chọn đáp án đúng

Câu 41. Để tính diện tích S của tam giác ABC trong không gian Oxyz, ta thực hiện các bước sau: 1. Tính độ dài các cạnh của tam giác ABC: - Độ dài cạnh AB: \[ AB = \sqrt{(2-0)^2 + (0-3)^2 + (0-0)^2} = \sqrt{4 + 9 + 0} = \sqrt{13} \] - Độ dài cạnh BC: \[ BC = \sqrt{(0-0)^2 + (3-0)^2 + (0-4)^2} = \sqrt{0 + 9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \] - Độ dài cạnh CA: \[ CA = \sqrt{(2-0)^2 + (0-0)^2 + (0-4)^2} = \sqrt{4 + 0 + 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \] 2. Áp dụng công thức Heron để tính diện tích tam giác ABC: - Tính nửa chu vi p của tam giác ABC: \[ p = \frac{AB + BC + CA}{2} = \frac{\sqrt{13} + 5 + 2\sqrt{5}}{2} \] - Diện tích S của tam giác ABC: \[ S = \sqrt{p(p - AB)(p - BC)(p - CA)} \] Thay các giá trị vào: \[ S = \sqrt{\left(\frac{\sqrt{13} + 5 + 2\sqrt{5}}{2}\right)\left(\frac{\sqrt{13} + 5 + 2\sqrt{5}}{2} - \sqrt{13}\right)\left(\frac{\sqrt{13} + 5 + 2\sqrt{5}}{2} - 5\right)\left(\frac{\sqrt{13} + 5 + 2\sqrt{5}}{2} - 2\sqrt{5}\right)} \] 3. Tính diện tích S theo cách đơn giản hơn bằng cách sử dụng tích vectơ: - Vectơ $\overrightarrow{AB} = (-2, 3, 0)$ - Vectơ $\overrightarrow{AC} = (-2, 0, 4)$ - Tích vectơ $\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}$: \[ \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -2 & 3 & 0 \\ -2 & 0 & 4 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(3 \cdot 4 - 0 \cdot 0) - \mathbf{j}(-2 \cdot 4 - 0 \cdot -2) + \mathbf{k}(-2 \cdot 0 - 3 \cdot -2) \] \[ = \mathbf{i}(12) - \mathbf{j}(-8) + \mathbf{k}(6) = 12\mathbf{i} + 8\mathbf{j} + 6\mathbf{k} \] - Độ dài của vectơ $\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}$: \[ |\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}| = \sqrt{12^2 + 8^2 + 6^2} = \sqrt{144 + 64 + 36} = \sqrt{244} = 2\sqrt{61} \] - Diện tích S của tam giác ABC: \[ S = \frac{1}{2} |\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}| = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{61} = \sqrt{61} \] Vậy diện tích S của tam giác ABC là $\boxed{\sqrt{61}}$. Câu 42. Để tính độ dài đường cao của hình chóp \( A.BCD \), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm diện tích đáy \( S_{BCD} \) - Tìm diện tích tam giác \( BCD \): - Tính độ dài các cạnh của tam giác \( BCD \): \[ BC = \sqrt{(1-1)^2 + (-1-1)^2 + (0-2)^2} = \sqrt{0 + 4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \] \[ BD = \sqrt{(1-0)^2 + (1-0)^2 + (2-1)^2} = \sqrt{1 + 1 + 1} = \sqrt{3} \] \[ CD = \sqrt{(1-0)^2 + (-1-0)^2 + (0-1)^2} = \sqrt{1 + 1 + 1} = \sqrt{3} \] - Sử dụng công thức Heron để tính diện tích tam giác \( BCD \): \[ p = \frac{BC + BD + CD}{2} = \frac{2\sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{3}}{2} = \sqrt{2} + \sqrt{3} \] \[ S_{BCD} = \sqrt{p(p - BC)(p - BD)(p - CD)} = \sqrt{(\sqrt{2} + \sqrt{3})(\sqrt{2} + \sqrt{3} - 2\sqrt{2})(\sqrt{2} + \sqrt{3} - \sqrt{3})(\sqrt{2} + \sqrt{3} - \sqrt{3})} \] \[ = \sqrt{(\sqrt{2} + \sqrt{3})(-\sqrt{2} + \sqrt{3})(\sqrt{2})(\sqrt{2})} = \sqrt{(\sqrt{3}^2 - \sqrt{2}^2)(2)} = \sqrt{(3 - 2)(2)} = \sqrt{2} \] 2. Tính thể tích hình chóp \( V_{ABCD} \) - Sử dụng công thức thể tích hình chóp: \[ V_{ABCD} = \frac{1}{3} \times S_{BCD} \times d(A, (BCD)) \] Trong đó, \( d(A, (BCD)) \) là khoảng cách từ điểm \( A \) đến mặt phẳng \( (BCD) \). 