điền đúng sai

Câu 10. a) $\overrightarrow{DA}=(6;0;0).$ Đúng vì $\overrightarrow{DA}=(7-1;2-2;3-3)=(6;0;0).$ b) Tứ diện ABCD là tứ diện vuông đỉnh D. Để kiểm tra tính đúng sai của khẳng định này, ta cần kiểm tra xem các vectơ $\overrightarrow{DA}, \overrightarrow{DB}, \overrightarrow{DC}$ có vuông góc với nhau hay không. - $\overrightarrow{DA}=(6;0;0)$ - $\overrightarrow{DB}=(0;2;0)$ - $\overrightarrow{DC}=(0;0;3)$ Ta thấy: - $\overrightarrow{DA} \cdot \overrightarrow{DB} = 6 \times 0 + 0 \times 2 + 0 \times 0 = 0$ - $\overrightarrow{DA} \cdot \overrightarrow{DC} = 6 \times 0 + 0 \times 0 + 0 \times 3 = 0$ - $\overrightarrow{DB} \cdot \overrightarrow{DC} = 0 \times 0 + 2 \times 0 + 0 \times 3 = 0$ Vậy các vectơ $\overrightarrow{DA}, \overrightarrow{DB}, \overrightarrow{DC}$ đều vuông góc với nhau, do đó tứ diện ABCD là tứ diện vuông đỉnh D. Khẳng định này là Đúng. c) Thể tích tứ diện ABCD thỏa mãn $V_{ABCD} > 5.$ Thể tích của tứ diện ABCD được tính bằng công thức: \[ V_{ABCD} = \frac{1}{6} \left| \overrightarrow{DA} \cdot (\overrightarrow{DB} \times \overrightarrow{DC}) \right| \] Ta đã biết: - $\overrightarrow{DA} = (6;0;0)$ - $\overrightarrow{DB} = (0;2;0)$ - $\overrightarrow{DC} = (0;0;3)$ Tính tích vector $\overrightarrow{DB} \times \overrightarrow{DC}$: \[ \overrightarrow{DB} \times \overrightarrow{DC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{vmatrix} = (2 \times 3 - 0 \times 0)\mathbf{i} - (0 \times 3 - 0 \times 0)\mathbf{j} + (0 \times 0 - 0 \times 2)\mathbf{k} = (6;0;0) \] Tính tích vô hướng $\overrightarrow{DA} \cdot (\overrightarrow{DB} \times \overrightarrow{DC})$: \[ \overrightarrow{DA} \cdot (6;0;0) = 6 \times 6 + 0 \times 0 + 0 \times 0 = 36 \] Do đó: \[ V_{ABCD} = \frac{1}{6} \times 36 = 6 \] Vì $6 > 5$, nên khẳng định này là Đúng. d) Khi biểu thức $P = MA + MB + MC + \sqrt{3}MD$ đạt giá trị nhỏ nhất thì $OM = \sqrt{15}$. Để tìm giá trị nhỏ nhất của $P$, ta cần tìm điểm M sao cho tổng khoảng cách từ M đến các điểm A, B, C và $\sqrt{3}$ lần khoảng cách từ M đến D là nhỏ nhất. Điều này thường xảy ra khi M là trọng tâm của hình học liên quan. Trọng tâm G của tứ diện ABCD được tính bằng: \[ G = \left( \frac{x_A + x_B + x_C + x_D}{4}, \frac{y_A + y_B + y_C + y_D}{4}, \frac{z_A + z_B + z_C + z_D}{4} \right) \] \[ G = \left( \frac{7 + 1 + 1 + 1}{4}, \frac{2 + 4 + 2 + 2}{4}, \frac{3 + 3 + 6 + 3}{4} \right) = \left( \frac{10}{4}, \frac{10}{4}, \frac{15}{4} \right) = \left( \frac{5}{2}, \frac{5}{2}, \frac{15}{4} \right) \] Khoảng cách từ O đến G: \[ OG = \sqrt{\left( \frac{5}{2} \right)^2 + \left( \frac{5}{2} \right)^2 + \left( \frac{15}{4} \right)^2} = \sqrt{\frac{25}{4} + \frac{25}{4} + \frac{225}{16}} = \sqrt{\frac{100}{16} + \frac{100}{16} + \frac{225}{16}} = \sqrt{\frac{425}{16}} = \frac{\sqrt{425}}{4} = \frac{5\sqrt{17}}{4} \] Vì $\frac{5\sqrt{17}}{4} \neq \sqrt{15}$, nên khẳng định này là Sai. Kết luận: a) Đúng b) Đúng c) Đúng d) Sai Câu 11. a) Đúng vì $\overrightarrow{OA}=(1;4;5).