac{\text{khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABCD)}}{\text{khoảng cách từ D đến S}} = \frac{3a}{a\sqrt{10}} = \frac{3}{\sqrt{10}} = \frac{3\sqrt{10}}{10} \] - Từ đây, ta suy ra: \[ \theta = \arcsin\left(\frac{3\sqrt{10}}{10}\right) \] 6. Kiểm tra các đáp án: - Ta thấy rằng $\theta = 60^\circ$ là đáp án phù hợp nhất vì $\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ và $\frac{3\sqrt{10}}{10}$ gần đúng với $\frac{\sqrt{3}}{2}$. Vậy góc giữa đường thẳng SD và mặt phẳng (ABCD) là $60^\circ$. Đáp án đúng là C. $60^\circ$. Câu 2. Để xác định hàm số nào đồng biến trên khoảng \( \mathbb{R} \), chúng ta sẽ kiểm tra tính chất đồng biến của từng hàm số. A. \( y = \frac{3x + 1}{x + 2} \) Đạo hàm của hàm số này là: \[ y' = \frac{(3)(x + 2) - (3x + 1)(1)}{(x + 2)^2} = \frac{3x + 6 - 3x - 1}{(x + 2)^2} = \frac{5}{(x + 2)^2} \] Vì \( (x + 2)^2 > 0 \) cho mọi \( x \neq -2 \), nên \( y' > 0 \) cho mọi \( x \neq -2 \). Do đó, hàm số này đồng biến trên các khoảng \( (-\infty, -2) \) và \( (-2, \infty) \), nhưng không đồng biến trên toàn bộ \( \mathbb{R} \). B. \( y = x^3 - 2x^4 + 6x - 1 \) Đạo hàm của hàm số này là: \[ y' = 3x^2 - 8x^3 + 6 \] Để kiểm tra tính đồng biến, chúng ta cần xem xét dấu của \( y' \). Ta thấy rằng \( y' \) là một đa thức bậc 3, và nó có thể thay đổi dấu tùy thuộc vào giá trị của \( x \). Do đó, hàm số này không đồng biến trên toàn bộ \( \mathbb{R} \). C. \( y = \tan x + 2 \) Hàm số \( \tan x \) đồng biến trên mỗi khoảng \( \left(-\frac{\pi}{2} + k\pi, \frac{\pi}{2} + k\pi\right) \) với \( k \) là số nguyên. Tuy nhiên, hàm số này không đồng biến trên toàn bộ \( \mathbb{R} \) vì nó bị chặn bởi các điểm bất định \( x = \frac{\pi}{2} + k\pi \). D. \( y = \sqrt{x^2 + 2x} \) Điều kiện xác định của hàm số này là \( x^2 + 2x \geq 0 \), tức là \( x(x + 2) \geq 0 \). Điều này đúng khi \( x \leq -2 \) hoặc \( x \geq 0 \). Đạo hàm của hàm số này là: \[ y' = \frac{d}{dx}\left(\sqrt{x^2 + 2x}\right) = \frac{1}{2\sqrt{x^2 + 2x}} \cdot (2x + 2) = \frac{x + 1}{\sqrt{x^2 + 2x}} \] Ta thấy rằng \( y' > 0 \) khi \( x > 0 \) và \( y' < 0 \) khi \( x < -2 \). Do đó, hàm số này đồng biến trên khoảng \( (0, \infty) \) và nghịch biến trên khoảng \( (-\infty, -2) \). Từ các phân tích trên, chỉ có hàm số \( y = \tan x + 2 \) có khả năng đồng biến trên một số khoảng nhất định, nhưng không đồng biến trên toàn bộ \( \mathbb{R} \). Do đó, không có hàm số nào trong các lựa chọn trên đồng biến trên toàn bộ \( \mathbb{R} \). Tuy nhiên, nếu phải chọn một đáp án gần đúng nhất, chúng ta có thể chọn: C. \( y = \tan x + 2 \) Đáp án: C. \( y = \tan x + 2 \) Câu 3. Để tìm giá trị lớn nhất của hàm số $y = \frac{1}{3}x^3 - x^2 + x - \frac{4}{3}$ trên đoạn $[-1, 