het luon ạ

Câu 2. a) Tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số lần lượt là $x=-1,y=2$ Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng $x=-1$ và tiệm cận ngang là đường thẳng $y=2$. b) Hàm số đồng biến trên các khoảng $(-\infty;-1)$ và $(-1;+\infty)$ Hàm số đồng biến trên các khoảng $(-\infty;-1)$ và $(-1;+\infty)$. c) Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm $(0;1)$ Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm $(0;1)$. d) Đồ thị trên là của hàm số $y=\frac{2x+1}{x-1}$ Đồ thị hàm số $y=\frac{2x+1}{x-1}$ có tiệm cận đứng là đường thẳng $x=1$, tiệm cận ngang là đường thẳng $y=2$, và cắt trục tung tại điểm $(0;-1)$. Vậy đáp án đúng là d) Đồ thị trên là của hàm số $y=\frac{2x+1}{x-1}$. Câu 3. a) Khối lượng muối có trong bình ban đầu là: \[ 100 \times 0,5 = 50 \text{ mg} \] Khối lượng muối có trong x lít nước muối nồng độ 0,9 mg/l là: \[ 0,9x \text{ mg} \] Vậy tổng khối lượng muối trong bình sau khi đổ thêm là: \[ 50 + 0,9x \text{ mg} \] b) Tổng thể tích dung dịch trong bình sau khi đổ thêm là: \[ 100 + x \text{ lít} \] Nồng độ muối trong bình sau khi đổ thêm được tính bởi công thức: \[ C(x) = \frac{50 + 0,9x}{100 + x} \text{ mg/l} \] c) Để kiểm tra nồng độ muối trong bình có tăng hay không khi x tăng, ta xét đạo hàm của hàm số \( C(x) \): \[ C(x) = \frac{50 + 0,9x}{100 + x} \] Áp dụng quy tắc đạo hàm của thương hai hàm số: \[ C'(x) = \frac{(0,9)(100 + x) - (50 + 0,9x)(1)}{(100 + x)^2} \] \[ C'(x) = \frac{90 + 0,9x - 50 - 0,9x}{(100 + x)^2} \] \[ C'(x) = \frac{40}{(100 + x)^2} \] Vì \( \frac{40}{(100 + x)^2} > 0 \) cho mọi \( x \geq 0 \), nên \( C(x) \) là hàm số đồng biến trên khoảng \( [0, +\infty) \). Do đó, nồng độ muối trong bình tăng khi x tăng. d) Ta cần chứng minh rằng \( C(x) < 0,9 \) cho mọi \( x \geq 0 \): \[ C(x) = \frac{50 + 0,9x}{100 + x} \] Ta so sánh \( C(x) \) với 0,9: \[ \frac{50 + 0,9x}{100 + x} < 0,9 \] Nhân cả hai vế với \( 100 + x \) (vì \( 100 + x > 0 \)): \[ 50 + 0,9x < 0,9(100 + x) \] \[ 50 + 0,9x < 90 + 0,9x \] Trừ \( 0,9x \) từ cả hai vế: \[ 50 < 90 \] Bất đẳng thức này luôn đúng, do đó \( C(x) < 0,9 \) cho mọi \( x \geq 0 \). Vậy nồng độ muối trong bình luôn bé hơn 0,9 mg/l. Câu 4. a) Hàm số xác định trên tập R vì là hàm đa thức. b) Đạo hàm của hàm số là: \[ f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 - 3x^2 + 4) = 3x^2 - 6x \] c) Để tìm các điểm cực đại, ta giải phương trình đạo hàm bằng 0: \[ f'(x) = 3x^2 - 6x = 0 \] \[ 3x(x - 2) = 0 \] \[ x = 0 \text{ hoặc } x = 2 \] Ta kiểm tra tính chất của đạo hàm ở các điểm này: - Khi \( x < 0 \): \( f'(x) > 0 \) - Khi \( 0 < x < 2 \): \( f'(x) < 0 \) - Khi \( x > 2 \): \( f'(x) > 0 \) Do đó, hàm số đạt cực đại tại \( x = 0 \). d) Để tìm giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn \([-1, 1]\), ta tính giá trị của hàm số tại các điểm biên và điểm cực đại trong đoạn này: - \( f(-1) = (-1)^3 - 3(-1)^2 + 4 = -1 - 3 + 4 = 0 \) - \( f(0) = 0^3 - 3(0)^2 + 4 = 4 \) - \( f(1) = 1^3 - 3(1)^2 + 4 = 1 - 3 + 4 = 2 \) Trong các giá trị trên, giá trị lớn nhất là 4. Vậy, giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn \([-1, 1]\) là 4. Đáp số: a) R b) \( 3x^2 - 6x \) c) 1 d) 4 Câu 1. Để tìm giá trị cực tiểu của hàm số $y = x^3 - 3x + 2$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số. \[ y' = \frac{d}{dx}(x^3 - 3x + 2) = 3x^2 - 3 \] Bước 2: Tìm các điểm cực trị bằng cách giải phương trình đạo hàm bằng 0. \[ y' = 0 \] \[ 3x^2 - 3 = 0 \] \[ 3(x^2 - 1) = 0 \] \[ x^2 - 1 = 0 \] \[ (x - 1)(x + 1) = 0 \] \[ x = 1 \quad \text{hoặc} \quad x = -1 \] Bước 3: Xác định tính chất của các điểm cực trị bằng cách kiểm tra dấu của đạo hàm hai bên các điểm này. - Tại $x = -1$: - Khi $x < -1$, chọn $x = -2$: $y' = 3(-2)^2 - 3 = 9 > 0$ - Khi $x > -1$, chọn $x = 0$: $y' = 3(0)^2 - 3 = -3 < 0$ Do đó, tại $x = -1$, hàm số đạt cực đại. - Tại $x = 1$: - Khi $x < 1$, chọn $x = 0$: $y' = 3(0)^2 - 3 = -3 < 0$ - Khi $x > 1$, chọn $x = 2$: $y' = 3(2)^2 - 3 = 9 > 0$ Do đó, tại $x = 1$, hàm số đạt cực tiểu. Bước 4: Tính giá trị của hàm số tại điểm cực tiểu. \[ y(1) = 1^3 - 3(1) + 2 = 1 - 3 + 2 = 0 \] Vậy giá trị cực tiểu của hàm số là $\boxed{0}$. Câu 2. Để tìm giá trị của \(a\), \(b\), và \(c\) trong biểu thức \(y = \frac{x^2 - 5x + 15}{x + 3} = ax + b + \frac{c}{x + 3}\), chúng ta sẽ thực hiện phép chia đa thức. Bước 1: Thực hiện phép chia \(x^2 - 5x + 15\) cho \(x + 3\). \[ \begin{array}{r|rr} & x & -8 \\ \hline x + 3 & x^2 & -5x & +15 \\ & x^2 & +3x & \\ \hline & & -8x & +15 \\ & & -8x & -24 \\ \hline & & & 39 \\ \end{array} \] Kết quả của phép chia là: \[ x - 8 + \frac{39}{x + 3} \] Bước 2: So sánh kết quả trên với biểu thức \(ax + b + \frac{c}{x + 3}\): \[ y = x - 8 + \frac{39}{x + 3} \] Từ đó, ta nhận thấy: \[ a = 1, \quad b = -8, \quad c = 39 \] Bước 3: Tính \(a + b + c\): \[ a + b + c = 1 + (-8) + 39 = 32 \] Vậy, giá trị của \(a + b + c\) là: \[ \boxed{32} \]