$ b) Sai vì nếu tồn tại điểm M thỏa mãn $MA=2MB$ thì ta có $\frac{AM}{AB}=\frac{2}{3}.$ Tọa độ của điểm M là $(\frac{-5}{3};\frac{14}{3};3).$ Nhận thấy điểm M không thuộc đoạn thẳng AB nên khẳng định trên là sai. c) Sai vì $OA=\sqrt{42},~OB=\sqrt{42},~AB=\sqrt{98}.$ Nhận thấy $OA=OB$ nhưng $OA+OB=AB$ nên tam giác OAB không cân tại O. d) Đúng vì $MA^2+MB^2=(x-1)^2+(y-4)^2+25+(x+4)^2+(y-5)^2+1=(2x^2+2y^2+10x-18y+70).$ Đặt $f(x,y)=2x^2+2y^2+10x-18y+70.$ Ta có $f_x=4x+10,~f_y=4y-18.$ Từ đó suy ra $f_x=0,~f_y=0$ khi $x=\frac{-5}{2},~y=\frac{9}{2}.$ Ta có $f_{xx}=4,~f_{yy}=4,~f_{xy}=0.$ Tính $D=f_{xx}.f_{yy}-f_{xy}^2=16>0.$ Do đó hàm số đạt cực tiểu tại điểm $(\frac{-5}{2};\frac{9}{2}).$ Nhận thấy $x-y=\frac{-5}{2}-\frac{9}{2}=\frac{-14}{2}=-7$ nên điểm $(\frac{-5}{2};\frac{9}{2})$ không thỏa mãn điều kiện bài toán. Ta có $f_x=0,~x-y=-1$ khi $x=\frac{-11}{4},~y=\frac{-7}{4}.$ $f_y=0,~x-y=-1$ khi $x=\frac{7}{4},~y=\frac{11}{4}.$ Tính $f(\frac{-11}{4};\frac{-7}{4})=\frac{195}{4},~f(\frac{7}{4};\frac{11}{4})=\frac{195}{4}.$ Nhận thấy $\frac{195}{4}>f(\frac{-5}{2};\frac{9}{2})$ nên giá trị nhỏ nhất của $MA^2+MB^2$ không thể xảy ra tại hai điểm trên. Do đó giá trị nhỏ nhất của $MA^2+MB^2$ phải xảy ra tại điểm $(x_0;y_0)$ sao cho $x_0<\frac{-5}{2},~y_0>\frac{9}{2}.$ Từ đó suy ra $x_0^2+y_0^2< \frac{25}{4}+\frac{81}{4}=26,5.$ Nhận thấy $6<26,5$ nên $x_0^2+y_0^2<6.$ Câu 12. a) $\overrightarrow{AB} = (-3;3;-1)$ Ta có $\overrightarrow{AB} = B - A = (1 - 4; 0 + 3; 1 - 2) = (-3;3;-1)$ Vậy khẳng định a) là đúng. b) Trung điểm đoạn thẳng AB có cao độ bằng 1. Trung điểm của đoạn thẳng AB là: $M = \left(\frac{4 + 1}{2}; \frac{-3 + 0}{2}; \frac{2 + 1}{2}\right) = \left(\frac{5}{2}; -\frac{3}{2}; \frac{3}{2}\right)$ Cao độ của M là $\frac{3}{2}$, không bằng 1. Vậy khẳng định b) là sai. c) Với điểm N bất kỳ thuộc trục tung thì $NB \geq \sqrt{2}$. Gọi N(0; y; 0) là điểm bất kỳ thuộc trục tung. Khoảng cách từ N đến B là: $NB = \sqrt{(1 - 0)^2 + (0 - y)^2 + (1 - 0)^2} = \sqrt{1 + y^2 + 1} = \sqrt{y^2 + 2}$ Vì $y^2 \geq 0$, nên $y^2 + 2 \geq 2$, suy ra $\sqrt{y^2 + 2} \geq \sqrt{2}$. Vậy khẳng định c) là đúng. d) Tồn tại điểm $M(x; y; 0)$ sao cho $MA + MB$ đạt giá trị nhỏ nhất thì $x^2 - y^2 = 3$. Gọi M(x; y; 0) là điểm bất kỳ trong mặt phẳng Oxy. Khoảng cách từ M đến A là: $MA = \sqrt{(x - 4)^2 + (y + 3)^2 + (0 - 2)^2} = \sqrt{(x - 4)^2 + (y + 3)^2 + 4}$ Khoảng cách từ M đến B là: $MB = \sqrt{(x - 1)^2 + (y - 0)^2 + (0 - 1)^2} = \sqrt{(x - 1)^2 + y^2 + 1}$ Tổng khoảng cách từ M đến A và B là: $MA + MB = \sqrt{(x - 4)^2 + (y + 3)^2 + 4} + \sqrt{(x - 1)^2 + y^2 + 1}$ Để $MA + MB$ đạt giá trị nhỏ nhất, ta cần tìm điểm M sao cho tổng khoảng cách từ M đến A và B nhỏ nhất. Ta thấy rằng, nếu M nằm trên đường thẳng đi qua A và B thì tổng khoảng cách từ M đến A và B sẽ nhỏ nhất. Phương trình đường thẳng đi qua A và B là: $\frac{x - 4}{1 - 4} = \frac{y + 3}{0 + 3} = \frac{z - 2}{1 - 2}$ $\frac{x - 4}{-3} = \frac{y + 3}{3} = \frac{z - 2}{-1}$ Gọi M(x; y; 0) là điểm nằm trên đường thẳng này, ta có: $\frac{x - 4}{-3} = \frac{y + 3}{3} = \frac{0 - 2}{-1}$ $\frac{x - 4}{-3} = \frac{y + 3}{3} = 2$ Từ đó ta có: $x - 4 = -6 \Rightarrow x = -2$ $y + 3 = 6 \Rightarrow y = 3$ Vậy điểm M có tọa độ là M(-2; 3; 0). Ta kiểm tra xem $x^2 - y^2 = 3$ có đúng hay không: $(-2)^2 - 3^2 = 4 - 9 = -5 \neq 3$ Vậy khẳng định d) là sai. Đáp số: a) Đúng, b) Sai, c) Đúng, d) Sai. Câu 13. a) Ta có $\overrightarrow{AC^\prime}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC^\prime}=\overrightarrow{AB}+(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DD^\prime})=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AA^\prime}$. Vậy đúng. b) Ta có $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC^\prime}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{D^\prime A}=(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD})+(\overrightarrow{DD^\prime}+\overrightarrow{D^\prime A})=\overrightarrow{AD}+(\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AA^\prime})=\overrightarrow{AA^\prime}\neq \overrightarrow{0}$. Vậy sai. c) Ta có $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AA^\prime}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DD^\prime}$. Vậy đúng. d) Ta có $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CC^\prime}=\overrightarrow{AC^\prime}=\overrightarrow{AD^\prime}+\overrightarrow{D^\prime C^\prime}=\overrightarrow{AD^\prime}+(\overrightarrow{D^\prime O}+\overrightarrow{OC^\prime})=\overrightarrow{AD^\prime}+\overrightarrow{D^\prime O}+\overrightarrow{OC^\prime}$. Vậy đúng. Câu 14. a) Khẳng định đúng vì $\overrightarrow{AB} = B - A = (-2, -3, 8)$ b) Khẳng định đúng vì khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (Oxy) là giá trị tuyệt đối của tọa độ z của điểm đó, tức là |−3| = 3. c) Khẳng định sai vì trọng tâm tam giác ABC có tọa độ là trung bình cộng của tọa độ các đỉnh: \[ G = \left( \frac{2+0+1}{3}, \frac{1-2+1}{3}, \frac{-3+5+3}{3} \right) = \left( 1, 0, \frac{5}{3} \right) \] Tung độ của trọng tâm là 0, nhưng cao độ là $\frac{5}{3}$, không phải 0. d) Khẳng định đúng vì nếu tồn tại điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành, thì ta có: \[ \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC} \] \[ D = A + \overrightarrow{BC} = (2, 1, -3) + (1, 3, -2) = (3, 4, -5) \] Cao độ của điểm D là -5, lớn hơn -6. Đáp án: a) Đúng, b) Đúng, c) Sai, d) Đúng. Câu 15. a) Đúng vì khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (Oxz) là 2. b) Đúng vì trung điểm của đoạn thẳng AB có hoành độ là $\frac{1+(-1)}{2}=0$. c) Gọi $\overrightarrow u=(a;b;c)$, ta có $\left\{\begin{matrix} a+2b=0 & & \\ -a+3c=0 & & \\ 2a-3b+4c=58 & & \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a=12 & & \\ b=-6 & & \\ c=4 & & \end{matrix}\right.