Sét đúng sai mỗi câu

Câu 1: Để giải quyết các khẳng định về hàm số \( y = f(x) = \frac{x^2 + 4x - 1}{x - 1} \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: a) Hàm số đồng biến trên các khoảng \((-∞; -1)\) và \((3; +∞)\) Đầu tiên, ta tìm đạo hàm của hàm số: \[ f'(x) = \left( \frac{x^2 + 4x - 1}{x - 1} \right)' \] Áp dụng quy tắc đạo hàm của thương: \[ f'(x) = \frac{(x^2 + 4x - 1)'(x - 1) - (x^2 + 4x - 1)(x - 1)'}{(x - 1)^2} \] \[ f'(x) = \frac{(2x + 4)(x - 1) - (x^2 + 4x - 1)}{(x - 1)^2} \] \[ f'(x) = \frac{2x^2 + 4x - 2x - 4 - x^2 - 4x + 1}{(x - 1)^2} \] \[ f'(x) = \frac{x^2 - 2x - 3}{(x - 1)^2} \] Phân tích nhân tử: \[ f'(x) = \frac{(x - 3)(x + 1)}{(x - 1)^2} \] Để xác định các khoảng đồng biến và nghịch biến, ta xét dấu của \( f'(x) \): - \( f'(x) > 0 \) khi \( (x - 3)(x + 1) > 0 \) - \( f'(x) < 0 \) khi \( (x - 3)(x + 1) < 0 \) Từ đó, ta có: - \( f'(x) > 0 \) trên các khoảng \((-∞; -1)\) và \((3; +∞)\) - \( f'(x) < 0 \) trên khoảng \((-1; 1)\) và \((1; 3)\) Vậy khẳng định a) là Đúng. b) Điểm cực đại đồ thị hàm số \( f(x) \) có tọa độ là \((-1; 2)\) Ta đã tìm được đạo hàm: \[ f'(x) = \frac{(x - 3)(x + 1)}{(x - 1)^2} \] Điểm cực đại xảy ra khi \( f'(x) = 0 \) và thay đổi từ dương sang âm. Ta có: \[ f'(x) = 0 \Rightarrow (x - 3)(x + 1) = 0 \] \[ x = 3 \text{ hoặc } x = -1 \] Kiểm tra dấu của \( f'(x) \) xung quanh các điểm này: - \( x = -1 \): \( f'(x) \) thay đổi từ dương sang âm, do đó \( x = -1 \) là điểm cực đại. - \( x = 3 \): \( f'(x) \) thay đổi từ âm sang dương, do đó \( x = 3 \) là điểm cực tiểu. Tính giá trị của hàm số tại \( x = -1 \): \[ f(-1) = \frac{(-1)^2 + 4(-1) - 1}{-1 - 1} = \frac{1 - 4 - 1}{-2} = \frac{-4}{-2} = 2 \] Vậy điểm cực đại có tọa độ là \((-1; 2)\). Khẳng định b) là Đúng. c) Đường thẳng \( x = 1 \) là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \( f(x) \) Đường thẳng \( x = 1 \) là đường tiệm cận đứng nếu: \[ \lim_{x \to 1^-} f(x) = \pm \infty \quad \text{và} \quad \lim_{x \to 1^+} f(x) = \pm \infty \] Ta có: \[ f(x) = \frac{x^2 + 4x - 1}{x - 1} \] Khi \( x \to 1 \): \[ \lim_{x \to 1} f(x) = \lim_{x \to 1} \frac{x^2 + 4x - 1}{x - 1} \] Áp dụng phép chia đa thức: \[ x^2 + 4x - 1 = (x - 1)(x + 5) + 4 \] \[ f(x) = x + 5 + \frac{4}{x - 1} \] Khi \( x \to 1 \): \[ \lim_{x \to 1^-} f(x) = -\infty \quad \text{và} \quad \lim_{x \to 1^+} f(x) = +\infty \] Vậy đường thẳng \( x = 1 \) là đường tiệm cận đứng. Khẳng định c) là Đúng. d) Phương trình đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số \( f(x) \) là \( y = 2x + 5 \) Ta đã tìm được: \[ f(x) = x + 5 + \frac{4}{x - 1} \] Khi \( x \to \infty \) hoặc \( x \to -\infty \): \[ \frac{4}{x - 1} \to 0 \] Do đó, đường tiệm cận xiên là: \[ y = x + 5 \] Vậy khẳng định d) là Sai. Kết luận: - a) Đúng - b) Đúng - c) Đúng - d) Sai