Tìm các số tự nhiên x, y và số nguyên tố p sao cho :$\mathrm{p}^x$=$\mathrm{y}^4$+4 Giúp mình với!

Để tìm các số tự nhiên \( x \), \( y \) và số nguyên tố \( p \) sao cho \( p^x = y^4 + 4 \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Phân tích biểu thức \( y^4 + 4 \): Ta có thể viết lại biểu thức \( y^4 + 4 \) dưới dạng: \[ y^4 + 4 = y^4 + 4y^2 + 4 - 4y^2 = (y^2 + 2)^2 - (2y)^2 \] Điều này cho phép ta sử dụng hằng đẳng thức \( a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \): \[ y^4 + 4 = (y^2 + 2 - 2y)(y^2 + 2 + 2y) \] 2. Xét các trường hợp: - Trường hợp 1: \( y = 0 \) \[ p^x = 0^4 + 4 = 4 \] Điều này không thể xảy ra vì \( p \) là số nguyên tố và \( p^x \) phải là lũy thừa của một số nguyên tố. - Trường hợp 2: \( y = 1 \) \[ p^x = 1^4 + 4 = 5 \] Điều này có thể xảy ra nếu \( p = 5 \) và \( x = 1 \). Vậy ta có nghiệm \( (x, y, p) = (1, 1, 5) \). - Trường hợp 3: \( y \geq 2 \) Ta xét \( y^2 + 2 - 2y \) và \( y^2 + 2 + 2y \): \[ y^2 + 2 - 2y = (y-1)^2 + 1 \geq 2 \] \[ y^2 + 2 + 2y = (y+1)^2 + 1 \geq 7 \] Vì \( p^x \) là lũy thừa của một số nguyên tố, nên \( y^2 + 2 - 2y \) và \( y^2 + 2 + 2y \) đều phải là lũy thừa của cùng một số nguyên tố \( p \). Tuy nhiên, do \( y^2 + 2 - 2y \geq 2 \) và \( y^2 + 2 + 2y \geq 7 \), chúng không thể là lũy thừa của cùng một số nguyên tố \( p \) (vì \( p \) là số nguyên tố duy nhất chia hết cho cả hai biểu thức này). Do đó, chỉ có trường hợp \( y = 1 \) thỏa mãn điều kiện bài toán. Kết luận: Các số tự nhiên \( x \), \( y \) và số nguyên tố \( p \) thỏa mãn \( p^x = y^4 + 4 \) là \( (x, y, p) = (1, 1, 5) \).