$ $\Rightarrow |\overrightarrow u|=\sqrt{12^2+(-6)^2+4^2}=\sqrt{196}=14>13$. d) Gọi M(a;0;0), ta có $\overrightarrow{MA}=(1-a;2;0),~\overrightarrow{MB}=(-1-a;0;3)$. Tam giác ABM vuông tại M nên $\overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MB}=0\Leftrightarrow -(1-a)(1+a)+0+0=0$ $\Leftrightarrow a^2=1\Leftrightarrow a=1$ hoặc a = -1 (loại vì M thuộc tia Ox) $\Rightarrow OM=1< \sqrt2$. Câu 16. Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ kiểm tra từng khẳng định một cách chi tiết. Khẳng định a) Độ dài đoạn thẳng \( AB = \sqrt{5} \) Độ dài đoạn thẳng \( AB \) được tính bằng công thức: \[ AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 + (z_B - z_A)^2} \] Thay tọa độ của \( A \) và \( B \): \[ AB = \sqrt{\left(-\frac{8}{3} - 2\right)^2 + \left(\frac{4}{3} - 2\right)^2 + \left(\frac{8}{3} - 1\right)^2} \] \[ AB = \sqrt{\left(-\frac{8}{3} - \frac{6}{3}\right)^2 + \left(\frac{4}{3} - \frac{6}{3}\right)^2 + \left(\frac{8}{3} - \frac{3}{3}\right)^2} \] \[ AB = \sqrt{\left(-\frac{14}{3}\right)^2 + \left(-\frac{2}{3}\right)^2 + \left(\frac{5}{3}\right)^2} \] \[ AB = \sqrt{\frac{196}{9} + \frac{4}{9} + \frac{25}{9}} \] \[ AB = \sqrt{\frac{225}{9}} \] \[ AB = \sqrt{25} \] \[ AB = 5 \] Vậy khẳng định a) là sai vì \( AB = 5 \), không phải \( \sqrt{5} \). Khẳng định b) Tam giác OAB là tam giác nhọn Để kiểm tra tính chất của tam giác OAB, chúng ta cần tính độ dài các cạnh \( OA \), \( OB \), và \( AB \). - Độ dài \( OA \): \[ OA = \sqrt{(2 - 0)^2 + (2 - 0)^2 + (1 - 0)^2} \] \[ OA = \sqrt{2^2 + 2^2 + 1^2} \] \[ OA = \sqrt{4 + 4 + 1} \] \[ OA = \sqrt{9} \] \[ OA = 3 \] - Độ dài \( OB \): \[ OB = \sqrt{\left(-\frac{8}{3} - 0\right)^2 + \left(\frac{4}{3} - 0\right)^2 + \left(\frac{8}{3} - 0\right)^2} \] \[ OB = \sqrt{\left(-\frac{8}{3}\right)^2 + \left(\frac{4}{3}\right)^2 + \left(\frac{8}{3}\right)^2} \] \[ OB = \sqrt{\frac{64}{9} + \frac{16}{9} + \frac{64}{9}} \] \[ OB = \sqrt{\frac{144}{9}} \] \[ OB = \sqrt{16} \] \[ OB = 4 \] - Độ dài \( AB \) đã tính ở trên là 5. Bây giờ, chúng ta kiểm tra điều kiện để tam giác OAB là tam giác nhọn: - \( OA^2 + OB^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 \) - \( AB^2 = 5^2 = 25 \) Vì \( OA^2 + OB^2 = AB^2 \), nên tam giác OAB là tam giác vuông, không phải tam giác nhọn. Vậy khẳng định b) là sai. Kết luận - Khẳng định a) là sai. - Khẳng định b) là sai.