giải các bất đẳng thức sau

Bài 1: a) Ta có: \[ a + 3 > a + 2 \] Vì 3 lớn hơn 2, nên \( a + 3 \) sẽ luôn lớn hơn \( a + 2 \). b) Ta có: \[ a - 9 < a - 8 \] Vì 9 lớn hơn 8, nên \( a - 9 \) sẽ luôn nhỏ hơn \( a - 8 \). c) Ta có: \[ 15 + 2a < 23 + 2a \] Vì 15 nhỏ hơn 23, nên \( 15 + 2a \) sẽ luôn nhỏ hơn \( 23 + 2a \). d) Ta có: \[ \frac{a}{3} - 1 > \frac{a}{3} - 2 \] Vì 1 nhỏ hơn 2, nên \( \frac{a}{3} - 1 \) sẽ luôn lớn hơn \( \frac{a}{3} - 2 \). Đáp số: a) \( a + 3 > a + 2 \) b) \( a - 9 < a - 8 \) c) \( 15 + 2a < 23 + 2a \) d) \( \frac{a}{3} - 1 > \frac{a}{3} - 2 \) Bài 2. a) Ta có: \[ -a + 6 \quad \text{và} \quad -a + 5 \] Ta thấy rằng: \[ 6 > 5 \] Do đó: \[ -a + 6 > -a + 5 \] b) Ta có: \[ -5a - 17 \quad \text{và} \quad -5a - 1 \] Ta thấy rằng: \[ -17 < -1 \] Do đó: \[ -5a - 17 < -5a - 1 \] c) Ta có: \[ 13 - 2a \quad \text{và} \quad 24 - 2a \] Ta thấy rằng: \[ 13 < 24 \] Do đó: \[ 13 - 2a < 24 - 2a \] d) Ta có: \[ -\frac{2a}{3} - \frac{1}{2} \quad \text{và} \quad -\frac{2a}{3} + \frac{1}{2} \] Ta thấy rằng: \[ -\frac{1}{2} < \frac{1}{2} \] Do đó: \[ -\frac{2a}{3} - \frac{1}{2} < -\frac{2a}{3} + \frac{1}{2} \] Đáp số: a) $-a + 6 > -a + 5$ b) $-5a - 17 < -5a - 1$ c) $13 - 2a < 24 - 2a$ d) $-\frac{2a}{3} - \frac{1}{2} < -\frac{2a}{3} + \frac{1}{2}$ Bài 3. a) Ta có $7 < 8$. Do đó, $7a < 8a$. b) Ta có $\frac{1}{2} > \frac{1}{3}$. Do đó, $-\frac{1}{2}a < -\frac{1}{3}a$. c) Ta có $1\frac{1}{3} > \frac{2}{3}$. Do đó, $1\frac{1}{3}a > \frac{2}{3}a$. d) Ta có $-\frac{2}{5} > -\frac{3}{4}$. Do đó, $a:(-\frac{2}{5}) < a:(-\frac{3}{4})$. e) Ta có $8 > 6$. Do đó, $8a > 6a$. Suy ra $8a + 1 > 6a + 1$. g) Ta có $-5 < -4$. Do đó, $-5a < -4a$. Suy ra $-5a + 4 < -4a + 4$. Đáp số: a) $7a < 8a$ b) $-\frac{1}{2}a < -\frac{1}{3}a$ c) $1\frac{1}{3}a > \frac{2}{3}a$ d) $a:(-\frac{2}{5}) < a:(-\frac{3}{4})$ e) $8a + 1 > 6a + 1$ g) $-5a + 4 < -4a + 4$ Bài 4. a) Ta có $a\leq 0$. Nhân cả hai vế của bất đẳng thức này với 6 ta được $6\times a\leq 6\times 0$, tức là $6a\leq 0$. Tương tự, nhân cả hai vế của bất đẳng thức $a\leq 0$ với 9 ta được $9\times a\leq 9\times 0$, tức là $9a\leq 0$. Vì $6a\leq 0$ và $9a\leq 0$, nên ta có $6a\geq 9a$ (vì 6a và 9a đều nhỏ hơn hoặc bằng 0, nhưng 6a gần 0 hơn 9a). b) Ta có $a\leq 0$. Nhân cả hai vế của bất đẳng thức này với -5 ta được $-5\times a\geq -5\times 0$, tức là $-5a\geq 0$. Tương tự, nhân cả hai vế của bất đẳng thức $a\leq 0$ với 11 ta được $11\times a\leq 11\times 