(a+b+c)^3-(b+c+a)^3-(a+c-b)^3-(a+b-c)^3

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng các tính chất của lũy thừa và phép trừ để đơn giản hóa biểu thức \((a+b+c)^3 - (b+c+a)^3 - (a+c-b)^3 - (a+b-c)^3\). Bước 1: Nhận thấy rằng \((b+c+a)\) và \((a+b+c)\) là cùng một biểu thức, do đó \((b+c+a)^3 = (a+b+c)^3\). Bước 2: Thay thế vào biểu thức ban đầu, ta có: \[ (a+b+c)^3 - (a+b+c)^3 - (a+c-b)^3 - (a+b-c)^3 \] Bước 3: Các biểu thức \((a+b+c)^3\) và \((a+b+c)^3\) triệt tiêu nhau: \[ 0 - (a+c-b)^3 - (a+b-c)^3 \] Bước 4: Ta tiếp tục đơn giản hóa biểu thức còn lại: \[ -(a+c-b)^3 - (a+b-c)^3 \] Bước 5: Để dễ dàng hơn trong việc tính toán, ta sẽ mở rộng từng biểu thức theo công thức lũy thừa: \[ (a+c-b)^3 = a^3 + c^3 - b^3 + 3a^2c - 3a^2b + 3ac^2 - 3ab^2 - 3bc^2 + 3b^2c \] \[ (a+b-c)^3 = a^3 + b^3 - c^3 + 3a^2b - 3a^2c + 3ab^2 - 3ac^2 - 3b^2c + 3bc^2 \] Bước 6: Thay các biểu thức đã mở rộng vào biểu thức ban đầu: \[ -(a^3 + c^3 - b^3 + 3a^2c - 3a^2b + 3ac^2 - 3ab^2 - 3bc^2 + 3b^2c) - (a^3 + b^3 - c^3 + 3a^2b - 3a^2c + 3ab^2 - 3ac^2 - 3b^2c + 3bc^2) \] Bước 7: Kết hợp các hạng tử tương tự: \[ -(a^3 + c^3 - b^3 + 3a^2c - 3a^2b + 3ac^2 - 3ab^2 - 3bc^2 + 3b^2c) - (a^3 + b^3 - c^3 + 3a^2b - 3a^2c + 3ab^2 - 3ac^2 - 3b^2c + 3bc^2) \] \[ = -a^3 - c^3 + b^3 - 3a^2c + 3a^2b - 3ac^2 + 3ab^2 + 3bc^2 - 3b^2c - a^3 - b^3 + c^3 - 3a^2b + 3a^2c - 3ab^2 + 3ac^2 + 3b^2c - 3bc^2 \] Bước 8: Các hạng tử triệt tiêu nhau: \[ -a^3 - a^3 + b^3 - b^3 - c^3 + c^3 - 3a^2c + 3a^2c - 3a^2b + 3a^2b - 3ac^2 + 3ac^2 + 3ab^2 - 3ab^2 + 3bc^2 - 3bc^2 - 3b^2c + 3b^2c \] \[ = 0 \] Vậy kết quả cuối cùng là: \[ \boxed{0} \]