x-2/x-4+x-3/x-2=m/x   trong đó m là một số cho trước. Biết x=5 là một trong các nghiệm của phương trình, tìm các nghiệm còn lại.

Để giải phương trình \( \frac{x-2}{x-4} + \frac{x-3}{x-2} = \frac{m}{x} \) và biết rằng \( x = 5 \) là một nghiệm của phương trình, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Thay \( x = 5 \) vào phương trình để tìm \( m \): \[ \frac{5-2}{5-4} + \frac{5-3}{5-2} = \frac{m}{5} \] \[ \frac{3}{1} + \frac{2}{3} = \frac{m}{5} \] \[ 3 + \frac{2}{3} = \frac{m}{5} \] \[ \frac{9}{3} + \frac{2}{3} = \frac{m}{5} \] \[ \frac{11}{3} = \frac{m}{5} \] Nhân cả hai vế với 5: \[ m = \frac{11}{3} \times 5 = \frac{55}{3} \] 2. Thay \( m = \frac{55}{3} \) trở lại phương trình ban đầu: \[ \frac{x-2}{x-4} + \frac{x-3}{x-2} = \frac{\frac{55}{3}}{x} \] \[ \frac{x-2}{x-4} + \frac{x-3}{x-2} = \frac{55}{3x} \] 3. Quy đồng mẫu số và giải phương trình: \[ \frac{(x-2)(x-2) + (x-3)(x-4)}{(x-4)(x-2)} = \frac{55}{3x} \] \[ \frac{(x-2)^2 + (x-3)(x-4)}{(x-4)(x-2)} = \frac{55}{3x} \] \[ \frac{x^2 - 4x + 4 + x^2 - 7x + 12}{(x-4)(x-2)} = \frac{55}{3x} \] \[ \frac{2x^2 - 11x + 16}{(x-4)(x-2)} = \frac{55}{3x} \] Nhân cả hai vế với \( 3x(x-4)(x-2) \): \[ 3x(2x^2 - 11x + 16) = 55(x-4)(x-2) \] \[ 6x^3 - 33x^2 + 48x = 55(x^2 - 6x + 8) \] \[ 6x^3 - 33x^2 + 48x = 55x^2 - 330x + 440 \] \[ 6x^3 - 88x^2 + 378x - 440 = 0 \] 4. Phân tích phương trình bậc ba: Chúng ta đã biết \( x = 5 \) là một nghiệm, vậy ta có thể chia đa thức \( 6x^3 - 88x^2 + 378x - 440 \) cho \( x - 5 \): \[ 6x^3 - 88x^2 + 378x - 440 = (x - 5)(6x^2 - 58x + 88) \] Giải phương trình bậc hai \( 6x^2 - 58x + 88 = 0 \): \[ x = \frac{-(-58) \pm \sqrt{(-58)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 88}}{2 \cdot 6} \] \[ x = \frac{58 \pm \sqrt{3364 - 2112}}{12} \] \[ x = \frac{58 \pm \sqrt{1252}}{12} \] \[ x = \frac{58 \pm 2\sqrt{313}}{12} \] \[ x = \frac{29 \pm \sqrt{313}}{6} \] Vậy các nghiệm của phương trình là: \[ x = 5, \quad x = \frac{29 + \sqrt{313}}{6}, \quad x = \frac{29 - \sqrt{313}}{6} \]