3. Tìm khoảng cách từ điểm \( A \) đến mặt phẳng \( (BCD) \) - Phương trình mặt phẳng \( (BCD) \): - Vector pháp tuyến \( \vec{n} \) của mặt phẳng \( (BCD) \): \[ \vec{BD} = (-1, -1, -1) \] \[ \vec{CD} = (-1, 1, 1) \] \[ \vec{n} = \vec{BD} \times \vec{CD} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -1 & -1 & -1 \\ -1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = (0, 0, -2) \] - Phương trình mặt phẳng \( (BCD) \): \[ 0(x - 1) + 0(y + 1) - 2(z - 0) = 0 \Rightarrow z = 0 \] - Khoảng cách từ điểm \( A(0, 1, -1) \) đến mặt phẳng \( z = 0 \): \[ d(A, (BCD)) = |-1| = 1 \] 4. Tính thể tích hình chóp \( V_{ABCD} \) - Thay vào công thức thể tích: \[ V_{ABCD} = \frac{1}{3} \times \sqrt{2} \times 1 = \frac{\sqrt{2}}{3} \] 5. Tính độ dài đường cao của hình chóp \( h \) - Diện tích toàn phần \( S_{ABCD} \): \[ S_{ABCD} = S_{BCD} + S_{ABD} + S_{ACD} + S_{ABC} \] - Diện tích tam giác \( ABD \): \[ AB = \sqrt{(1-0)^2 + (1-1)^2 + (2+1)^2} = \sqrt{1 + 0 + 9} = \sqrt{10} \] \[ AD = \sqrt{(0-0)^2 + (0-1)^2 + (1+1)^2} = \sqrt{0 + 1 + 4} = \sqrt{5} \] \[ BD = \sqrt{3} \] \[ S_{ABD} = \sqrt{p(p - AB)(p - AD)(p - BD)} \] \[ p = \frac{\sqrt{10} + \sqrt{5} + \sqrt{3}}{2} \] \[ S_{ABD} = \sqrt{p(p - \sqrt{10})(p - \sqrt{5})(p - \sqrt{3})} \] - Diện tích tam giác \( ACD \): \[ AC = \sqrt{(1-0)^2 + (-1-1)^2 + (0+1)^2} = \sqrt{1 + 4 + 1} = \sqrt{6} \] \[ CD = \sqrt{3} \] \[ AD = \sqrt{5} \] \[ S_{ACD} = \sqrt{p(p - AC)(p - CD)(p - AD)} \] \[ p = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{3} + \sqrt{5}}{2} \] \[ S_{ACD} = \sqrt{p(p - \sqrt{6})(p - \sqrt{3})(p - \sqrt{5})} \] - Diện tích tam giác \( ABC \): \[ AB = \sqrt{10} \] \[ BC = 2\sqrt{2} \] \[ AC = \sqrt{6} \] \[ S_{ABC} = \sqrt{p(p - AB)(p - BC)(p - AC)} \] \[ p = \frac{\sqrt{10} + 2\sqrt{2} + \sqrt{6}}{2} \] \[ S_{ABC} = \sqrt{p(p - \sqrt{10})(p - 2\sqrt{2})(p - \sqrt{6})} \] - Tổng diện tích toàn phần: \[ S_{ABCD} = \sqrt{2} + S_{ABD} + S_{ACD} + S_{ABC} \] 6. Tính độ dài đường cao của hình chóp \( h \) - Thay vào công thức thể tích: \[ V_{ABCD} = \frac{1}{3} \times S_{ABCD} \times h \] \[ \frac{\sqrt{2}}{3} = \frac{1}{3} \times (\sqrt{2} + S_{ABD} + S_{ACD} + S_{ABC}) \times h \] \[ h = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} + S_{ABD} + S_{ACD} + S_{ABC}} \] 7. Kết luận - Độ dài đường cao của hình chóp \( A.BCD \) là \( \boxed{\frac{3\sqrt{2}}{2}} \). Câu 43. Để tìm diện tích hình bình hành \(ABCD\), ta cần tính độ dài hai vectơ \( \overrightarrow{AB} \) và \( \overrightarrow{AD} \), sau đó tính tích có hướng của chúng. Bước 1: Tính vectơ \( \overrightarrow{AB} \): \[ \overrightarrow{AB} = B - A = (0 - 2, -2 - 1, 5 + 3) = (-2, -3, 8) \] Bước 2: Tính vectơ \( \overrightarrow{AD} \): \[ \overrightarrow{AD} = D - A \] Để tìm tọa độ điểm \(D\), ta sử dụng tính chất của hình bình hành: \( \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC} \). Tính vectơ \( \overrightarrow{BC} \): \[ \overrightarrow{BC} = C - B = (1 - 0, 1 + 2, 3 - 5) = (1, 3, -2) \] Do đó: \[ \overrightarrow{AD} = (1, 3, -2) \] Bước 3: Tính tích có hướng của \( \overrightarrow{AB} \) và \( \overrightarrow{AD} \): \[ \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AD} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -2 & -3 & 8 \\ 1 & 3 & -2 \end{vmatrix} = \mathbf{i}((-3)(-2) - (8)(3)) - \mathbf{j}((-2)(-2) - (8)(1)) + \mathbf{k}((-2)(3) - (-3)(1)) \] \[ = \mathbf{i}(6 - 24) - \mathbf{j}(4 - 8) + \mathbf{k}(-6 + 3) = \mathbf{i}(-18) - \mathbf{j}(-4) + \mathbf{k}(-3) = (-18, 4, -3) \] Bước 4: Tính độ dài của vectơ tích có hướng: \[ |\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AD}| = \sqrt{(-18)^2 + 4^2 + (-3)^2} = \sqrt{324 + 16 + 9} = \sqrt{349} \] Bước 5: Diện tích hình bình hành \(ABCD\) là: \[ S_{ABCD} = |\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AD}| = \sqrt{349} \] Vậy đáp án đúng là: \[ \boxed{C. \sqrt{349}} \] Câu 44. Để tính thể tích của tứ diện ABCD, ta sử dụng công thức thể tích của một tứ diện được xác định bởi bốn điểm \(A\), \(B\), \(C\), và \(D\): \[ V = \frac{1}{6} \left| \vec{AB} \cdot (\vec{AC} \times \vec{AD}) \right| \] Trước tiên, ta tìm các vectơ \(\vec{AB}\), \(\vec{AC}\), và \(\vec{AD}\): \[ \vec{AB} = B - A = (-1 - 0, 0 - 1, 2 - 1) = (-1, -1, 1) \] \[ \vec{AC} = C - A = (-1 - 0, 1 - 1, 0 - 1) = (-1, 0, -1) \] \[ \vec{AD} = D - A = (2 - 0, 1 - 1, -2 - 1) = (2, 0, -3) \] Tiếp theo, ta tính tích vector \(\vec{AC} \times \vec{AD}\): \[ \vec{AC} \times \vec{AD} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -1 & 0 & -1 \\ 2 & 0 & -3 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0 \cdot (-3) - 0 \cdot (-1)) - \mathbf{j}((-1) \cdot (-3) - (-1) \cdot 2) + \mathbf{k}((-1) \cdot 0 - 0 \cdot 2) = \mathbf{i}(0) - \mathbf{j}(3 - (-2)) + \mathbf{k}(0) = \mathbf{i}(0) - \mathbf{j}(5) + \mathbf{k}(0) = (0, -5, 0) \] Bây giờ, ta tính tích vô hướng \(\vec{AB} \cdot (\vec{AC} \times \vec{AD})\): \[ \vec{AB} \cdot (0, -5, 0) = (-1) \cdot 0 + (-1) \cdot (-5) + 1 \cdot 0 = 0 + 5 + 0 = 5 \] Cuối cùng, ta tính thể tích của tứ diện ABCD: \[ V = \frac{1}{6} \left| 5 \right| = \frac{5}{6} \] Vậy thể tích của tứ diện ABCD là: \[ \boxed{\frac{5}{6}} \] Câu 45. Để tính diện tích tam giác OAB trong không gian Oxyz, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm vectơ OA và OB: - Vectơ OA: $\overrightarrow{OA} = (1, 2, -1)$ - Vectơ OB: $\overrightarrow{OB} = (0, -2, 3)$ 2. Tính tích có hướng của hai vectơ OA và OB: \[ \overrightarrow{OA} \times \overrightarrow{OB} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 2 & -1 \\ 0 & -2 & 3 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(2 \cdot 3 - (-1) \cdot (-2)) - \mathbf{j}(1 \cdot 3 - (-1) \cdot 0) + \mathbf{k}(1 \cdot (-2) - 2 \cdot 0) = \mathbf{i}(6 - 2) - \mathbf{j}(3) + \mathbf{k}(-2) = 4\mathbf{i} - 3\mathbf{j} - 2\mathbf{k} \] Vậy $\overrightarrow{OA} \times \overrightarrow{OB} = (4, -3, -2)$ 3. Tính độ dài của vectơ tích có hướng: \[ |\overrightarrow{OA} \times \overrightarrow{OB}| = \sqrt{4^2 + (-3)^2 + (-2)^2} = \sqrt{16 + 9 + 4} = \sqrt{29} \] 4. Diện tích tam giác OAB: Diện tích tam giác OAB được tính bằng công thức: \[ S_{OAB} = \frac{1}{2} |\overrightarrow{OA} \times \overrightarrow{OB}| \] Thay vào giá trị đã tìm được: \[ S_{OAB} = \frac{1}{2} \sqrt{29} \] Vậy diện tích tam giác OAB là $\frac{\sqrt{29}}{2}$. Đáp án đúng là: B. $\frac{\sqrt{29}}{2}$. Câu 46. Để tính công sinh bởi lực $\overrightarrow F$ khi thực hiện một độ dịch chuyển $\overrightarrow d$, ta sử dụng công thức: \[ W = \overrightarrow F \cdot \overrightarrow d \] Trong đó, $\overrightarrow F \cdot \overrightarrow d$ là tích vô hướng của hai vectơ $\overrightarrow F$ và $\overrightarrow d$. Bước 1: Xác định các thành phần của vectơ $\overrightarrow F$ và $\overrightarrow d$: \[ \overrightarrow F = (20; 30; -10) \text{ (N)} \] \[ \overrightarrow d = (150; 200; 100) \text{ (m)} \] Bước 2: Tính tích vô hướng của hai vectơ: \[ \overrightarrow F \cdot \overrightarrow d = 20 \times 150 + 30 \times 200 + (-10) \times 100 \] Bước 3: Thực hiện phép nhân và cộng: \[ = 20 \times 150 + 30 \times 200 + (-10) \times 100 \] \[ = 3000 + 6000 - 1000 \] \[ = 9000 - 1000 \] \[ = 8000 \text{ (J)} \] Vậy công sinh bởi lực $\overrightarrow F$ khi thực hiện một độ dịch chuyển $\overrightarrow d$ là 8000 J. Đáp án đúng là: B. 8000J Câu 47. Để ba điểm \(A(-1;2;-3)\), \(B(1;0;2)\), và \(C(x;y;-2)\) thẳng hàng, vectơ \(\overrightarrow{AB}\) phải cùng phương với vectơ \(\overrightarrow{AC}\). Ta tính các vectơ này: \[ \overrightarrow{AB} = (1 - (-1); 0 - 2; 2 - (-3)) = (2; -2; 5) \] \[ \overrightarrow{AC} = (x - (-1); y - 2; -2 - (-3)) = (x + 1; y - 2; 1) \] Hai vectơ \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{AC}\) cùng phương nếu tồn tại số thực \(k\) sao cho: \[ \overrightarrow{AC} = k \cdot \overrightarrow{AB} \] Từ đây ta có hệ phương trình: \[ \begin{cases} x + 1 = 2k \\ y - 2 = -2k \\ 1 = 5k \end{cases} \] Giải phương trình \(1 = 5k\): \[ k = \frac{1}{5} \] Thay \(k = \frac{1}{5}\) vào hai phương trình còn lại: \[ x + 1 = 2 \cdot \frac{1}{5} \Rightarrow x + 1 = \frac{2}{5} \Rightarrow x = \frac{2}{5} - 1 = \frac{2}{5} - \frac{5}{5} = -\frac{3}{5} \] \[ y - 2 = -2 \cdot \frac{1}{5} \Rightarrow y - 2 = -\frac{2}{5} \Rightarrow y = -\frac{2}{5} + 2 = -\frac{2}{5} + \frac{10}{5} = \frac{8}{5} \] Vậy \(x = -\frac{3}{5}\) và \(y = \frac{8}{5}\). Tính \(x + y\): \[ x + y = -\frac{3}{5} + \frac{8}{5} = \frac{-3 + 8}{5} = \frac{5}{5} = 1 \] Đáp án đúng là: A. \(x + y = 1\).