Câu trong ảnh làm như nào các bạn ơi... Bài 6. (a) Cho dãy số thực $\{u_n\}_n$ biết $u_1=a0,~u_{n+1}=\sqrt{1+u_n}-1.$ Chứng minh,dãy số $\{u_n\}$ hội tụ và tìm $\lim_{n\rightarrow\infty}u_n.$,(b) Cho dãy số thực $\{u_n\}_n$ biết $u_1=a0,~u_{n+1}=\frac12(u_n+\frac1{u_n}).$ Chứng minh dãy số,{u,} hội tụ và tìm $\lim_{n\rightarrow\infty}u_n.$,(c) Cho dãy số thực $\{u_n\}_n$ biết $u_1=a0,~u_{n+1}=\frac12(u_n+\frac1{2u_n}).$ Chứng minh dãy,số $\{u_n\}$ hội tụ và tìm $\lim_{n\rightarrow\infty}u_n.$,(d) Cho dãy số thực $\{u_n\}_n$ biết $u_1=a0,~u_{n+1}=\ln(u_n+1).$ Chứng minh dãy số,$\lim_{n\rightarrow\infty}u_n.$,{u,} hội tụ và tìm

Question

Câu trong ảnh làm như nào các bạn ơi... Bài 6. (a) Cho dãy số thực $\{u_n\}_n$ biết $u_1=a>0,~u_{n+1}=\sqrt{1+u_n}-1.$ Chứng minh,dãy số $\{u_n\}$ hội tụ và tìm $\lim_{n\rightarrow\infty}u_n.$,(b) Cho dãy số thực $\{u_n\}_n$ biết $u_1=a>0,~u_{n+1}=\frac12(u_n+\frac1{u_n}).$ Chứng minh dãy số,{u,} hội tụ và tìm $\lim_{n\rightarrow\infty}u_n.$,(c) Cho dãy số thực $\{u_n\}_n$ biết $u_1=a>0,~u_{n+1}=\frac12(u_n+\frac1{2u_n}).$ Chứng minh dãy,số $\{u_n\}$ hội tụ và tìm $\lim_{n\rightarrow\infty}u_n.$,(d) Cho dãy số thực $\{u_n\}_n$ biết $u_1=a>0,~u_{n+1}=\ln(u_n+1).$ Chứng minh dãy số,$\lim_{n\rightarrow\infty}u_n.$,{u,} hội tụ và tìm

Accepted Answer

Bài 6.
(a) Ta có $u_1=a>0$. Xét $u_{n+1}=\sqrt{1+u_n}-1$, ta thấy rằng nếu $u_n > -1$, thì $u_{n+1}$ luôn xác định và dương vì $\sqrt{1 + u_n} > 1$ khi $u_n > 0$. Do đó, ta có thể chứng minh bằng quy nạp rằng $u_n > 0$ cho mọi $n$.

Bây giờ, giả sử $\lim_{n \to \infty} u_n = L$. Thay vào công thức đệ quy, ta có:
$$ L = \sqrt{1 + L} - 1 $$
$$ L + 1 = \sqrt{1 + L} $$
$$ (L + 1)^2 = 1 + L $$
$$ L^2 + 2L + 1 = 1 + L $$
$$ L^2 + L = 0 $$
$$ L(L + 1) = 0 $$

Vậy $L = 0$ hoặc $L = -1$. Vì $u_n > 0$ cho mọi $n$, nên $L = 0$. Do đó, $\lim_{n \to \infty} u_n = 0$.

(b) Ta có $u_1 = a > 0$. Xét $u_{n+1} = \frac{1}{2}(u_n + \frac{1}{u_n})$. Ta sẽ chứng minh rằng dãy này hội tụ đến 1.

Giả sử $\lim_{n \to \infty} u_n = L$. Thay vào công thức đệ quy, ta có:
$$ L = \frac{1}{2}(L + \frac{1}{L}) $$
$$ 2L = L + \frac{1}{L} $$
$$ L = \frac{1}{L} $$
$$ L^2 = 1 $$

Vậy $L = 1$ hoặc $L = -1$. Vì $u_n > 0$ cho mọi $n$, nên $L = 1$. Do đó, $\lim_{n \to \infty} u_n = 1$.

(c) Ta có $u_1 = a > 0$. Xét $u_{n+1} = \frac{1}{2}(u_n + \frac{1}{2u_n})$. Ta sẽ chứng minh rằng dãy này hội tụ đến $\frac{1}{\sqrt{2}}$.

Giả sử $\lim_{n \to \infty} u_n = L$. Thay vào công thức đệ quy, ta có:
$$ L = \frac{1}{2}(L + \frac{1}{2L}) $$
$$ 2L = L + \frac{1}{2L} $$
$$ L = \frac{1}{2L} $$
$$ 2L^2 = 1 $$
$$ L^2 = \frac{1}{2} $$

Vậy $L = \frac{1}{\sqrt{2}}$ hoặc $L = -\frac{1}{\sqrt{2}}$. Vì $u_n > 0$ cho mọi $n$, nên $L = \frac{1}{\sqrt{2}}$. Do đó, $\lim_{n \to \infty} u_n = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

(d) Ta có $u_1 = a > 0$. Xét $u_{n+1} = \ln(u_n + 1)$. Ta sẽ chứng minh rằng dãy này hội tụ đến 0.

Giả sử $\lim_{n \to \infty} u_n = L$. Thay vào công thức đệ quy, ta có:
$$ L = \ln(L + 1) $$

Xét hàm $f(x) = \ln(x + 1) - x$. Ta có $f(0) = 0$ và $f&#x27;(x) = \frac{1}{x + 1} - 1 < 0$ khi $x > 0$. Do đó, $f(x)$ giảm trên $(0, \infty)$ và chỉ có nghiệm duy nhất là $x = 0$. Vậy $L = 0$. Do đó, $\lim_{n \to \infty} u_n = 0$.

Đáp số:
(a) $\lim_{n \to \infty} u_n = 0$
(b) $\lim_{n \to \infty} u_n = 1$
(c) $\lim_{n \to \infty} u_n = \frac{1}{\sqrt{2}}$
(d) $\lim_{n \to \infty} u_n = 0$