giúp mình với

Câu 11. Để xác định đồ thị của hàm số nào có dạng như đường cong trong hình, chúng ta sẽ kiểm tra từng hàm số đã cho. A. \( y = -x^4 + 2x^2 + 1 \) - Đây là hàm bậc 4 với hệ số cao nhất âm (-1). Đồ thị của hàm bậc 4 với hệ số cao nhất âm sẽ mở rộng xuống dưới, không phù hợp với đường cong trong hình. B. \( y = x^4 - 2x^2 + 1 \) - Đây cũng là hàm bậc 4 nhưng với hệ số cao nhất dương (1). Đồ thị của hàm bậc 4 với hệ số cao nhất dương sẽ mở rộng lên trên, không phù hợp với đường cong trong hình. C. \( y = x^3 - 3x + 1 \) - Đây là hàm bậc 3 với hệ số cao nhất dương (1). Đồ thị của hàm bậc 3 với hệ số cao nhất dương sẽ mở rộng lên trên, không phù hợp với đường cong trong hình. D. \( y = -x^3 + 3x + 1 \) - Đây là hàm bậc 3 với hệ số cao nhất âm (-1). Đồ thị của hàm bậc 3 với hệ số cao nhất âm sẽ mở rộng xuống dưới, phù hợp với đường cong trong hình. Do đó, đáp án đúng là: D. \( y = -x^3 + 3x + 1 \) Câu 12. Dựa vào bảng biến thiên của hàm số $y = f(x)$, ta thấy: - Trên khoảng $(-\infty, -2)$, hàm số đồng biến. - Tại điểm $x = -2$, hàm số đạt cực đại với giá trị $f(-2) = 3$. - Trên khoảng $(-2, 1)$, hàm số nghịch biến. - Tại điểm $x = 1$, hàm số đạt cực tiểu với giá trị $f(1) = -1$. - Trên khoảng $(1, +\infty)$, hàm số đồng biến. Trên đoạn $[-3, 3]$, ta cần tìm giá trị lớn nhất của hàm số. Ta sẽ so sánh các giá trị của hàm số tại các điểm đặc biệt trong đoạn này: - $f(-3)$: Không biết giá trị cụ thể nhưng do hàm số đồng biến trên $(-\infty, -2)$ nên $f(-3) < f(-2)$. - $f(-2) = 3$. - $f(1) = -1$. - $f(3)$: Không biết giá trị cụ thể nhưng do hàm số đồng biến trên $(1, +\infty)$ nên $f(3) > f(1)$. Từ bảng biến thiên, ta thấy giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn $[-3, 3]$ là $f(-2) = 3$. Vậy giá trị lớn nhất của hàm số đã cho trên đoạn $[-3, 3]$ là $\boxed{3}$. Câu 1. Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ kiểm tra từng phát biểu một để xác định xem chúng đúng hay sai. a) $\lim_{x \to -\infty} [f(x) - \frac{3}{2}] = 0$ Ta có: \[ f(x) = \frac{x-1}{2x+1} \] Tính giới hạn: \[ \lim_{x \to -\infty} f(x) = \lim_{x \to -\infty} \frac{x-1}{2x+1} \] Chia cả tử và mẫu cho \(x\): \[ \lim_{x \to -\infty} \frac{\frac{x-1}{x}}{\frac{2x+1}{x}} = \lim_{x \to -\infty} \frac{1 - \frac{1}{x}}{2 + \frac{1}{x}} = \frac{1 - 0}{2 + 0} = \frac{1}{2} \] Do đó: \[ \lim_{x \to -\infty} [f(x) - \frac{3}{2}] = \lim_{x \to -\infty} \left( \frac{1}{2} - \frac{3}{2} \right) = \lim_{x \to -\infty} (-1) = -1 \neq 0 \] Vậy phát biểu a) là sai. b) Đường thẳng \(x = -\frac{3}{2}\) là tiệm cận đứng của đồ thị (C) Để kiểm tra xem đường thẳng \(x = -\frac{3}{2}\) có phải là tiệm cận đứng hay không, ta tính giới hạn của \(f(x)\) khi \(x\) tiến đến \(-\frac{3}{2}\): \[ \lim_{x \to -\frac{3}{2}} f(x) = \lim_{x \to -\frac{3}{2}} \frac{x-1}{2x+1} \] Khi \(x\) tiến đến \(-\frac{3}{2}\), mẫu số \(2x + 1\) tiến đến 0. Ta có: \[ \lim_{x \to -\frac{3}{2}^-} f(x) = -\infty \] \[ \lim_{x \to -\frac{3}{2}^+} f(x) = +\infty \] Vậy đường thẳng \(x = -\frac{3}{2}\) là tiệm cận đứng của đồ thị (C). Phát biểu b) là đúng. c) Đường