fisnc9skcjoed $d)~EF//SN$ $[2u_1+(n-1)d]\frac n2$,PHẦN III. Câu trả lời ngắn.,Câu 2.1 Tìm số hạng đầu $u_1$ của cấp số cộng $(u_n)$ biết rằng: $u_1+2u_5=0$ và $S_4=14.$,Câu 2.2 Tìm số hạng đầu $u_1$ của cấp số cộng $(u_n)$ biết rằng: $u_1+2u_6=-2$ và $S_5=10.$,Câu 2.3 Tìm số hạng đầu $u_1$ của cấp số cộng $(u_n)$ biết rằng: $u_1+3u_5=-20$ và $S_3=3.$,Câu 6.1 Tìm các giá trị của tham số k để $\lim_{n\rightarrow+\infty}(\sqrt{n^2-4n}-n+k^2)=0.$ Giả sử $k=\pm\sqrt a.$ Tính 2a,Câu 6.2 Tìm các giá trị của tham số k để $\lim_{n\rightarrow+\infty}(\sqrt{n^2-8n}-n+k^2)=0.$ Giả sử $k=\pm a(a0).$ Tính,3a,Câu 6.3 Tìm các giá trị của tham số k để $\lim_{n\rightarrow+\infty}(\sqrt{n^2-6n}-n+k^2)=0$ Giả sử $k=\pm\sqrt a.$ Tính 2a

Question

fisnc9skcjoed $d)~EF//SN$ $[2u_1+(n-1)d]\frac n2$,PHẦN III. Câu trả lời ngắn.,Câu 2.1 Tìm số hạng đầu $u_1$ của cấp số cộng $(u_n)$ biết rằng: $u_1+2u_5=0$ và $S_4=14.$,Câu 2.2 Tìm số hạng đầu $u_1$ của cấp số cộng $(u_n)$ biết rằng: $u_1+2u_6=-2$ và $S_5=10.$,Câu 2.3 Tìm số hạng đầu $u_1$ của cấp số cộng $(u_n)$ biết rằng: $u_1+3u_5=-20$ và $S_3=3.$,Câu 6.1 Tìm các giá trị của tham số k để $\lim_{n\rightarrow+\infty}(\sqrt{n^2-4n}-n+k^2)=0.$ Giả sử $k=\pm\sqrt a.$ Tính 2a,Câu 6.2 Tìm các giá trị của tham số k để $\lim_{n\rightarrow+\infty}(\sqrt{n^2-8n}-n+k^2)=0.$ Giả sử $k=\pm a(a>0).$ Tính,3a,Câu 6.3 Tìm các giá trị của tham số k để $\lim_{n\rightarrow+\infty}(\sqrt{n^2-6n}-n+k^2)=0$ Giả sử $k=\pm\sqrt a.$ Tính 2a

Accepted Answer

Câu 2.
Trước tiên, ta cần nhớ lại công thức của số hạng thứ n trong cấp số cộng và tổng của n số hạng đầu tiên trong cấp số cộng:
- Số hạng thứ n: $u_n = u_1 + (n-1)d$
- Tổng n số hạng đầu tiên: $S_n = \frac{n}{2} [2u_1 + (n-1)d]$

Ta đã biết:
- $u_1 + 2u_5 = 0$
- $S_4 = 14$

Bước 1: Biểu diễn $u_5$ theo $u_1$ và $d$:
$$ u_5 = u_1 + 4d $$

Bước 2: Thay vào phương trình $u_1 + 2u_5 = 0$:
$$ u_1 + 2(u_1 + 4d) = 0 $$
$$ u_1 + 2u_1 + 8d = 0 $$
$$ 3u_1 + 8d = 0 \quad \text{(1)} $$

Bước 3: Biểu diễn $S_4$ theo $u_1$ và $d$:
$$ S_4 = \frac{4}{2} [2u_1 + 3d] = 14 $$
$$ 2[2u_1 + 3d] = 14 $$
$$ 4u_1 + 6d = 14 \quad \text{(2)} $$

Bước 4: Giải hệ phương trình (1) và (2):
$$ 
\begin{cases}
3u_1 + 8d = 0 \
4u_1 + 6d = 14
\end{cases}
$$

Nhân phương trình (1) với 4 và nhân phương trình (2) với 3 để dễ dàng trừ hai phương trình:
$$ 
\begin{cases}
12u_1 + 32d = 0 \
12u_1 + 18d = 42
\end{cases}
$$

Trừ phương trình thứ hai từ phương trình thứ nhất:
$$ (12u_1 + 32d) - (12u_1 + 18d) = 0 - 42 $$
$$ 14d = -42 $$
$$ d = -3 $$

Thay $d = -3$ vào phương trình (1):
$$ 3u_1 + 8(-3) = 0 $$
$$ 3u_1 - 24 = 0 $$
$$ 3u_1 = 24 $$
$$ u_1 = 8 $$

Vậy số hạng đầu tiên của cấp số cộng là $u_1 = 8$.

