kgxtisururstx

Câu 2. Để ba số \( x - 2 \), \( x + 1 \), \( 3 - x \) lập thành một cấp số nhân, ta cần có: \[ (x + 1)^2 = (x - 2)(3 - x) \] Bước 1: Mở rộng hai vế của phương trình: \[ (x + 1)^2 = x^2 + 2x + 1 \] \[ (x - 2)(3 - x) = 3x - x^2 - 6 + 2x = -x^2 + 5x - 6 \] Bước 2: Đặt hai biểu thức này bằng nhau: \[ x^2 + 2x + 1 = -x^2 + 5x - 6 \] Bước 3: Chuyển tất cả các hạng tử về một vế: \[ x^2 + 2x + 1 + x^2 - 5x + 6 = 0 \] \[ 2x^2 - 3x + 7 = 0 \] Bước 4: Giải phương trình bậc hai: \[ 2x^2 - 3x + 7 = 0 \] Ta tính delta (\( \Delta \)): \[ \Delta = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 7 = 9 - 56 = -47 \] Vì \( \Delta < 0 \), phương trình bậc hai này không có nghiệm thực. Do đó, không có giá trị nào của \( x \) để ba số \( x - 2 \), \( x + 1 \), \( 3 - x \) lập thành một cấp số nhân. Đáp án đúng là: A. Không có giá trị nào của \( x \). Câu 3. Để ba số \(2x - 1\), \(x\), \(2x + 1\) lập thành một cấp số nhân, ta cần có: \[ \frac{x}{2x - 1} = \frac{2x + 1}{x} \] Bước 1: Nhân cả hai vế với \((2x - 1)\) và \(x\) để loại bỏ mẫu số: \[ x^2 = (2x + 1)(2x - 1) \] Bước 2: Thực hiện phép nhân ở vế phải: \[ x^2 = 4x^2 - 1 \] Bước 3: Chuyển tất cả các hạng tử về một vế để tạo phương trình bậc hai: \[ x^2 - 4x^2 + 1 = 0 \] \[ -3x^2 + 1 = 0 \] Bước 4: Giải phương trình bậc hai: \[ -3x^2 + 1 = 0 \] \[ 3x^2 = 1 \] \[ x^2 = \frac{1}{3} \] \[ x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} \] Vậy các giá trị của \(x\) là: \[ x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} \] Đáp án đúng là: C. \( x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} \). Câu 4. Để xác định dãy số nào là cấp số nhân, ta cần kiểm tra tính chất của mỗi dãy số. A. \( u_n = n^2 + n + 1 \) Ta thấy rằng: - \( u_1 = 1^2 + 1 + 1 = 3 \) - \( u_2 = 2^2 + 2 + 1 = 7 \) - \( u_3 = 3^2 + 3 + 1 = 13 \) Tỉ số giữa các số hạng liên tiếp không giống nhau: \[ \frac{u_2}{u_1} = \frac{7}{3} \neq \frac{13}{7} = \frac{u_3}{u_2} \] Do đó, dãy số này không phải là cấp số nhân. B. \( u_n = (n+2) \cdot 3^n \) Ta thấy rằng: - \( u_1 = (1+2) \cdot 3^1 = 9 \) - \( u_2 = (2+2) \cdot 3^2 = 36 \) - \( u_3 = (3+2) \cdot 3^3 = 135 \) Tỉ số giữa các số hạng liên tiếp không giống nhau: \[ \frac{u_2}{u_1} = \frac{36}{9} = 4 \neq \frac{135}{36} = \frac{15}{4} = \frac{u_3}{u_2} \] Do đó, dãy số này không phải là cấp số nhân. C. \( \left\{\begin{array}{l} u_1 = 2 \\ u_{n+1} = \frac{6}{u_n}, \forall n \in \mathbb{N}^ \end{array}\right. \) Ta thấy rằng: - \( u_1 = 2 \) - \( u_2 = \frac{6}{u_1} = \frac{6}{2} = 3 \) - \( u_3 = \frac{6}{u_2} = \frac{6}{3} = 2 \) Tỉ số giữa các số hạng liên tiếp không giống nhau: \[ \frac{u_2}{u_1} = \frac{3}{2} \neq \frac{2}{3} = \frac{u_3}{u_2} \] Do đó, dãy số này không phải là cấp số nhân. D. \( u_n = (-4)^{2n+1} \) Ta thấy rằng: - \( u_1 = (-4)^{2 \cdot 1 + 1} = (-4)^3 = -64 \) - \( u_2 = (-4)^{2 \cdot 2 + 1} = (-4)^5 = -1024 \) - \( u_3 = (-4)^{2 \cdot 3 + 1} = (-4)^7 = -16384 \) Tỉ số giữa các số hạng liên tiếp giống nhau: \[ \frac{u_2}{u_1} = \frac{-1024}{-64} = 16 \] \[ \frac{u_3}{u_2} = \frac{-16384}{-1024} = 16 \] Do đó, dãy số này là cấp số nhân với công bội \( q = 16 \). Vậy đáp án đúng là D. \( u_n = (-4)^{2n+1} \). Câu 5. Để xác định dãy số nào trong các lựa chọn là cấp số nhân, chúng ta cần kiểm tra xem mỗi số hạng của dãy số có thể được viết dưới dạng \( u_{n+1} = q \cdot u_n \) với \( q \) là hằng số không. A. \( \left\{\begin{array}{l}u_1=1\\u_{n+1}=u_n+1, n \geq 1\end{array}\right. \) - Đây là dãy số cộng vì mỗi số hạng sau bằng số hạng trước cộng thêm 1. Không phải là cấp số