0$, tức là $11a\leq 0$. Vì $-5a\geq 0$ và $11a\leq 0$, nên ta có $-5a\geq 11a$ (vì -5a lớn hơn hoặc bằng 0, còn 11a nhỏ hơn hoặc bằng 0). c) Ta có $a\leq 0$. Cộng cả hai vế của bất đẳng thức này với 8 ta được $a+8\leq 0+8$, tức là $a+8\leq 8$. Tương tự, cộng cả hai vế của bất đẳng thức $a\leq 0$ với 2 ta được $2\times a+8\leq 2\times 0+8$, tức là $2a+8\leq 8$. Vì $2a+8\leq 8$ và $a+8\leq 8$, nên ta có $2a+8\leq a+8$ (vì 2a+8 và a+8 đều nhỏ hơn hoặc bằng 8, nhưng 2a+8 nhỏ hơn hoặc bằng a+8). d) Ta có $a\leq 0$. Nhân cả hai vế của bất đẳng thức này với -7 ta được $-7\times a\geq -7\times 0$, tức là $-7a\geq 0$. Tương tự, nhân cả hai vế của bất đẳng thức $a\leq 0$ với -4 ta được $-4\times a\geq -4\times 0$, tức là $-4a\geq 0$. Vì $-7a\geq 0$ và $-4a\geq 0$, nên ta có $-7a+2\geq -4a+2$ (vì -7a và -4a đều lớn hơn hoặc bằng 0, nhưng -7a lớn hơn hoặc bằng -4a). Đáp số: a) $6a\geq 9a$ b) $-5a\geq 11a$ c) $2a+8\leq a+8$ d) $-7a+2\geq -4a+2$ Bài 5. a) Ta có $a < b$. Nhân cả hai vế với 8 ta được $8a < 8b$. Thêm 11 vào cả hai vế ta được $8a + 11 < 8b + 11$. b) Ta có $a < b$. Nhân cả hai vế với -3 ta được $-3a > -3b$ (nhân với số âm thì đổi chiều bất đẳng thức). Thêm 7 vào cả hai vế ta được $-3a + 7 > -3b + 7$. c) Ta có $a < b$. Nhân cả hai vế với $\frac{2}{5}$ ta được $\frac{2}{5}a < \frac{2}{5}b$. Trừ $\frac{1}{3}$ từ cả hai vế ta được $\frac{2}{5}a - \frac{1}{3} < \frac{2}{5}b - \frac{1}{3}$. d) Ta có $a < b$. Nhân cả hai vế với $-\frac{1}{2}$ ta được $-\frac{1}{2}a > -\frac{1}{2}b$ (nhân với số âm thì đổi chiều bất đẳng thức). Thêm 1 vào cả hai vế ta được $-\frac{1}{2}a + 1 > -\frac{1}{2}b + 1$. Đáp số: a) $8a + 11 < 8b + 11$ b) $-3a + 7 > -3b + 7$ c) $\frac{2}{5}a - \frac{1}{3} < \frac{2}{5}b - \frac{1}{3}$ d) $-\frac{1}{2}a + 1 > -\frac{1}{2}b + 1$ Bài 6. a) Ta có: \[ a < b \] Nhân cả hai vế với 4: \[ 4a < 4b \] Cộng thêm 1 vào cả hai vế: \[ 4a + 1 < 4b + 1 \] b) Ta có: \[ a < b \] Nhân cả hai vế với 2: \[ 2a < 2b \] Trừ 1 từ cả hai vế: \[ 2a - 1 < 2b - 1 \] c) Ta có: \[ a < b \] Nhân cả hai vế với -5 (nhớ đổi chiều bất đẳng thức): \[ -5a > -5b \] Cộng thêm 8 vào cả hai vế: \[ -5a + 8 > -5b + 8 \] d) Ta có: \[ a < b \] Nhân cả hai vế với -1 (nhớ đổi chiều bất đẳng thức): \[ -a > -b \] Cộng thêm 4 vào cả hai vế: \[ 4 - a > 4 - b \] Đáp số: a) \( 4a + 1 < 4b + 1 \) b) \( 2a - 1 < 2b - 1 \) c) \( -5a + 8 > -5b + 8 \) d) \( 4 - a > 4 - b \) Bài 7. a) Ta có $a \geq b$. Nhân cả hai vế với $\frac{1}{2}$ ta được: \[ \frac{1}{2}a \geq \frac{1}{2}b \] Thêm 3 vào cả hai vế ta được: \[ \frac{1}{2}a + 3 \geq \frac{1}{2}b + 3 \] b) Ta có $a \geq b$. Nhân cả hai vế với $\frac{-3}{7}$ ta được: \[ \frac{-3}{7}a \leq \frac{-3}{7}b \] (Chú ý rằng nhân với số âm thì chiều bất đẳng thức đổi ngược lại) Thêm $\frac{2}{7}$ vào cả hai vế ta được: \[ \frac{-3}{7}a + \frac{2}{7} \leq \frac{-3}{7}b + \frac{2}{7} \] c) Ta có $a \geq b$. Nhân cả hai vế với 1,2 ta được: \[ 1,2a \geq 1,2b \] Trừ 0,4 từ cả hai vế ta được: \[ 1,2a - 0,4 \geq 1,2b - 0,4 \] d) Ta có $a \geq b$. Nhân cả hai vế với -6 ta được: \[ -6a \leq -6b \] (Chú ý rằng nhân với số âm thì chiều bất đẳng thức đổi ngược lại) Thêm $\frac{5}{8}$ vào cả hai vế ta được: \[ -6a + \frac{5}{8} \leq -6b + \frac{5}{8} \] Bài 8. a) Ta có: \[ 2a + 9 > 2b + 9 \] Trừ cả hai vế của bất đẳng thức này cho 9, ta được: \[ 2a > 2b \] Chia cả hai vế cho 2, ta được: \[ a > b \] b) Ta đã biết: \[ a > b \] Thêm 6 vào cả hai vế của bất đẳng thức này, ta được: \[ a + 6 > b + 6 \] c) Ta đã biết: \[ a > b \] Nhân cả hai vế của bất đẳng thức này với 3, ta được: \[ 3a > 3b \] Trừ 2 từ cả hai vế của bất đẳng thức này, ta được: \[ 3a - 2 > 3b - 2 \] d) Ta đã biết: \[ a > b \] Nhân cả hai vế của bất đẳng thức này với -2 (nhớ rằng nhân với số âm thì chiều bất đẳng thức sẽ đổi ngược lại), ta được: \[ -2a < -2b \] Thêm 3 vào cả hai vế của bất đẳng thức này, ta được: \[ -2a + 3 < -2b + 3 \] Đáp số: a) \( a > b \) b) \( a + 6 > b + 6 \) c) \( 3a - 2 > 3b - 2 \) d) \( -2a + 3 < -2b + 3 \) Bài 9. Để chứng minh các bất đẳng thức, ta sẽ sử dụng tính chất của bất đẳng thức và biến đổi từng bước một. a) Chứng minh $a \leq b$ Ta có: \[ -8a + 2 \geq -8b + 2 \] Trừ 2 ở cả hai vế: \[ -8a \geq -8b \] Chia cả hai vế cho -8 (nhớ đảo chiều bất đẳng thức): \[ a \leq b \] b) Chứng minh $2a - 3 \leq 2b - 3$ Ta đã biết: \[ a \leq b \] Nhân cả hai vế với 2: \[ 2a \leq 2b \] Trừ 3 ở cả hai vế: \[ 2a - 3 \leq 2b - 3 \] c) Chứng minh $-\frac{5}{9}a + 2 \geq -\frac{5}{9}b + 2$ Ta đã biết: \[ a \leq b \] Nhân cả hai vế với $-\frac{5}{9}$ (nhớ đảo chiều bất đẳng thức): \[ -\frac{5}{9}a \geq -\frac{5}{9}b \] Cộng 2 ở cả hai vế: \[ -\frac{5}{9}a + 2 \geq -\frac{5}{9}b + 2 \] d) Chứng minh $4 - 3a \geq 4 - 3b$ Ta đã biết: \[ a \leq b \] Nhân cả hai vế với -3 (nhớ đảo chiều bất đẳng thức): \[ -3a \geq -3b \] Cộng 4 ở cả hai vế: \[ 4 - 3a \geq 4 - 3b \] Vậy ta đã chứng minh được tất cả các bất đẳng thức.