Câu 2.
Trước tiên, ta cần nhớ lại công thức của số hạng thứ n và tổng của n số hạng đầu tiên trong một cấp số cộng:
- Số hạng thứ n của cấp số cộng: $ u_n = u_1 + (n-1)d $
- Tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số cộng: $ S_n = \frac{n}{2} [2u_1 + (n-1)d] $

Ta đã biết:
- $ u_1 + 2u_6 = -2 $
- $ S_5 = 10 $

Bước 1: Biểu diễn $ u_6 $ theo $ u_1 $ và $ d $:
$$ u_6 = u_1 + 5d $$

Bước 2: Thay vào phương trình $ u_1 + 2u_6 = -2 $:
$$ u_1 + 2(u_1 + 5d) = -2 $$
$$ u_1 + 2u_1 + 10d = -2 $$
$$ 3u_1 + 10d = -2 \quad \text{(1)} $$

Bước 3: Biểu diễn $ S_5 $ theo $ u_1 $ và $ d $:
$$ S_5 = \frac{5}{2} [2u_1 + 4d] = 10 $$
$$ 5[2u_1 + 4d] = 20 $$
$$ 2u_1 + 4d = 4 \quad \text{(2)} $$

Bước 4: Giải hệ phương trình (1) và (2):
$$ 
\begin{cases}
3u_1 + 10d = -2 \
2u_1 + 4d = 4
\end{cases}
$$

Nhân phương trình (2) với 5 và phương trình (1) với 2 để dễ dàng trừ:
$$ 
\begin{cases}
6u_1 + 20d = -4 \
10u_1 + 20d = 20
\end{cases}
$$

Trừ phương trình thứ hai từ phương trình thứ nhất:
$$ (10u_1 + 20d) - (6u_1 + 20d) = 20 - (-4) $$
$$ 4u_1 = 24 $$
$$ u_1 = 6 $$

Thay $ u_1 = 6 $ vào phương trình (2):
$$ 2(6) + 4d = 4 $$
$$ 12 + 4d = 4 $$
$$ 4d = -8 $$
$$ d = -2 $$

Vậy số hạng đầu tiên $ u_1 $ của cấp số cộng là 6.

Câu 2.
Trước tiên, ta cần nhớ lại công thức của số hạng thứ n trong cấp số cộng và tổng của n số hạng đầu tiên trong cấp số cộng:
- Số hạng thứ n: $ u_n = u_1 + (n-1)d $
- Tổng của n số hạng đầu tiên: $ S_n = \frac{n}{2} (2u_1 + (n-1)d) $

Ta đã biết:
1. $ u_1 + 3u_5 = -20 $
2. $ S_3 = 3 $

Bước 1: Tính $ u_5 $ theo $ u_1 $ và $ d $:
$$ u_5 = u_1 + 4d $$

Bước 2: Thay vào phương trình $ u_1 + 3u_5 = -20 $:
$$ u_1 + 3(u_1 + 4d) = -20 $$
$$ u_1 + 3u_1 + 12d = -20 $$
$$ 4u_1 + 12d = -20 $$
$$ u_1 + 3d = -5 \quad \text{(1)} $$

Bước 3: Tính $ S_3 $ theo $ u_1 $ và $ d $:
$$ S_3 = \frac{3}{2} (2u_1 + 2d) = 3 $$
$$ 3(u_1 + d) = 3 $$
$$ u_1 + d = 1 \quad \text{(2)} $$

Bước 4: Giải hệ phương trình (1) và (2):
$$ 
\begin{cases}
u_1 + 3d = -5 \
u_1 + d = 1
\end{cases}
$$

Trừ phương trình (2) từ phương trình (1):
$$ (u_1 + 3d) - (u_1 + d) = -5 - 1 $$
$$ 2d = -6 $$
$$ d = -3 $$

Thay $ d = -3 $ vào phương trình (2):
$$ u_1 + (-3) = 1 $$
$$ u_1 - 3 = 1 $$
$$ u_1 = 4 $$

Vậy số hạng đầu tiên $ u_1 $ của cấp số cộng là 4.

Đáp số: $ u_1 = 4 $.

Câu 6.
Để tìm các giá trị của tham số $ k $ sao cho $\lim_{n\rightarrow+\infty}(\sqrt{n^2-4n}-n+k^2)=0$, ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Xét giới hạn của biểu thức $\sqrt{n^2-4n}-n$.

