giải các bất đẳng thức sau

Bài 1: a) Ta có: $$ Vì 3 lớn hơn 2, nên $$ sẽ luôn lớn hơn $$. b) Ta có: $$ Vì 9 lớn hơn 8, nên $$ sẽ luôn nhỏ hơn $$. c) Ta có: $$ Vì 15 nhỏ hơn 23, nên $$ sẽ luôn nhỏ hơn $$. d) Ta có: $$ Vì 1 nhỏ hơn 2, nên $$ sẽ luôn lớn hơn $$. Đáp số: a) $$ b) $$ c) $$ d) $$ Bài 2. a) Ta có: $$ Ta thấy rằng: $$ Do đó: $$ b) Ta có: $$ Ta thấy rằng: $$ Do đó: $$ c) Ta có: $$ Ta thấy rằng: $$ Do đó: $$ d) Ta có: $$ Ta thấy rằng: $$ Do đó: $$ Đáp số: a) $$ b) $$ c) $$ d) $$ Bài 3. a) Ta có $$. Do đó, $$. b) Ta có $$. Do đó, $$. c) Ta có $$. Do đó, $$. d) Ta có $$. Do đó, $$. e) Ta có $$. Do đó, $$. Suy ra $$. g) Ta có $$. Do đó, $$. Suy ra $$. Đáp số: a) $$ b) $$ c) $$ d) $$ e) $$ g) $$ Bài 4. a) Ta có $$. Nhân cả hai vế của bất đẳng thức này với 6 ta được $$, tức là $$. Tương tự, nhân cả hai vế của bất đẳng thức $$ với 9 ta được $$, tức là $$. Vì $$ và $$, nên ta có $$ (vì 6a và 9a đều nhỏ hơn hoặc bằng 0, nhưng 6a gần 0 hơn 9a). b) Ta có $$. Nhân cả hai vế của bất đẳng thức này với -5 ta được $$, tức là $$. Tương tự, nhân cả hai vế của bất đẳng thức $$ với 11 ta được $$, tức là $$. Vì $$ và $$, nên ta có $$ (vì -5a lớn hơn hoặc bằng 0, còn 11a nhỏ hơn hoặc bằng 0). c) Ta có $$. Cộng cả hai vế của bất đẳng thức này với 8 ta được $$, tức là $$. Tương tự, cộng cả hai vế của bất đẳng thức $$ với 2 ta được $$, tức là $$. Vì $$ và $$, nên ta có $$ (vì 2a+8 và a+8 đều nhỏ hơn hoặc bằng 8, nhưng 2a+8 nhỏ hơn hoặc bằng a+8). d) Ta có $$. Nhân cả hai vế của bất đẳng thức này với -7 ta được $$, tức là $$. Tương tự, nhân cả hai vế của bất đẳng thức $$ với -4 ta được $$, tức là $$. Vì $$ và $$, nên ta có $$ (vì -7a và -4a đều lớn hơn hoặc bằng 0, nhưng -7a lớn hơn hoặc bằng -4a). Đáp số: a) $$ b) $$ c) $$ d) $$ Bài 5. a) Ta có $$. Nhân cả hai vế với 8 ta được $$. Thêm 11 vào cả hai vế ta được $$. b) Ta có $$. Nhân cả hai vế với -3 ta được $$ (nhân với số âm thì đổi chiều bất đẳng thức). Thêm 7 vào cả hai vế ta được $$. c) Ta có $$. Nhân cả hai vế với $$ ta được $$. Trừ $$ từ cả hai vế ta được $$. d) Ta có $$. Nhân cả hai vế với $$ ta được $$ (nhân với số âm thì đổi chiều bất đẳng thức). Thêm 1 vào cả hai vế ta được $$. Đáp số: a) $$ b) $$ c) $$ d) $$ Bài 6. a) Ta có: $$ Nhân cả hai vế với 4: $$ Cộng thêm 1 vào cả hai vế: $$ b) Ta có: $$ Nhân cả hai vế với 2: $$ Trừ 1 từ cả hai vế: $$ c) Ta có: $$ Nhân cả hai vế với -5 (nhớ đổi chiều bất đẳng thức): $$ Cộng thêm 8 vào cả hai vế: $$ d) Ta có: $$ Nhân cả hai vế với -1 (nhớ đổi chiều bất đẳng thức): $$ Cộng thêm 4 vào cả hai vế: $$ Đáp số: a) $$ b) $$ c) $$ d) $$ Bài 7. a) Ta có $$. Nhân cả hai vế với $$ ta được: $$ Thêm 3 vào cả hai vế ta được: $$ b) Ta có $$. Nhân cả hai vế với $$ ta được: $$ (Chú ý rằng nhân với số âm thì chiều bất đẳng thức đổi ngược lại) Thêm $$ vào cả hai vế ta được: $$ c) Ta có $$. Nhân cả hai vế với 1,2 ta được: $$ Trừ 0,4 từ cả hai vế ta được: $$ d) Ta có $$. Nhân cả hai vế với -6 ta được: $$ (Chú ý rằng nhân với số âm thì chiều bất đẳng thức đổi ngược lại) Thêm $$ vào cả hai vế ta được: $$ Bài 8. a) Ta có: $$ Trừ cả hai vế của bất đẳng thức này cho 9, ta được: $$ Chia cả hai vế cho 2, ta được: $$ b) Ta đã biết: $$ Thêm 6 vào cả hai vế của bất đẳng thức này, ta được: $$ c) Ta đã biết: $$ Nhân cả hai vế của bất đẳng thức này với 3, ta được: $$ Trừ 2 từ cả hai vế của bất đẳng thức này, ta được: $$ d) Ta đã biết: $$ Nhân cả hai vế của bất đẳng thức này với -2 (nhớ rằng nhân với số âm thì chiều bất đẳng thức sẽ đổi ngược lại), ta được: $$ Thêm 3 vào cả hai vế của bất đẳng thức này, ta được: $$ Đáp số: a) $$ b) $$ c) $$ d) $$ Bài 9. Để chứng minh các bất đẳng thức, ta sẽ sử dụng tính chất của bất đẳng thức và biến đổi từng bước một. a) Chứng minh $$ Ta có: $$ Trừ 2 ở cả hai vế: $$ Chia cả hai vế cho -8 (nhớ đảo chiều bất đẳng thức): $$ b) Chứng minh $$ Ta đã biết: $$ Nhân cả hai vế với 2: $$ Trừ 3 ở cả hai vế: $$ c) Chứng minh $$ Ta đã biết: $$ Nhân cả hai vế với $$ (nhớ đảo chiều bất đẳng thức): $$ Cộng 2 ở cả hai vế: $$ d) Chứng minh $$ Ta đã biết: $$ Nhân cả hai vế với -3 (nhớ đảo chiều bất đẳng thức): $$ Cộng 4 ở cả hai vế: $$ Vậy ta đã chứng minh được tất cả các bất đẳng thức.