holkjcllhnkkllkhv

Bài 4. a) Ta có K là trung điểm của MN, O là trung điểm của PM nên OK là đường trung bình của tam giác PMN. Do đó, OK // PN và OK = $\frac{1}{2}$PN. Mặt khác, O là trung điểm của KD nên OK = DK. Từ đó ta có DK // PN và DK = PN. Tứ giác MDPK có DK // PN và DK = PN nên là hình bình hành. b) Ta có KG vuông góc với NP nên KG vuông góc với DK (vì DK // PN). Tứ giác MDPK là hình bình hành nên PK // MD. Do đó, OK vuông góc với MD (vì OK vuông góc với PK). Từ đó ta có OK là đường cao hạ từ đỉnh O của tam giác MOD hạ xuống cạnh MD. Mặt khác, OK cũng là đường trung tuyến hạ từ đỉnh O của tam giác MOD hạ xuống cạnh MD (vì O là trung điểm của KD). Do đó, tam giác MOD là tam giác cân tại O. Suy ra OD = OM. Ta có OK là đường trung trực của đoạn thẳng MD (vì OK là đường cao và đường trung tuyến hạ từ đỉnh O của tam giác MOD). Do đó, OK vuông góc với MD và K là trung điểm của MD. Từ đó ta có MK = KD. Mặt khác, ta đã chứng minh OK = DK. Do đó, tam giác MKO là tam giác đều. Suy ra MK = KO = OD. Ta có OK = PO (vì O là trung điểm của PM và OK là đường trung bình của tam giác PMN). Do đó, PO = OD. Từ đó ta có GK = PO (vì GK = OD và PO = OD).