Giúp mình với!Giúp mình với!

BÀI 1. Để giải quyết các vấn đề liên quan đến véc-tơ và các phép toán trong không gian, chúng ta sẽ thực hiện từng bước một cách chi tiết. Dưới đây là các bước cơ bản để giải quyết các bài toán liên quan đến véc-tơ trong không gian: Bước 1: Xác định các điểm và véc-tơ Trước tiên, chúng ta cần xác định các điểm trong không gian và các véc-tơ liên quan. Các điểm thường được ký hiệu là \( A(x_1, y_1, z_1) \), \( B(x_2, y_2, z_2) \), v.v. Các véc-tơ có thể được xác định từ hai điểm \( A \) và \( B \) như sau: \[ \overrightarrow{AB} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1, z_2 - z_1) \] Bước 2: Tính toán các phép toán với véc-tơ a) Tính độ dài của véc-tơ Độ dài của véc-tơ \( \overrightarrow{AB} = (a, b, c) \) được tính bằng công thức: \[ |\overrightarrow{AB}| = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2} \] b) Tính toán tổng và hiệu của hai véc-tơ Tổng của hai véc-tơ \( \overrightarrow{u} = (u_1, u_2, u_3) \) và \( \overrightarrow{v} = (v_1, v_2, v_3) \): \[ \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} = (u_1 + v_1, u_2 + v_2, u_3 + v_3) \] Hiệu của hai véc-tơ \( \overrightarrow{u} \) và \( \overrightarrow{v} \): \[ \overrightarrow{u} - \overrightarrow{v} = (u_1 - v_1, u_2 - v_2, u_3 - v_3) \] c) Tích vô hướng của hai véc-tơ Tích vô hướng của hai véc-tơ \( \overrightarrow{u} = (u_1, u_2, u_3) \) và \( \overrightarrow{v} = (v_1, v_2, v_3) \): \[ \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = u_1 v_1 + u_2 v_2 + u_3 v_3 \] d) Tích có hướng của hai véc-tơ Tích có hướng của hai véc-tơ \( \overrightarrow{u} = (u_1, u_2, u_3) \) và \( \overrightarrow{v} = (v_1, v_2, v_3) \): \[ \overrightarrow{u} \times \overrightarrow{v} = \left( u_2 v_3 - u_3 v_2, u_3 v_1 - u_1 v_3, u_1 v_2 - u_2 v_1 \right) \] Bước 3: Áp dụng vào bài toán cụ thể Bây giờ, chúng ta sẽ áp dụng các phép toán trên vào bài toán cụ thể. Giả sử chúng ta có hai điểm \( A(1, 2, 3) \) và \( B(4, 5, 6) \). a) Xác định véc-tơ \( \overrightarrow{AB} \) \[ \overrightarrow{AB} = (4 - 1, 5 - 2, 6 - 3) = (3, 3, 3) \] b) Tính độ dài của véc-tơ \( \overrightarrow{AB} \) \[ |\overrightarrow{AB}| = \sqrt{3^2 + 3^2 + 3^2} = \sqrt{9 + 9 + 9} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3} \] c) Tính tích vô hướng của \( \overrightarrow{AB} \) và \( \overrightarrow{BA} \) \[ \overrightarrow{BA} = (-3, -3, -3) \] \[ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BA} = 3(-3) + 3(-3) + 3(-3) = -9 - 9 - 9 = -27 \] d) Tính tích có hướng của \( \overrightarrow{AB} \) và \( \overrightarrow{BA} \) \[ \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{BA} = \left( 3(-3) - 3(-3), 3(-3) - 3(-3), 3(-3) - 3(-3) \right) = (0, 0, 0) \] Kết luận Qua các bước trên, chúng ta đã xác định và tính toán các phép toán liên quan đến véc-tơ trong không gian. Các kết quả cụ thể đã được tính toán chi tiết và chính xác. Câu 1. Trong hình hộp ABCD.A'B'C'D', ta xét các vectơ liên quan đến các đỉnh của hình hộp. A. $\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{BB'} = 0$: - Đây là khẳng định sai vì tổng của ba vectơ này không phải là vectơ null. B. $\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{BB'} = \overrightarrow{BC}$: - Đây là khẳng định sai vì tổng của ba vectơ này không bằng $\overrightarrow{BC}$. C. $\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{BB'} = \overrightarrow{BD'}$: - Đây là khẳng định sai vì tổng của ba vectơ này không bằng $\overrightarrow{BD'}$. D. $\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{BB'} = \overrightarrow{BD}$: - Ta có thể kiểm tra bằng cách vẽ hình hoặc suy luận logic: - $\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{BD}$ (vì trong hình bình hành ABCD, $\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{BD}$). - Thêm vào đó, $\overrightarrow{BB'}$ là vectơ thẳng đứng từ B lên B', không ảnh hưởng đến vectơ $\overrightarrow{BD}$ trên mặt phẳng ABCD. - Do đó, $\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{BB'} = \overrightarrow{BD}$ là khẳng định đúng. Vậy khẳng định đúng là: D. $\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{BB'} = \overrightarrow{BD}$. Câu 2. Để tính độ dài của véctơ \( \overrightarrow{SD} - \overrightarrow{SA} + \overrightarrow{SC} - \overrightarrow{SB} \), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm các véctơ đã cho: - \( \overrightarrow{SD} \) - \( \overrightarrow{SA} \) - \( \overrightarrow{SC} \) - \( \overrightarrow{SB} \) 2. Tính hiệu và tổng các véctơ: - \( \overrightarrow{SD} - \overrightarrow{SA} \) - \( \overrightarrow{SC} - \overrightarrow{SB} \) - Sau đó cộng hai kết quả trên lại. 3. Tính độ dài của véctơ kết quả: Ta sẽ làm từng bước một: Bước 1: Tìm các véctơ đã cho Giả sử đỉnh chóp S có tọa độ (0, 0, h), và các đỉnh đáy ABCD có tọa độ như sau: - A(0, 0, 0) - B(a, 0, 0) - C(a, a, 0) - D(0, a, 0) Do đó: - \( \overrightarrow{SD} = (0, a, 0) - (0, 0, h) = (0, a, -h) \) - \( \overrightarrow{SA} = (0, 0, 0) - (0, 0, h) = (0, 0, -h) \) - \( \overrightarrow{SC} = (a, a, 0) - (0, 0, h) = (a, a, -h) \) - \( \overrightarrow{SB} = (a, 0, 0) - (0, 0, h) = (a, 0, -h) \) Bước 2: Tính hiệu và tổng các véctơ - \( \overrightarrow{SD} - \overrightarrow{SA} = (0, a, -h) - (0, 0, -h) = (0, a, 0) \) - \( \overrightarrow{SC} - \overrightarrow{SB} = (a, a, -h) - (a, 0, -h) = (0, a, 0) \) Cộng hai kết quả trên lại: \[ \overrightarrow{SD} - \overrightarrow{SA} + \overrightarrow{SC} - \overrightarrow{SB} = (0, a, 0) + (0, a, 0) = (0, 2a, 0) \] Bước 3: Tính độ dài của véctơ kết quả Độ dài của véctơ \( (0, 2a, 0) \) là: \[ |(0, 2a, 0)| = \sqrt{0^2 + (2a)^2 + 0^2} = \sqrt{4a^2} = 2a \] Vậy đáp án đúng là: \[ \boxed{D. \ |\overrightarrow{SD} - \overrightarrow{SA} + \overrightarrow{SC} - \overrightarrow{SB}| = 2a.} \] Câu 3. Để tìm số vectơ khác $\overrightarrow{0}$ có điểm đầu, điểm cuối là các đỉnh của hình hộp và cùng phương với vectơ $\overrightarrow{AD}$, chúng ta cần xác định các vectơ có cùng phương với $\overrightarrow{AD}$. Trong hình hộp ABCD.EFGH, vectơ $\overrightarrow{AD}$ là vectơ chỉ từ đỉnh A đến đỉnh D. Các vectơ cùng phương với $\overrightarrow{AD}$ sẽ là các vectơ chỉ từ một đỉnh này đến đỉnh khác trên cùng đường thẳng hoặc song song với đường thẳng đó. Các vectơ cùng phương với $\overrightarrow{AD}$ bao gồm: - $\overrightarrow{DA}$ - $\overrightarrow{BC}$ - $\overrightarrow{CB}$ - $\overrightarrow{FG}$ - $\overrightarrow{GF}$ - $\overrightarrow{EH}$ - $\overrightarrow{HE}$ Như vậy, tổng cộng có 7 vectơ khác $\overrightarrow{0}$ có điểm đầu, điểm cuối là các đỉnh của hình hộp và cùng phương với vectơ $\overrightarrow{AD}$. Đáp án đúng là: B. 7. Câu 4. Để tìm góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{SB}$ và $\overrightarrow{SC}$ trong hình chóp S.ABC, ta cần xác định góc giữa chúng. Góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{SB}$ và $\overrightarrow{SC}$ chính là góc giữa hai đường thẳng SB và SC. Trong hình chóp S.ABC, góc giữa hai đường thẳng SB và SC chính là góc SBC. Do đó, góc giữa $\overrightarrow{SB}$ và $\overrightarrow{SC}$ là góc SBC. Vậy đáp án đúng là: A. SBC Lập luận từng bước: 1. Xác định góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{SB}$ và $\overrightarrow{SC}$ là góc giữa hai đường thẳng SB và SC. 2. Trong hình chóp S.ABC, góc giữa hai đường thẳng SB và SC chính là góc SBC. 3. Kết luận: Góc giữa $\overrightarrow{SB}$ và $\overrightarrow{SC}$ là góc SBC. Câu 5. Trước tiên, ta cần hiểu rằng trong một tứ diện đều, tất cả các cạnh đều có cùng độ dài và các góc giữa các cạnh cũng giống nhau. Gọi góc giữa hai véc tơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{BC}$ là $\theta$. Trong tứ diện đều, góc giữa hai cạnh chung đỉnh là 60°, nhưng góc giữa hai cạnh không chung đỉnh (như $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{BC}$) là 120°. Tích vô hướng của hai véc tơ $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$ được tính theo công thức: \[ \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = |\overrightarrow{u}| |\overrightarrow{v}| \cos(\theta) \] Áp dụng vào bài toán này: \[ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} = |\overrightarrow{AB}| |\overrightarrow{BC}| \cos(120^\circ) \] Biết rằng $|\overrightarrow{AB}| = |\overrightarrow{BC}| = a$ và $\cos(120^\circ) = -\frac{1}{2}$, ta có: \[ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} = a \cdot a \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{a^2}{2} \] Vậy đáp án đúng là: D. $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} = -\frac{a^2}{2}$.