thẳng \(y = \frac{1}{2}\) là tiệm cận ngang của đồ thị (C) Ta đã tính giới hạn của \(f(x)\) khi \(x\) tiến đến vô cùng ở phần trên: \[ \lim_{x \to \pm\infty} f(x) = \frac{1}{2} \] Vậy đường thẳng \(y = \frac{1}{2}\) là tiệm cận ngang của đồ thị (C). Phát biểu c) là đúng. d) \(\lim_{x \to -1^+} f(x) = +\infty\) Ta tính giới hạn của \(f(x)\) khi \(x\) tiến đến \(-1\) từ bên phải: \[ \lim_{x \to -1^+} f(x) = \lim_{x \to -1^+} \frac{x-1}{2x+1} \] Khi \(x\) tiến đến \(-1\) từ bên phải, mẫu số \(2x + 1\) tiến đến 0 từ phía dương. Ta có: \[ \lim_{x \to -1^+} f(x) = +\infty \] Vậy phát biểu d) là đúng. Kết luận: - Phát biểu a) là sai. - Phát biểu b) là đúng. - Phát biểu c) là đúng. - Phát biểu d) là đúng. Câu 2. Dựa vào bảng biến thiên của hàm số $y = f(x)$, ta sẽ kiểm tra từng phát biểu: a) Hàm số đồng biến trên khoảng $(0; +\infty)$ Theo bảng biến thiên, ta thấy rằng từ $x = 0$ đến $x = +\infty$, hàm số liên tục tăng dần. Do đó, phát biểu này đúng. b) Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số thuộc đường thẳng $2x + 2y - 4 = 0$ Điểm cực tiểu của hàm số là điểm $(1, 1)$. Thay tọa độ điểm này vào phương trình đường thẳng: \[ 2(1) + 2(1) - 4 = 2 + 2 - 4 = 0 \] Phương trình đúng, do đó phát biểu này cũng đúng. c) Hàm số có ba điểm cực trị Bảng biến thiên cho thấy hàm số có hai điểm cực trị: một điểm cực đại tại $x = -1$ và một điểm cực tiểu tại $x = 1$. Do đó, phát biểu này sai. d) Hàm số có $y_{CD} = 3$ và $y_{CT} = 0$ Bảng biến thiên cho thấy giới hạn của hàm số khi $x$ tiến đến $-\infty$ là $3$ và khi $x$ tiến đến $+\infty$ là $0$. Do đó, phát biểu này đúng. Kết luận: a) Đúng b) Đúng c) Sai d) Đúng Câu 3. Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định tập xác định của hàm số Hàm số $y = \sqrt{x^2 - 3x}$ có nghĩa khi biểu thức dưới dấu căn lớn hơn hoặc bằng 0: \[ x^2 - 3x \geq 0 \] Ta giải bất phương trình này: \[ x(x - 3) \geq 0 \] Phương trình $x(x - 3) = 0$ có hai nghiệm là $x = 0$ và $x = 3$. Ta vẽ bảng xét dấu: | | $(-\infty, 0)$ | $(0, 3)$ | $(3, +\infty)$ | |---|----------------|----------|----------------| | $x$ | - | + | + | | $x - 3$ | - | - | + | | $x(x - 3)$ | + | - | + | Từ bảng xét dấu, ta thấy $x(x - 3) \geq 0$ khi $x \leq 0$ hoặc $x \geq 3$. Vậy tập xác định của hàm số là: \[ D = (-\infty, 0] \cup [3, +\infty) \] Bước 2: Xét tính đồng biến của hàm số Để xét tính đồng biến của hàm số $y = \sqrt{x^2 - 3x}$, ta tìm đạo hàm của hàm số này: \[ y' = \frac{d}{dx} \left( \sqrt{x^2 - 3x} \right) \] Áp dụng công thức đạo hàm của hàm số căn bậc hai: \[ y' = \frac{1}{2\sqrt{x^2 - 3x}} \cdot (2x - 3) = \frac{2x - 3}{2\sqrt{x^2 - 3x}} \] Đạo hàm $y'$ sẽ dương khi: \[ \frac{2x - 3}{2\sqrt{x^2 - 3x}} > 0 \] Ta xét dấu của tử số $2x - 3$ và mẫu số $2\sqrt{x^2 - 3x}$: - Tử số $2x - 3 > 0$ khi $x > \frac{3}{2}$. - Mẫu số $2\sqrt{x^2 - 3x} > 0$ khi $x \neq 0$ và $x \neq 3$. Do đó, $y' > 0$ khi $x > 3$. Vậy hàm số đồng biến trên khoảng $(3, +\infty)$. Kết luận a) Hàm số đồng biến trên khoảng $(3, +\infty)$. b) Tập xác định $D = (-\infty, 0] \cup [3, +\infty)$. Đáp án đúng là: a) SAI b) ĐÚNG