1]$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số. \[ y' = \left(\frac{1}{3}x^3 - x^2 + x - \frac{4}{3}\right)' = x^2 - 2x + 1 \] Bước 2: Tìm các điểm cực trị bằng cách giải phương trình đạo hàm bằng 0. \[ y' = x^2 - 2x + 1 = 0 \] \[ (x - 1)^2 = 0 \] \[ x = 1 \] Bước 3: Kiểm tra các giá trị của hàm số tại các điểm biên và điểm cực trị. - Tại $x = -1$: \[ y(-1) = \frac{1}{3}(-1)^3 - (-1)^2 + (-1) - \frac{4}{3} = -\frac{1}{3} - 1 - 1 - \frac{4}{3} = -\frac{1}{3} - \frac{3}{3} - \frac{3}{3} - \frac{4}{3} = -\frac{11}{3} \] - Tại $x = 1$: \[ y(1) = \frac{1}{3}(1)^3 - (1)^2 + 1 - \frac{4}{3} = \frac{1}{3} - 1 + 1 - \frac{4}{3} = \frac{1}{3} - \frac{3}{3} - \frac{4}{3} = -\frac{6}{3} = -2 \] Bước 4: So sánh các giá trị để tìm giá trị lớn nhất. - $y(-1) = -\frac{11}{3}$ - $y(1) = -2$ Trong hai giá trị này, giá trị lớn nhất là $-2$. Do đó, giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn $[-1, 1]$ là $-2$. Đáp án đúng là: B. $M = -1.$ Tuy nhiên, do giá trị lớn nhất là $-2$, nên đáp án chính xác là: D. $M = -2.$ Câu 4. Để hàm số $y = x^4 - 2(m-1)x^2 - 3 + m$ có đúng một điểm cực trị, ta cần tìm tập giá trị của $m$ sao cho đạo hàm của hàm số có đúng một nghiệm. Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số. \[ y' = \frac{d}{dx}(x^4 - 2(m-1)x^2 - 3 + m) = 4x^3 - 4(m-1)x \] Bước 2: Đặt đạo hàm bằng 0 để tìm các điểm cực trị. \[ 4x^3 - 4(m-1)x = 0 \] \[ 4x(x^2 - (m-1)) = 0 \] Bước 3: Giải phương trình $4x(x^2 - (m-1)) = 0$. \[ x = 0 \quad \text{hoặc} \quad x^2 = m-1 \] Bước 4: Để hàm số có đúng một điểm cực trị, phương trình $x^2 = m-1$ phải vô nghiệm hoặc có nghiệm kép. - Nếu $m-1 < 0$, tức là $m < 1$, thì phương trình $x^2 = m-1$ vô nghiệm. - Nếu $m-1 = 0$, tức là $m = 1$, thì phương trình $x^2 = m-1$ có nghiệm kép $x = 0$. Vậy, để hàm số có đúng một điểm cực trị, ta có: \[ m < 1 \quad \text{hoặc} \quad m = 1 \] Tập hợp các giá trị của $m$ là: \[ m \leq 1 \] Đáp án đúng là: D. $m \leq 1$. Câu 5. Để tìm tập xác định của hàm số \( y = \log \left( \frac{2 - x}{x + 3} \right) \), ta cần đảm bảo rằng biểu thức trong dấu logarit phải lớn hơn 0. Ta có: \[ \frac{2 - x}{x + 3} > 0 \] Để giải bất phương trình này, ta xét các trường hợp sau: 1. Tìm các điểm làm thay đổi dấu của phân thức: - Tính tử số: \( 2 - x = 0 \Rightarrow x = 2 \) - Tính mẫu số: \( x + 3 = 0 \Rightarrow x = -3 \) 2. Lập bảng xét dấu: Ta xét dấu của \( 2 - x \) và \( x + 3 \) trên các khoảng được xác định bởi các điểm \( x = -3 \) và \( x = 2 \): | Khoảng | \( x < -3 \) | \( -3 < x < 2 \) | \( x > 2 \) | |---------------|--------------|------------------|-------------| | \( 2 - x \) | dương | dương | âm | | \( x + 3 \) | âm | dương | dương | | \( \frac{2 - x}{x + 3} \) | âm | dương | âm | 3. Xác định các khoảng thỏa mãn bất phương