cho a,b,c khác 0 thoả mãn : abc=2/3 và 2a+6b+c= 2/(a)+2/(3b)+4/(c) chứng minh rằng (a-1)(3b-1)(c-2)=0

Để chứng minh rằng $(a-1)(3b-1)(c-2)=0$, ta sẽ sử dụng phương pháp biến đổi và so sánh các biểu thức. Bước 1: Xác định điều kiện và biến đổi biểu thức ban đầu. Ta có: \[ abc = \frac{2}{3} \] \[ 2a + 6b + c = \frac{2}{a} + \frac{2}{3b} + \frac{4}{c} \] Bước 2: Nhân cả hai vế của phương trình thứ hai với $abc$ để dễ dàng biến đổi. \[ abc(2a + 6b + c) = abc \left( \frac{2}{a} + \frac{2}{3b} + \frac{4}{c} \right) \] Bước 3: Thay $abc = \frac{2}{3}$ vào phương trình trên. \[ \frac{2}{3}(2a + 6b + c) = \frac{2}{3} \left( \frac{2}{a} + \frac{2}{3b} + \frac{4}{c} \right) \] Bước 4: Nhân cả hai vế với $\frac{3}{2}$ để đơn giản hóa. \[ 2a + 6b + c = \frac{2}{a} + \frac{2}{3b} + \frac{4}{c} \] Bước 5: Biến đổi phương trình này thành dạng tổng bình phương bằng cách nhóm các hạng tử lại. \[ 2a + 6b + c - \left( \frac{2}{a} + \frac{2}{3b} + \frac{4}{c} \right) = 0 \] Bước 6: Nhóm các hạng tử theo từng cặp để dễ dàng nhận thấy các bình phương. \[ \left( 2a - \frac{2}{a} \right) + \left( 6b - \frac{2}{3b} \right) + \left( c - \frac{4}{c} \right) = 0 \] Bước 7: Biến đổi từng cặp thành dạng bình phương. \[ 2 \left( a - \frac{1}{a} \right) + 2 \left( 3b - \frac{1}{3b} \right) + \left( c - \frac{2}{c} \right) = 0 \] Bước 8: Nhận thấy rằng nếu một trong ba biểu thức trên bằng 0, thì tổng sẽ bằng 0. Do đó, ta cần kiểm tra từng biểu thức. \[ a - \frac{1}{a} = 0 \Rightarrow a^2 = 1 \Rightarrow a = 1 \text{ hoặc } a = -1 \] \[ 3b - \frac{1}{3b} = 0 \Rightarrow 9b^2 = 1 \Rightarrow b = \frac{1}{3} \text{ hoặc } b = -\frac{1}{3} \] \[ c - \frac{2}{c} = 0 \Rightarrow c^2 = 2 \Rightarrow c = \sqrt{2} \text{ hoặc } c = -\sqrt{2} \] Bước 9: Kiểm tra lại điều kiện $abc = \frac{2}{3}$. - Nếu $a = 1$, $b = \frac{1}{3}$, $c = 2$, ta có $abc = 1 \cdot \frac{1}{3} \cdot 2 = \frac{2}{3}$, thỏa mãn điều kiện. - Nếu $a = -1$, $b = -\frac{1}{3}$, $c = -2$, ta có $abc = (-1) \cdot (-\frac{1}{3}) \cdot (-2) = -\frac{2}{3}$, không thỏa mãn điều kiện. Do đó, ta có: \[ (a-1)(3b-1)(c-2) = 0 \] Vậy, ta đã chứng minh được $(a-1)(3b-1)(c-2) = 0$.