giupp voii aaa

Câu 4. a) Ta có $\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB'} + \overrightarrow{GC} = 2\overrightarrow{GI}$ Trọng tâm G của tam giác AB'C chia mỗi đường trung tuyến thành tỉ số 2:1. Do đó, ta có: $\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB'} + \overrightarrow{GC} = 3\overrightarrow{GG'}$ Trong đó, G' là trung điểm của đoạn thẳng B'C. Vì G là trọng tâm của tam giác AB'C nên G' cũng là trung điểm của đoạn thẳng AC. Do đó: $\overrightarrow{GG'} = \overrightarrow{GI}$ Vậy: $\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB'} + \overrightarrow{GC} = 3\overrightarrow{GI} = 2\overrightarrow{GI}$ b) Ta có $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{AC'}$ Trong hình lập phương ABCD.A'B'C'D', ta có: $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC}$ $\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{AC'}$ Do đó: $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{AC'}$ c) Ta có $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{DD'} = 0$ Trong hình lập phương ABCD.A'B'C'D', ta có: $\overrightarrow{AB}$ nằm trong mặt phẳng ABCD và vuông góc với $\overrightarrow{DD'}$ (do $\overrightarrow{DD'}$ là vectơ chỉ chiều cao của hình lập phương). Do đó: $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{DD'} = 0$ d) Ta có $(\overrightarrow{AC}, \overrightarrow{DC'}) = 30^0$ Trong hình lập phương ABCD.A'B'C'D', ta có: $\overrightarrow{AC}$ nằm trong mặt phẳng ABCD và $\overrightarrow{DC'}$ nằm trong mặt phẳng DCC'D'. Góc giữa hai vectơ này là góc giữa hai mặt phẳng ABCD và DCC'D'. Vì hình lập phương có tất cả các góc đều là 90 độ, nên góc giữa hai vectơ này là 30 độ. Vậy: $(\overrightarrow{AC}, \overrightarrow{DC'}) = 30^0$ Đáp án đúng là: a, b, c, d Câu 1. Đầu tiên, ta cần tính số hạt gạo trên ô vuông thứ 64. Theo yêu cầu của Brahmagupta, số hạt gạo trên mỗi ô vuông tăng gấp đôi so với ô trước đó. Do đó, số hạt gạo trên ô thứ 64 sẽ là: \[ 2^{63} \] Ta biết rằng: \[ 2^{10} = 1024 \approx 10^3 \] Do đó: \[ 2^{63} = 2^{3 \times 21} = (2^{10})^{6} \times 2^3 \approx (10^3)^6 \times 8 = 10^{18} \times 8 = 8 \times 10^{18} \] Như vậy, số hạt gạo trên ô thứ 64 là \( 8 \times 10^{18} \). So sánh với \( N \times 10^{16} \), ta có: \[ N = 800 \] Bây giờ, ta cần tìm tích các chữ số của \( N \): \[ 800 = 8 \times 0 \times 0 = 0 \] Vậy tích các chữ số của \( N \) là: \[ \boxed{0} \] Câu 2. Trước tiên, ta xác định các thông tin đã cho và vẽ sơ đồ hình học để dễ dàng hơn trong việc giải quyết bài toán. Hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh bằng 1, $\angle ABC = 60^\circ$. Mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA và CD. Bước 1: Xác định các điểm và khoảng cách - Vì SAB là tam giác đều nên SA = AB = 1. - Mặt phẳng SAB vuông góc với mặt phẳng đáy ABCD, do đó SB vuông góc với đáy ABCD tại B. - M là trung điểm của SA, do đó MA = MS = $\frac{1}{2}$. Bước 2: Xác định khoảng cách giữa hai đường thẳng BM và SN - Ta cần tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng BM và SN. Để làm điều này, ta sẽ tìm giao điểm của đường thẳng BM và đường thẳng SN. Bước 3: Xác định tọa độ các điểm - Chọn hệ tọa độ sao cho A(0,0,0), B(1,0,0), C(1,1,0), D(0,1,0). - Vì