fisnc9skcjoed

Câu 2. Trước tiên, ta cần nhớ lại công thức của số hạng thứ n trong cấp số cộng và tổng của n số hạng đầu tiên trong cấp số cộng: - Số hạng thứ n: $u_n = u_1 + (n-1)d$ - Tổng n số hạng đầu tiên: $S_n = \frac{n}{2} [2u_1 + (n-1)d]$ Ta đã biết: - $u_1 + 2u_5 = 0$ - $S_4 = 14$ Bước 1: Biểu diễn $u_5$ theo $u_1$ và $d$: \[ u_5 = u_1 + 4d \] Bước 2: Thay vào phương trình $u_1 + 2u_5 = 0$: \[ u_1 + 2(u_1 + 4d) = 0 \] \[ u_1 + 2u_1 + 8d = 0 \] \[ 3u_1 + 8d = 0 \quad \text{(1)} \] Bước 3: Biểu diễn $S_4$ theo $u_1$ và $d$: \[ S_4 = \frac{4}{2} [2u_1 + 3d] = 14 \] \[ 2[2u_1 + 3d] = 14 \] \[ 4u_1 + 6d = 14 \quad \text{(2)} \] Bước 4: Giải hệ phương trình (1) và (2): \[ \begin{cases} 3u_1 + 8d = 0 \\ 4u_1 + 6d = 14 \end{cases} \] Nhân phương trình (1) với 4 và nhân phương trình (2) với 3 để dễ dàng trừ hai phương trình: \[ \begin{cases} 12u_1 + 32d = 0 \\ 12u_1 + 18d = 42 \end{cases} \] Trừ phương trình thứ hai từ phương trình thứ nhất: \[ (12u_1 + 32d) - (12u_1 + 18d) = 0 - 42 \] \[ 14d = -42 \] \[ d = -3 \] Thay $d = -3$ vào phương trình (1): \[ 3u_1 + 8(-3) = 0 \] \[ 3u_1 - 24 = 0 \] \[ 3u_1 = 24 \] \[ u_1 = 8 \] Vậy số hạng đầu tiên của cấp số cộng là $u_1 = 8$. Câu 2. Trước tiên, ta cần nhớ lại công thức của số hạng thứ n và tổng của n số hạng đầu tiên trong một cấp số cộng: - Số hạng thứ n của cấp số cộng: \( u_n = u_1 + (n-1)d \) - Tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số cộng: \( S_n = \frac{n}{2} [2u_1 + (n-1)d] \) Ta đã biết: - \( u_1 + 2u_6 = -2 \) - \( S_5 = 10 \) Bước 1: Biểu diễn \( u_6 \) theo \( u_1 \) và \( d \): \[ u_6 = u_1 + 5d \] Bước 2: Thay vào phương trình \( u_1 + 2u_6 = -2 \): \[ u_1 + 2(u_1 + 5d) = -2 \] \[ u_1 + 2u_1 + 10d = -2 \] \[ 3u_1 + 10d = -2 \quad \text{(1)} \] Bước 3: Biểu diễn \( S_5 \) theo \( u_1 \) và \( d \): \[ S_5 = \frac{5}{2} [2u_1 + 4d] = 10 \] \[ 5[2u_1 + 4d] = 20 \] \[ 2u_1 + 4d = 4 \quad \text{(2)} \] Bước 4: Giải hệ phương trình (1) và (2): \[ \begin{cases} 3u_1 + 10d = -2 \\ 2u_1 + 4d = 4 \end{cases} \] Nhân phương trình (2) với 5 và phương trình (1) với 2 để dễ dàng trừ: \[ \begin{cases} 6u_1 + 20d = -4 \\ 10u_1 + 20d = 20 \end{cases} \] Trừ phương trình thứ hai từ phương trình thứ nhất: \[ (10u_1 + 20d) - (6u_1 + 20d) = 20 - (-4) \] \[ 4u_1 = 24 \] \[ u_1 = 6 \] Thay \( u_1 = 6 \) vào phương trình (2): \[ 2(6) + 4d = 4 \] \[ 12 + 4d = 4 \] \[ 4d = -8 \] \[ d = -2 \] Vậy số hạng đầu tiên \( u_1 \) của cấp số cộng là 6. Câu 2. Trước tiên, ta cần nhớ lại công thức của số hạng thứ n trong cấp số cộng và tổng của n số hạng đầu tiên trong cấp số cộng: - Số hạng thứ n: \( u_n = u_1 + (n-1)d \) - Tổng của n số hạng đầu tiên: \( S_n = \frac{n}{2} (2u_1 + (n-1)d) \) Ta đã biết: 1. \( u_1 + 3u_5 = -20 \) 2. \( S_3 = 3 \) Bước 1: Tính \( u_5 \) theo \( u_1 \) và \( d \): \[ u_5 = u_1 + 4d \] Bước 2: Thay vào phương trình \( u_1 + 3u_5 = -20 \): \[ u_1 + 3(u_1 + 4d) = -20 \] \[ u_1 + 3u_1 + 12d = -20 \] \[ 4u_1 + 12d = -20 \] \[ u_1 + 3d = -5 \quad \text{(1)} \] Bước 3: Tính \( S_3 \) theo \( u_1 \) và \( d \): \[ S_3 = \frac{3}{2} (2u_1 + 2d) = 3 \] \[ 3(u_1 + d) = 3 \] \[ u_1 + d = 1 \quad \text{(2)} \] Bước 4: Giải hệ phương trình (1) và (2): \[ \begin{cases} u_1 + 3d = -5 \\ u_1 + d = 1 \end{cases} \] Trừ phương trình (2) từ phương trình (1): \[ (u_1 + 3d) - (u_1 + d) = -5 - 1 \] \[ 2d = -6 \] \[ d = -3 \] Thay \( d = -3 \) vào phương trình (2): \[ u_1 + (-3) = 1 \] \[ u_1 - 3 = 1 \] \[ u_1 = 4 \] Vậy số hạng đầu tiên \( u_1 \) của cấp số cộng là 4. Đáp số: \( u_1 = 4 \). Câu 6. Để tìm các giá trị của tham số \( k \) sao cho \(\lim_{n\rightarrow+\infty}(\sqrt{n^2-4n}-n+k^2)=0\), ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Xét giới hạn của biểu thức \(\sqrt{n^2-4n}-n\). Ta có: \[ \sqrt{n^2-4n}-n = \frac{(\sqrt{n^2-4n}-n)(\sqrt{n^2-4n}+n)}{\sqrt{n^2-4n}+n} = \frac{(n^2-4n)-n^2}{\sqrt{n^2-4n}+n} = \frac{-4n}{\sqrt{n^2-4n}+n} \] Bước 2: Rút gọn biểu thức trong giới hạn. \[ \frac{-4n}{\sqrt{n^2-4n}+n} = \frac{-4n}{n\left(\sqrt{1-\frac{4}{n}}+1\right)} = \frac{-4}{\sqrt{1-\frac{4}{n}}+1} \] Khi \( n \to +\infty \), ta có \(\frac{4}{n} \to 0\). Do đó: \[ \lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{-4}{\sqrt{1-\frac{4}{n}}+1} = \frac{-4}{\sqrt{1-0}+1} = \frac{-4}{2} = -2 \] Bước 3: Thay vào biểu thức ban đầu. \[ \lim_{n\rightarrow+\infty}(\sqrt{n^2-4n}-n+k^2) = -2 + k^2 \] Để giới hạn này bằng 0, ta cần: \[ -2 + k^2 = 0 \implies k^2 = 2 \implies k = \pm \sqrt{2} \] Bước 4: Tính \(2a\) khi \(k = \pm \sqrt{a}\). Trong bài toán này, ta có \(k = \pm \sqrt{2}\), do đó \(a = 2\). Vậy: \[ 2a = 2 \times 2 = 4 \] Đáp số: \(2a = 4\). Câu 6. Để tìm các giá trị của tham số \( k \) sao cho \(\lim_{n\rightarrow+\infty}(\sqrt{n^2-8n}-n+k^2)=0\), ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Xét giới hạn của biểu thức \(\sqrt{n^2-8n}-n\). Ta có: \[ \sqrt{n^2-8n}-n = \frac{(\sqrt{n^2-8n}-n)(\sqrt{n^2-8n}+n)}{\sqrt{n^2-8n}+n} = \frac{(n^2-8n)-n^2}{\sqrt{n^2-8n}+n} = \frac{-8n}{\sqrt{n^2-8n}+n} \] Bước 2: Rút gọn biểu thức trong giới hạn. \[ \frac{-8n}{\sqrt{n^2-8n}+n} = \frac{-8n}{n\left(\sqrt{1-\frac{8}{n}}+1\right)} = \frac{-8}{\sqrt{1-\frac{8}{n}}+1} \] Khi \( n \to +\infty \), ta có \(\frac{8}{n} \to 0\), do đó: \[ \frac{-8}{\sqrt{1-\frac{8}{n}}+1} \to \frac{-8}{\sqrt{1-0}+1} = \frac{-8}{2} = -4 \] Bước 3: Áp dụng điều kiện để giới hạn bằng 0. Ta có: \[ \lim_{n\rightarrow+\infty}(\sqrt{n^2-8n}-n+k^2) = -4 + k^2 = 0 \] Do đó: \[ k^2 = 4 \implies k = \pm 2 \] Bước 4: Tính \( 3a \) khi \( k = \pm a \) và \( a > 0 \). Giả sử \( k = \pm a \) và \( a > 0 \), ta có \( a = 2 \). Vậy: \[ 3a = 3 \times 2 = 6 \] Đáp số: \( 6 \) Câu 6. Để tìm các giá trị của tham số \( k \) sao cho \(\lim_{n\rightarrow+\infty}(\sqrt{n^2-6n}-n+k^2)=0\), ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Xét giới hạn của biểu thức \(\sqrt{n^2-6n}-n\). Ta có: \[ \sqrt{n^2-6n}-n = \frac{(\sqrt{n^2-6n}-n)(\sqrt{n^2-6n}+n)}{\sqrt{n^2-6n}+n} = \frac{(n^2-6n)-n^2}{\sqrt{n^2-6n}+n} = \frac{-6n}{\sqrt{n^2-6n}+n} \] Bước 2: Rút gọn biểu thức trong giới hạn. \[ \frac{-6n}{\sqrt{n^2-6n}+n} = \frac{-6n}{n\left(\sqrt{1-\frac{6}{n}}+1\right)} = \frac{-6}{\sqrt{1-\frac{6}{n}}+1} \] Khi \( n \to +\infty \), ta có: \[ \sqrt{1-\frac{6}{n}} \to 1 \] Do đó: \[ \frac{-6}{\sqrt{1-\frac{6}{n}}+1} \to \frac{-6}{1+1} = -3 \] Bước 3: Áp dụng điều kiện để giới hạn bằng 0. Ta có: \[ \lim_{n\rightarrow+\infty}(\sqrt{n^2-6n}-n+k^2) = -3 + k^2 = 0 \] Suy ra: \[ k^2 = 3 \] Bước 4: Giải phương trình \( k^2 = 3 \). Ta có: \[ k = \pm \sqrt{3} \] Bước 5: Tính \( 2a \). Giả sử \( k = \pm \sqrt{a} \). Ta có: \[ \sqrt{a} = \sqrt{3} \Rightarrow a = 3 \] Do đó: \[ 2a = 2 \times 3 = 6 \] Vậy giá trị của \( 2a \) là \( 6 \). Đáp số: \( 2a = 6 \)