😭😭😭😭😭😭😭😭

Câu 18. Để tìm giới hạn của biểu thức \( N = \lim_{x \to +\infty} (\sqrt[3]{8x^3 + 2x} - 2x) \), ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Ta viết lại biểu thức dưới dạng: \[ N = \lim_{x \to +\infty} \left( \sqrt[3]{8x^3 + 2x} - 2x \right) \] Bước 2: Nhân lượng liên hợp để đơn giản hóa biểu thức: \[ N = \lim_{x \to +\infty} \left( \sqrt[3]{8x^3 + 2x} - 2x \right) \cdot \frac{\sqrt[3]{(8x^3 + 2x)^2} + 2x \sqrt[3]{8x^3 + 2x} + 4x^2}{\sqrt[3]{(8x^3 + 2x)^2} + 2x \sqrt[3]{8x^3 + 2x} + 4x^2} \] Bước 3: Áp dụng công thức \( a - b = \frac{a^3 - b^3}{a^2 + ab + b^2} \): \[ N = \lim_{x \to +\infty} \frac{(8x^3 + 2x) - (2x)^3}{\sqrt[3]{(8x^3 + 2x)^2} + 2x \sqrt[3]{8x^3 + 2x} + 4x^2} \] \[ N = \lim_{x \to +\infty} \frac{8x^3 + 2x - 8x^3}{\sqrt[3]{(8x^3 + 2x)^2} + 2x \sqrt[3]{8x^3 + 2x} + 4x^2} \] \[ N = \lim_{x \to +\infty} \frac{2x}{\sqrt[3]{(8x^3 + 2x)^2} + 2x \sqrt[3]{8x^3 + 2x} + 4x^2} \] Bước 4: Chia cả tử và mẫu cho \( x^2 \): \[ N = \lim_{x \to +\infty} \frac{\frac{2x}{x^2}}{\frac{\sqrt[3]{(8x^3 + 2x)^2}}{x^2} + \frac{2x \sqrt[3]{8x^3 + 2x}}{x^2} + \frac{4x^2}{x^2}} \] \[ N = \lim_{x \to +\infty} \frac{\frac{2}{x}}{\sqrt[3]{\left( \frac{8x^3 + 2x}{x^3} \right)^2} + 2 \sqrt[3]{\frac{8x^3 + 2x}{x^3}} + 4} \] \[ N = \lim_{x \to +\infty} \frac{\frac{2}{x}}{\sqrt[3]{\left( 8 + \frac{2}{x^2} \right)^2} + 2 \sqrt[3]{8 + \frac{2}{x^2}} + 4} \] Bước 5: Tính giới hạn khi \( x \to +\infty \): \[ N = \frac{0}{\sqrt[3]{8^2} + 2 \sqrt[3]{8} + 4} \] \[ N = \frac{0}{4 + 4 + 4} \] \[ N = \frac{0}{12} \] \[ N = 0 \] Vậy đáp án đúng là: D. 0. Câu 19. Để tìm giới hạn \( H = \lim_{x \to +\infty} (\sqrt[4]{16x^4 + 3x + 1} - \sqrt{4x^2 + 2}) \), ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Xét giới hạn của mỗi thành phần trong biểu thức: - \( \sqrt[4]{16x^4 + 3x + 1} \) - \( \sqrt{4x^2 + 2} \) Bước 2: Ta thấy rằng khi \( x \to +\infty \): - \( \sqrt[4]{16x^4 + 3x + 1} \approx \sqrt[4]{16x^4} = 2x \) - \( \sqrt{4x^2 + 2} \approx \sqrt{4x^2} = 2x \) Bước 3: Ta viết lại biểu thức ban đầu dưới dạng: \[ H = \lim_{x \to +\infty} (2x - 2x) \] Bước 4: Ta thấy rằng biểu thức này có dạng không xác định \( 0 \cdot \infty \). Để giải quyết vấn đề này, ta nhân lượng liên hợp để đơn giản hóa biểu thức: \[ H = \lim_{x \to +\infty} \left( \sqrt[4]{16x^4 + 3x + 1} - \sqrt{4x^2 + 2} \right) \] Nhân lượng liên hợp: \[ H = \lim_{x \to +\infty} \left( \frac{\left( \sqrt[4]{16x^4 + 3x + 1} - \sqrt{4x^2 + 2} \right) \left( \sqrt[4]{16x^4 + 3x + 1} + \sqrt{4x^2 + 2} \right)}{\sqrt[4]{16x^4 + 3x + 1} + \sqrt{4x^2 + 2}} \right) \] Bước 5: Ta có: \[ H = \lim_{x \to +\infty} \left( \frac{(16x^4 + 3x + 1) - (4x^2 + 2)}{\sqrt[4]{16x^4 + 3x + 1} + \sqrt{4x^2 + 2}} \right) \] \[ H = \lim_{x \to +\infty} \left( \frac{16x^4 + 3x + 1 - 4x^2 - 2}{\sqrt[4]{16x^4 + 3x + 1} + \sqrt{4x^2 + 2}} \right) \] \[ H = \lim_{x \to +\infty} \left( \frac{16x^4 - 4x^2 + 3x - 1}{\sqrt[4]{16x^4 + 3x + 1} + \sqrt{4x^2 + 2}} \right) \] Bước 6: Chia cả tử và mẫu cho \( x^2 \): \[ H = \lim_{x \to +\infty} \left( \frac{16x^2 - 4 + \frac{3}{x} - \frac{1}{x^2}}{\sqrt[4]{16 + \frac{3}{x^3} + \frac{1}{x^4}} + \sqrt{4 + \frac{2}{x^2}}} \right) \] Bước 7: Khi \( x \to +\infty \), các phân số \( \frac{3}{x} \), \( \frac{1}{x^2} \), \( \frac{3}{x^3} \), \( \frac{1}{x^4} \), và \( \frac{2}{x^2} \) đều tiến đến 0: \[ H = \frac{16x^2 - 4}{\sqrt[4]{16} + \sqrt{4}} \] \[ H = \frac{16x^2 - 4}{2 + 2} \] \[ H = \frac{16x^2 - 4}{4} \] \[ H = 4x^2 - 1 \] Khi \( x \to +\infty \), biểu thức \( 4x^2 - 1 \) tiến đến \( +\infty \). Vậy đáp án đúng là: A. \( +\infty \) Câu 20. Để tìm giới hạn của biểu thức \( K = \lim_{x \to +\infty} (\sqrt{x^2 + 1} + \sqrt{x^2 - x} - 2x) \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Nhân lượng liên hợp để đơn giản hóa biểu thức: \[ K = \lim_{x \to +\infty} \left( \sqrt{x^2 + 1} + \sqrt{x^2 - x} - 2x \right) \] Nhân lượng liên hợp với biểu thức \( \sqrt{x^2 + 1} + \sqrt{x^2 - x} - 2x \): \[ K = \lim_{x \to +\infty} \left( \sqrt{x^2 + 1} + \sqrt{x^2 - x} - 2x \right) \cdot \frac{\sqrt{x^2 + 1} + \sqrt{x^2 - x} + 2x}{\sqrt{x^2 + 1} + \sqrt{x^2 - x} + 2x} \] Bước 2: Tính toán biểu thức nhân liên hợp: \[ K = \lim_{x \to +\infty} \frac{(\sqrt{x^2 + 1} + \sqrt{x^2 - x})^2 - (2x)^2}{\sqrt{x^2 + 1} + \sqrt{x^2 - x} + 2x} \] \[ = \lim_{x \to +\infty} \frac{(x^2 + 1) + (x^2 - x) + 2\sqrt{(x^2 + 1)(x^2 - x)} - 4x^2}{\sqrt{x^2 + 1} + \sqrt{x^2 - x} + 2x} \] \[ = \lim_{x \to +\infty} \frac{2x^2 - x + 1 + 2\sqrt{(x^2 + 1)(x^2 - x)} - 4x^2}{\sqrt{x^2 + 1} + \sqrt{x^2 - x} + 2x} \] \[ = \lim_{x \to +\infty} \frac{-2x^2 - x + 1 + 2\sqrt{(x^2 + 1)(x^2 - x)}}{\sqrt{x^2 + 1} + \sqrt{x^2 - x} + 2x} \] Bước 3: Chia cả tử và mẫu cho \( x \): \[ K = \lim_{x \to +\infty} \frac{-2x - 1 + \frac{1}{x} + 2\sqrt{\left(1 + \frac{1}{x^2}\right)\left(1 - \frac{1}{x}\right)}}{\sqrt{1 + \frac{1}{x^2}} + \sqrt{1 - \frac{1}{x}} + 2} \] Bước 4: Tìm giới hạn khi \( x \to +\infty \): \[ K = \frac{-2 - 0 + 0 + 2\sqrt{(1 + 0)(1 - 0)}}{\sqrt{1 + 0} + \sqrt{1 - 0} + 2} \] \[ = \frac{-2 + 2\sqrt{1}}{1 + 1 + 2} \] \[ = \frac{-2 + 2}{4} \] \[ = \frac{0}{4} \] \[ = 0 \] Vậy, giới hạn của biểu thức \( K \) là: \[ \boxed{0} \]