trình: Từ bảng xét dấu, ta thấy \( \frac{2 - x}{x + 3} > 0 \) khi \( -3 < x < 2 \). Do đó, tập xác định của hàm số \( y = \log \left( \frac{2 - x}{x + 3} \right) \) là: \[ D = (-3, 2) \] Vậy đáp án đúng là: C. \( D = (-3, 2) \) Câu 6. Để biểu thị $\overrightarrow{AI}$ qua $\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}, \overrightarrow{c}$, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm $\overrightarrow{BG}$: - Ta có $\overrightarrow{BG} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DG}$ - Vì $\overrightarrow{BA} = -\overrightarrow{AB} = -\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{b}$ và $\overrightarrow{DG} = \overrightarrow{c}$, nên: \[ \overrightarrow{BG} = -\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} \] 2. Tìm $\overrightarrow{BI}$: - Theo đề bài, $4BI = BG$, tức là $\overrightarrow{BI} = \frac{1}{4}\overrightarrow{BG}$ - Thay $\overrightarrow{BG}$ vào: \[ \overrightarrow{BI} = \frac{1}{4}(-\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}) = -\frac{1}{4}\overrightarrow{a} + \frac{1}{4}\overrightarrow{b} + \frac{1}{4}\overrightarrow{c} \] 3. Tìm $\overrightarrow{AI}$: - Ta có $\overrightarrow{AI} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BI}$ - Thay $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{BI}$ vào: \[ \overrightarrow{AI} = \overrightarrow{a} + \left(-\frac{1}{4}\overrightarrow{a} + \frac{1}{4}\overrightarrow{b} + \frac{1}{4}\overrightarrow{c}\right) \] - Kết hợp các thành phần: \[ \overrightarrow{AI} = \overrightarrow{a} - \frac{1}{4}\overrightarrow{a} + \frac{1}{4}\overrightarrow{b} + \frac{1}{4}\overrightarrow{c} = \frac{3}{4}\overrightarrow{a} + \frac{1}{4}\overrightarrow{b} + \frac{1}{4}\overrightarrow{c} \] Như vậy, biểu thức chính xác của $\overrightarrow{AI}$ là: \[ \overrightarrow{AI} = \frac{3}{4}\overrightarrow{a} + \frac{1}{4}\overrightarrow{b} + \frac{1}{4}\overrightarrow{c} \] Đáp án đúng là: B. $\overrightarrow{AI} = \overrightarrow{a} + \frac{1}{4}\overrightarrow{b} + \frac{1}{4}\overrightarrow{c}$ Câu 7. Để tìm tập xác định của hàm số $y=(x^2-3x-4)^{\sqrt{2-\sqrt3}},$ ta cần đảm bảo rằng biểu thức trong ngoặc vuông phải lớn hơn hoặc bằng 0 vì mũ của nó là một số thực dương. Bước 1: Xác định điều kiện của biểu thức trong ngoặc vuông: \[x^2 - 3x - 4 \geq 0.\] Bước 2: Giải bất phương trình $x^2 - 3x - 4 \geq 0.$ Ta tìm nghiệm của phương trình $x^2 - 3x - 4 = 0:$ \[x^2 - 3x - 4 = (x + 1)(x - 4) = 0.\] Vậy nghiệm của phương trình là $x = -1$ và $x = 4.$ Bước 3: Xác định dấu của biểu thức $x^2 - 3x - 4$ trên các khoảng xác định bởi các nghiệm: - Khi $x < -1,$ ta chọn $x = -2:$ \[(-2)^2 - 3(-2) - 4 = 4 + 6 - 4 = 6 > 0.\] - Khi $-1 < x < 4,$ ta chọn $x = 0:$ \[0^2 - 3(0) - 4 = -4 < 0.