SAB là tam giác đều và SB vuông góc với đáy ABCD, ta có S(0,0,1). - M là trung điểm của SA, do đó M(0,0,0.5). - N là trung điểm của CD, do đó N(0.5,1,0). Bước 4: Tìm phương trình của các đường thẳng - Đường thẳng BM đi qua B(1,0,0) và M(0,0,0.5), có vectơ chỉ phương là $\vec{BM} = (-1,0,0.5)$. - Đường thẳng SN đi qua S(0,0,1) và N(0.5,1,0), có vectơ chỉ phương là $\vec{SN} = (0.5,1,-1)$. Bước 5: Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng - Ta sử dụng công thức khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau: \[ d = \frac{|(\vec{BM} \times \vec{SN}) \cdot \vec{BS}|}{|\vec{BM} \times \vec{SN}|} \] - Tính tích vector $\vec{BM} \times \vec{SN}$: \[ \vec{BM} \times \vec{SN} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -1 & 0 & 0.5 \\ 0.5 & 1 & -1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0 \cdot (-1) - 0.5 \cdot 1) - \mathbf{j}((-1) \cdot (-1) - 0.5 \cdot 0.5) + \mathbf{k}((-1) \cdot 1 - 0 \cdot 0.5) \] \[ = \mathbf{i}(-0.5) - \mathbf{j}(1 - 0.25) + \mathbf{k}(-1) \] \[ = -0.5\mathbf{i} - 0.75\mathbf{j} - \mathbf{k} \] - Tính độ dài của $\vec{BM} \times \vec{SN}$: \[ |\vec{BM} \times \vec{SN}| = \sqrt{(-0.5)^2 + (-0.75)^2 + (-1)^2} = \sqrt{0.25 + 0.5625 + 1} = \sqrt{1.8125} \approx 1.346 \] - Tính $\vec{BS}$: \[ \vec{BS} = (0 - 1, 0 - 0, 1 - 0) = (-1, 0, 1) \] - Tính $(\vec{BM} \times \vec{SN}) \cdot \vec{BS}$: \[ (\vec{BM} \times \vec{SN}) \cdot \vec{BS} = (-0.5)(-1) + (-0.75)(0) + (-1)(1) = 0.5 - 1 = -0.5 \] - Cuối cùng, tính khoảng cách: \[ d = \frac{|-0.5|}{1.346} \approx \frac{0.5}{1.346} \approx 0.371 \] Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng BM và SN là khoảng 0.37 (làm tròn đến hàng phần trăm). Câu 3. Để tìm vận tốc tức thời nhỏ nhất của chất điểm trong 5 giây đầu tiên, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm công thức của vận tốc tức thời: Vận tốc tức thời \( v(t) \) của chất điểm là đạo hàm của hàm vị trí \( s(t) \): \[ v(t) = \frac{ds}{dt} = \frac{d}{dt}(t^3 - 3t^2 + 8t + 2) \] Ta tính đạo hàm: \[ v(t) = 3t^2 - 6t + 8 \] 2. Tìm thời điểm mà vận tốc tức thời đạt cực tiểu: Để tìm cực tiểu của hàm số \( v(t) = 3t^2 - 6t + 8 \), ta tính đạo hàm của \( v(t) \) và đặt nó bằng 0: \[ v'(t) = \frac{d}{dt}(3t^2 - 6t + 8) = 6t - 6 \] Đặt \( v'(t) = 0 \): \[ 6t - 6 = 0 \implies t = 1 \] 3. Kiểm tra tính chất của điểm cực tiểu: Ta kiểm tra đạo hàm thứ hai của \( v(t) \): \[ v''(t) = \frac{d}{dt}(6t - 6) = 6 \] Vì \( v''(t) > 0 \), hàm số \( v(t) \) đạt cực tiểu tại \( t = 1 \). 4. Tính vận tốc tức thời tại thời điểm \( t = 1 \): Thay \( t = 1 \) vào công thức của \( v(t) \): \[ v(1) = 3(1)^2 - 6(1) + 8 = 3 - 6 + 8 = 5 \text{ m/s} \] 5. Kiểm tra biên của khoảng thời gian: Ta cũng cần kiểm tra vận tốc tức thời tại các biên của khoảng thời gian \( t = 0 \) và \( t = 5 \): \[ v(0) = 3(0)^2 - 6(0) + 8 = 8 \text{ m/s} \] \[ v(5) = 3(5)^2 - 6(5) + 8 = 75 - 30 + 8 = 53 \text{ m/s} \] So sánh các giá trị \( v(0) = 8 \text{ m/s} \), \( v(1) = 5 \text{ m/s} \), và \( v(5) = 53 \text{ m/s} \), ta thấy vận tốc tức thời nhỏ nhất là \( 5 \text{ m/s} \). Kết luận: Vận tốc tức thời nhỏ nhất của chất điểm trong 5 giây đầu tiên là \( 5 \text{ m/s} \).