Ta có:
$$
\sqrt{n^2-4n}-n = \frac{(\sqrt{n^2-4n}-n)(\sqrt{n^2-4n}+n)}{\sqrt{n^2-4n}+n} = \frac{(n^2-4n)-n^2}{\sqrt{n^2-4n}+n} = \frac{-4n}{\sqrt{n^2-4n}+n}
$$

Bước 2: Rút gọn biểu thức trong giới hạn.

$$
\frac{-4n}{\sqrt{n^2-4n}+n} = \frac{-4n}{n\left(\sqrt{1-\frac{4}{n}}+1\right)} = \frac{-4}{\sqrt{1-\frac{4}{n}}+1}
$$

Khi $ n \to +\infty $, ta có $\frac{4}{n} \to 0$. Do đó:
$$
\lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{-4}{\sqrt{1-\frac{4}{n}}+1} = \frac{-4}{\sqrt{1-0}+1} = \frac{-4}{2} = -2
$$

Bước 3: Thay vào biểu thức ban đầu.

$$
\lim_{n\rightarrow+\infty}(\sqrt{n^2-4n}-n+k^2) = -2 + k^2
$$

Để giới hạn này bằng 0, ta cần:
$$
-2 + k^2 = 0 \implies k^2 = 2 \implies k = \pm \sqrt{2}
$$

Bước 4: Tính $2a$ khi $k = \pm \sqrt{a}$.

Trong bài toán này, ta có $k = \pm \sqrt{2}$, do đó $a = 2$. Vậy:
$$
2a = 2 \times 2 = 4
$$

Đáp số: $2a = 4$.

Câu 6.
Để tìm các giá trị của tham số $ k $ sao cho $\lim_{n\rightarrow+\infty}(\sqrt{n^2-8n}-n+k^2)=0$, ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Xét giới hạn của biểu thức $\sqrt{n^2-8n}-n$.

Ta có:
$$
\sqrt{n^2-8n}-n = \frac{(\sqrt{n^2-8n}-n)(\sqrt{n^2-8n}+n)}{\sqrt{n^2-8n}+n} = \frac{(n^2-8n)-n^2}{\sqrt{n^2-8n}+n} = \frac{-8n}{\sqrt{n^2-8n}+n}
$$

Bước 2: Rút gọn biểu thức trong giới hạn.

$$
\frac{-8n}{\sqrt{n^2-8n}+n} = \frac{-8n}{n\left(\sqrt{1-\frac{8}{n}}+1\right)} = \frac{-8}{\sqrt{1-\frac{8}{n}}+1}
$$

Khi $ n \to +\infty $, ta có $\frac{8}{n} \to 0$, do đó:
$$
\frac{-8}{\sqrt{1-\frac{8}{n}}+1} \to \frac{-8}{\sqrt{1-0}+1} = \frac{-8}{2} = -4
$$

Bước 3: Áp dụng điều kiện để giới hạn bằng 0.

Ta có:
$$
\lim_{n\rightarrow+\infty}(\sqrt{n^2-8n}-n+k^2) = -4 + k^2 = 0
$$

Do đó:
$$
k^2 = 4 \implies k = \pm 2
$$

Bước 4: Tính $ 3a $ khi $ k = \pm a $ và $ a > 0 $.

Giả sử $ k = \pm a $ và $ a > 0 $, ta có $ a = 2 $. Vậy:
$$
3a = 3 \times 2 = 6
$$

Đáp số: $ 6 $

Câu 6.
Để tìm các giá trị của tham số $ k $ sao cho $\lim_{n\rightarrow+\infty}(\sqrt{n^2-6n}-n+k^2)=0$, ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Xét giới hạn của biểu thức $\sqrt{n^2-6n}-n$.

Ta có:
$$
\sqrt{n^2-6n}-n = \frac{(\sqrt{n^2-6n}-n)(\sqrt{n^2-6n}+n)}{\sqrt{n^2-6n}+n} = \frac{(n^2-6n)-n^2}{\sqrt{n^2-6n}+n} = \frac{-6n}{\sqrt{n^2-6n}+n}
$$

Bước 2: Rút gọn biểu thức trong giới hạn.

$$
\frac{-6n}{\sqrt{n^2-6n}+n} = \frac{-6n}{n\left(\sqrt{1-\frac{6}{n}}+1\right)} = \frac{-6}{\sqrt{1-\frac{6}{n}}+1}
$$

Khi $ n \to +\infty $, ta có:
$$
\sqrt{1-\frac{6}{n}} \to 1
$$
Do đó:
$$
\frac{-6}{\sqrt{1-\frac{6}{n}}+1} \to \frac{-6}{1+1} = -3
$$

Bước 3: Áp dụng điều kiện để giới hạn bằng 0.

Ta có:
$$
\lim_{n\rightarrow+\infty}(\sqrt{n^2-6n}-n+k^2) = -3 + k^2 = 0
$$
Suy ra:
$$
k^2 = 3
$$

Bước 4: Giải phương trình $ k^2 = 3 $.

Ta có:
$$
k = \pm \sqrt{3}
$$

Bước 5: Tính $ 2a $.

Giả sử $ k = \pm \sqrt{a} $. Ta có:
$$
\sqrt{a} = \sqrt{3} \Rightarrow a = 3
$$
Do đó:
$$
2a = 2 \times 3 = 6
$$

Vậy giá trị của $ 2a $ là $ 6 $.

Đáp số: $ 2a = 6 $