chỉ mình với = Bài 1. Tìm m ể hàm số,$a)~y=\frac{x^3}3-mx^2+(m^2-m+1)x+1$ đạt cực tiểu tại $x=3.$,u,$b)~y=x^3-3mx^2+3(m^2-1)x$ A,đạt cực đại tại $x_0=1.$,IL

Question

chỉ mình với = Bài 1. Tìm m ể  hàm số,$a)~y=\frac{x^3}3-mx^2+(m^2-m+1)x+1$ đạt cực tiểu tại $x=3.$,u,$b)~y=x^3-3mx^2+3(m^2-1)x$ A,đạt cực đại tại $x_0=1.$,IL

Accepted Answer

Bài 1. Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ áp dụng các kiến thức về đạo hàm để tìm giá trị của $ m $ sao cho hàm số đạt cực tiểu hoặc cực đại tại điểm đã cho. Câu a) Tìm $ m $ để hàm số $ y = \frac{x^3}{3} - mx^2 + (m^2 - m + 1)x + 1 $ đạt cực tiểu tại $ x = 3 $. 1. Tìm đạo hàm của hàm số: $$ y' = \left( \frac{x^3}{3} - mx^2 + (m^2 - m + 1)x + 1 \right)' = x^2 - 2mx + (m^2 - m + 1) $$ 2. Áp dụng điều kiện cực tiểu: Hàm số đạt cực tiểu tại $ x = 3 $ khi $ y'(3) = 0 $: $$ y'(3) = 3^2 - 2m \cdot 3 + (m^2 - m + 1) = 9 - 6m + m^2 - m + 1 = m^2 - 7m + 10 $$ $$ m^2 - 7m + 10 = 0 $$ 3. Giải phương trình bậc hai: $$ m^2 - 7m + 10 = 0 $$ $$ (m - 2)(m - 5) = 0 $$ $$ m = 2 \text{ hoặc } m = 5 $$ 4. Kiểm tra điều kiện cực tiểu: - Với $ m = 2 $: $$ y' = x^2 - 4x + 3 $$ $$ y'' = 2x - 4 $$ $$ y''(3) = 2 \cdot 3 - 4 = 2 > 0 $$ (cực tiểu) - Với $ m = 5 $: $$ y' = x^2 - 10x + 21 $$ $$ y'' = 2x - 10 $$ $$ y''(3) = 2 \cdot 3 - 10 = -4 < 0 $$ (cực đại) Vậy $ m = 2 $ là giá trị thỏa mãn điều kiện cực tiểu tại $ x = 3 $. Câu b) Tìm $ m $ để hàm số $ y = x^3 - 3mx^2 + 3(m^2 - 1)x $ đạt cực đại tại $ x_0 = 1 $. 1. Tìm đạo hàm của hàm số: $$ y' = (x^3 - 3mx^2 + 3(m^2 - 1)x)' = 3x^2 - 6mx + 3(m^2 - 1) $$ 2. Áp dụng điều kiện cực đại: Hàm số đạt cực đại tại $ x = 1 $ khi $ y'(1) = 0 $: $$ y'(1) = 3 \cdot 1^2 - 6m \cdot 1 + 3(m^2 - 1) = 3 - 6m + 3m^2 - 3 = 3m^2 - 6m $$ $$ 3m^2 - 6m = 0 $$ $$ 3m(m - 2) = 0 $$ $$ m = 0 \text{ hoặc } m = 2 $$ 3. Kiểm tra điều kiện cực đại: - Với $ m = 0 $: $$ y' = 3x^2 $$ $$ y'' = 6x $$ $$ y''(1) = 6 \cdot 1 = 6 > 0 $$ (cực tiểu) - Với $ m = 2 $: $$ y' = 3x^2 - 12x + 9 $$ $$ y'' = 6x - 12 $$ $$ y''(1) = 6 \cdot 1 - 12 = -6 < 0 $$ (cực đại) Vậy $ m = 2 $ là giá trị thỏa mãn điều kiện cực đại tại $ x = 1 $. Đáp số: a) $ m = 2 $ b) $ m = 2 $