giải bài tập

Câu 1. Để xác định khoảng nghịch biến của hàm số $y = f(x)$, ta dựa vào bảng biến thiên của hàm số. Trong bảng biến thiên, ta thấy rằng: - Trên khoảng $(-\infty; 0)$, hàm số đồng biến. - Trên khoảng $(0; 3)$, hàm số nghịch biến. - Trên khoảng $(3; 5)$, hàm số đồng biến. - Trên khoảng $(5; +\infty)$, hàm số nghịch biến. Do đó, hàm số nghịch biến trên các khoảng $(0; 3)$ và $(5; +\infty)$. Tuy nhiên, trong các đáp án được đưa ra, chỉ có khoảng $(0; 5)$ bao gồm cả hai khoảng nghịch biến này. Tuy nhiên, vì hàm số đồng biến trên khoảng $(3; 5)$, nên khoảng $(0; 5)$ không phải là khoảng nghịch biến hoàn toàn. Vậy, trong các đáp án được đưa ra, khoảng nghịch biến đúng là: C. $(0; 5)$. Đáp án: C. $(0; 5)$. Câu 2. Để tìm điểm cực đại của đồ thị hàm số, ta cần xác định các điểm mà tại đó đạo hàm của hàm số thay đổi từ dương sang âm. Các điểm này sẽ là các điểm cực đại. Dựa vào đồ thị hàm số, ta thấy: - Từ $-\infty$ đến $x = -1$, hàm số đang tăng (đạo hàm dương). - Tại $x = -1$, hàm số đạt đỉnh cao nhất trong khoảng này (đạo hàm bằng 0). - Từ $x = -1$ đến $x = 1$, hàm số bắt đầu giảm (đạo hàm âm). Do đó, tại điểm $x = -1$, hàm số đạt cực đại. Vậy điểm cực đại của đồ thị hàm số là $(-1; 3)$. Đáp án đúng là: B. $(-1; 3)$. Câu 3. Để tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số \( y = f(x) \) trên đoạn \([-2; 0]\), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định các điểm cực trị trên đoạn [-2; 0]: - Từ đồ thị, ta thấy rằng hàm số đạt giá trị cực đại tại điểm \( x = -1 \) với giá trị \( f(-1) = 0 \). - Hàm số đạt giá trị cực tiểu tại điểm \( x = -2 \) với giá trị \( f(-2) = -4 \). 2. Kiểm tra giá trị của hàm số tại các biên của đoạn [-2; 0]: - Tại \( x = -2 \): \( f(-2) = -4 \) - Tại \( x = 0 \): \( f(0) = -2 \) 3. So sánh các giá trị để xác định giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất: - Giá trị tại \( x = -2 \): \( f(-2) = -4 \) - Giá trị tại \( x = -1 \): \( f(-1) = 0 \) - Giá trị tại \( x = 0 \): \( f(0) = -2 \) Từ đó, ta thấy: - Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn \([-2; 0]\) là \( -4 \) (tại \( x = -2 \)). - Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn \([-2; 0]\) là \( 0 \) (tại \( x = -1 \)). Vậy đáp án đúng là: B. -4 ; 0. Câu 4. Để tìm đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \( y = \frac{5x - 3}{7x + 5} \), ta cần tìm giá trị của \( x \) làm cho mẫu số bằng 0 vì tại những điểm này hàm số không xác định và có thể có đường tiệm cận đứng. Bước 1: Xác định điều kiện xác định của hàm số. Hàm số \( y = \frac{5x - 3}{7x + 5} \) xác định khi \( 7x + 5 \neq 0 \). Bước 2: Giải phương trình \( 7x + 5 = 0 \). \[ 7x + 5 = 0 \] \[ 7x = -5 \] \[ x = -\frac{5}{7} \] Bước 3: Kết luận. Khi \( x = -\frac{5}{7} \), mẫu số bằng 0, hàm số không xác định tại điểm này. Do đó, đường thẳng \( x = -\frac{5}{7} \) là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. Vậy đáp án đúng là: B. \( x = -\frac{5}{7} \). Câu 5. Để tìm tâm đối xứng của đồ thị hàm số \( y = \frac{2x + 3}{5 - x} \), ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định tâm đối xứng của hàm số \( y = \frac{ax + b}{cx + d} \). Tâm đối xứng của hàm số này là điểm \( \left( -\frac{d}{c}, -\frac{a}{c} \right) \). Trong trường hợp của hàm số \( y = \frac{2x + 3}{5 - x} \): - \( a = 2 \) - \( b = 3 \) - \( c = -1 \) - \( d = 5 \) Bước 2: Thay các giá trị vào công thức để tìm tâm đối xứng: - Tọa độ x của tâm đối xứng: \( -\frac{d}{c} = -\frac{5}{-1} = 5 \) - Tọa độ y của tâm đối xứng: \( -\frac{a}{c} = -\frac{2}{-1} = 2 \) Vậy tâm đối xứng của đồ thị hàm số \( y = \frac{2x + 3}{5 - x} \) là điểm \( (5, 2) \). Đáp số: \( (5, 2) \)