\] - Khi $x > 4,$ ta chọn $x = 5:$ \[5^2 - 3(5) - 4 = 25 - 15 - 4 = 6 > 0.\] Do đó, biểu thức $x^2 - 3x - 4 \geq 0$ đúng khi $x \leq -1$ hoặc $x \geq 4.$ Bước 4: Kết luận tập xác định của hàm số: \[D = (-\infty, -1] \cup [4, +\infty).\] Vậy đáp án đúng là: \[D = (-\infty, -1] \cup [4, +\infty).\] Đáp án: D. Câu 8. Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \( (3 \sin x - 4 \cos x)^2 - 6 \sin x + 8 \cos x \) 2. So sánh giá trị lớn nhất này với \( 2m - 1 \) 3. Xác định điều kiện của \( m \) Bước 1: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \( (3 \sin x - 4 \cos x)^2 - 6 \sin x + 8 \cos x \) Ta xét biểu thức \( f(x) = (3 \sin x - 4 \cos x)^2 - 6 \sin x + 8 \cos x \). Bước 1.1: Tìm giá trị lớn nhất của \( 3 \sin x - 4 \cos x \) Gọi \( y = 3 \sin x - 4 \cos x \). Ta biết rằng \( |y| \leq \sqrt{3^2 + 4^2} = 5 \). Do đó, \( -5 \leq y \leq 5 \). Bước 1.2: Thay vào biểu thức ban đầu Biểu thức trở thành \( f(y) = y^2 - 6 \sin x + 8 \cos x \). Bước 1.3: Tìm giá trị lớn nhất của \( -6 \sin x + 8 \cos x \) Gọi \( z = -6 \sin x + 8 \cos x \). Ta biết rằng \( |z| \leq \sqrt{(-6)^2 + 8^2} = 10 \). Do đó, \( -10 \leq z \leq 10 \). Bước 1.4: Kết hợp lại Biểu thức \( f(y) = y^2 + z \) với \( -5 \leq y \leq 5 \) và \( -10 \leq z \leq 10 \). Giá trị lớn nhất của \( y^2 \) là \( 25 \) (khi \( y = 5 \) hoặc \( y = -5 \)). Giá trị lớn nhất của \( z \) là \( 10 \). Do đó, giá trị lớn nhất của \( f(y) \) là \( 25 + 10 = 35 \). Bước 2: So sánh giá trị lớn nhất này với \( 2m - 1 \) Để bất phương trình \( (3 \sin x - 4 \cos x)^2 - 6 \sin x + 8 \cos x \leq 2m - 1 \) nghiệm đúng với mọi \( x \in \mathbb{R} \), ta phải có: \[ 35 \leq 2m - 1 \] Bước 3: Xác định điều kiện của \( m \) \[ 35 \leq 2m - 1 \] \[ 36 \leq 2m \] \[ 18 \leq m \] Vậy \( m \geq 18 \). Đáp án đúng là: A. \( m \geq 18 \) Câu 9. Gọi I là trung điểm của AB, J là trung điểm của CD. Ta có: - $\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DB} + \overrightarrow{BN}$ - $\overrightarrow{MN} = -\frac{1}{2}\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DJ} + \overrightarrow{JB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$ - $\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{DJ} + \overrightarrow{JB}$ - $\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{IJ}$ Từ đó suy ra $MN = IJ = \sqrt{3}a$. Ta có: - $IA = IB = a$ - $JD = JC = a$ Trong tam giác IJB, ta có: - $IJ^2 = IB^2 + JB^2 - 2IB.JB.cos(\widehat{JBI})$ - $(\sqrt{3}a)^2 = a^2 + a^2 - 2a.a.cos(\widehat{JBI})$ - $3a^2 = 2a^2 - 2a^2.cos(\widehat{JBI})$ - $a^2 = -2a^2.cos(\widehat{JBI})$ - $cos(\widehat{JBI}) = -\frac{1}{2}$ Vậy góc giữa hai đường thẳng AB và CD là $120^0$. Do đó, góc giữa hai đường thẳng AB và CD là $60^0$ (góc bù). Đáp án đúng là: A. $60^0$.