$\lim\limits_{x\to2}\frac{\sqrt{x+2}-2}{\sqrt{x+7}-3}$

Để tính giới hạn $\lim\limits_{x\to2}\frac{\sqrt{x+2}-2}{\sqrt{x+7}-3}$, ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ) - Biểu thức $\sqrt{x+2}$ xác định khi $x + 2 \geq 0$, tức là $x \geq -2$. - Biểu thức $\sqrt{x+7}$ xác định khi $x + 7 \geq 0$, tức là $x \geq -7$. - Vì $x \to 2$, nên cả hai điều kiện trên đều thoả mãn. Bước 2: Nhân lượng liên hợp để đơn giản hóa biểu thức Ta nhân cả tử và mẫu với các biểu thức liên hợp tương ứng: \[ \lim\limits_{x\to2}\frac{\sqrt{x+2}-2}{\sqrt{x+7}-3} = \lim\limits_{x\to2}\frac{(\sqrt{x+2}-2)(\sqrt{x+2}+2)}{(\sqrt{x+7}-3)(\sqrt{x+7}+3)} \] Bước 3: Tính toán và đơn giản hóa \[ = \lim\limits_{x\to2}\frac{(x+2)-4}{(x+7)-9} = \lim\limits_{x\to2}\frac{x-2}{x-2} \] Bước 4: Thay giá trị cận vào biểu thức đã đơn giản hóa \[ = \lim\limits_{x\to2}\frac{x-2}{x-2} = \lim\limits_{x\to2} 1 = 1 \] Vậy, giới hạn của biểu thức là: \[ \lim\limits_{x\to2}\frac{\sqrt{x+2}-2}{\sqrt{x+7}-3} = 1 \]