nhân. B. \( \left\{\begin{array}{l}u_1=-1\\u_{n+1}=-3u_n, n \geq 1\end{array}\right. \) - Đây là dãy số nhân vì mỗi số hạng sau bằng số hạng trước nhân với -3. Đây là cấp số nhân với công bội \( q = -3 \). C. \( \left\{\begin{array}{l}u_1=-2\\u_{n+1}=2u_n+3, n \geq 1\end{array}\right. \) - Đây là dãy số không phải là cấp số cộng cũng không phải là cấp số nhân vì mỗi số hạng sau không chỉ đơn giản là nhân hoặc cộng một hằng số với số hạng trước. D. \( \left\{\begin{array}{l}u_1=\frac{\pi}{2}\\u_n=\sin\left(\frac{\pi}{n-1}\right), n \geq 1\end{array}\right. \) - Đây là dãy số không phải là cấp số nhân vì mỗi số hạng sau không phải là nhân một hằng số với số hạng trước. Vậy, dãy số là cấp số nhân là: B. \( \left\{\begin{array}{l}u_1=-1\\u_{n+1}=-3u_n, n \geq 1\end{array}\right. \) Câu 6. Để xác định dãy số nào không phải là cấp số nhân, ta sẽ kiểm tra từng dãy số theo định nghĩa của cấp số nhân: một dãy số là cấp số nhân nếu mỗi số hạng kể từ số hạng thứ hai trở đi bằng số hạng đứng liền trước nó nhân với một hằng số cố định (gọi là công bội). A. $u_1; u_3; u_5; ...$ - Ta thấy $u_3 = u_1 \cdot q^2$, $u_5 = u_1 \cdot q^4$, ... - Tỉ số giữa hai số hạng liên tiếp là $\frac{u_3}{u_1} = q^2$, $\frac{u_5}{u_3} = q^2$, ... - Vậy dãy này là cấp số nhân với công bội $q^2$. B. $3u_1; 3u_2; 3u_3; ...$ - Ta thấy $3u_2 = 3(u_1 \cdot q)$, $3u_3 = 3(u_1 \cdot q^2)$, ... - Tỉ số giữa hai số hạng liên tiếp là $\frac{3u_2}{3u_1} = q$, $\frac{3u_3}{3u_2} = q$, ... - Vậy dãy này là cấp số nhân với công bội $q$. C. $\frac{1}{u_1}; \frac{1}{u_2}; \frac{1}{u_3}; ...$ - Ta thấy $\frac{1}{u_2} = \frac{1}{u_1 \cdot q}$, $\frac{1}{u_3} = \frac{1}{u_1 \cdot q^2}$, ... - Tỉ số giữa hai số hạng liên tiếp là $\frac{\frac{1}{u_2}}{\frac{1}{u_1}} = \frac{1}{q}$, $\frac{\frac{1}{u_3}}{\frac{1}{u_2}} = \frac{1}{q}$, ... - Vậy dãy này là cấp số nhân với công bội $\frac{1}{q}$. D. $u_1 + 2; u_2 + 2; u_3 + 2; ...$ - Ta thấy $u_2 + 2 = u_1 \cdot q + 2$, $u_3 + 2 = u_1 \cdot q^2 + 2$, ... - Tỉ số giữa hai số hạng liên tiếp là $\frac{u_2 + 2}{u_1 + 2}$ và $\frac{u_3 + 2}{u_2 + 2}$. - Ta thấy rằng $\frac{u_2 + 2}{u_1 + 2} \neq \frac{u_3 + 2}{u_2 + 2}$ vì $u_1 \cdot q + 2$ và $u_1 \cdot q^2 + 2$ không tạo ra một tỉ số cố định. - Vậy dãy này không phải là cấp số nhân. Do đó, dãy số không phải là cấp số nhân là: D. $u_1 + 2; u_2 + 2; u_3 + 2; ...$ Câu 7. Để xác định xem một dãy số có phải là cấp số nhân hay không, ta cần kiểm tra xem thương giữa hai số liên tiếp trong dãy có bằng nhau hay không. A. Dãy số: $128; -64; 32; -16; 8; ...$ - Thương giữa các số liên tiếp: $\frac{-64}{128} = -0,5$ $\frac{32}{-64} = -0,5$ $\frac{-16}{32} = -0,5$ $\frac{8}{-16} = -0,5$ Thương giữa các số liên tiếp đều bằng nhau (-0,5). Vậy dãy số này là cấp số nhân. B. Dãy số: $\sqrt{2}; 2; 4; 4\sqrt{2}; ...$ - Thương giữa các số liên tiếp: $\frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$ $\frac{4}{2} = 2$ $\frac{4\sqrt{2}}{4} = \sqrt{2}$ Thương giữa các số liên tiếp không bằng nhau. Vậy dãy số này không phải là cấp số nhân. C. Dãy số: $5; 6; 7; 8; ...$ - Thương giữa các số liên tiếp: $\frac{6}{5} = 1,2$ $\frac{7}{6} \approx 1,1667$ $\frac{8}{7} \approx 1,1429$ Thương giữa các số liên tiếp không bằng nhau. Vậy dãy số này không phải là cấp số nhân. D. Dãy số: $15; 5; 1; \frac{1}{5}; ...$ - Thương giữa các số liên tiếp: $\frac{5}{15} = \frac{1}{3}$ $\frac{1}{5} = \frac{1}{5}$ $\frac{\frac{1}{5}}{1} = \frac{1}{5}$ Thương giữa các số liên tiếp không bằng nhau. Vậy dãy số này không phải là cấp số nhân. Kết luận: Chỉ có dãy số A là cấp số nhân. Đáp án: A. Câu 8. Để xác định dãy số nào không phải là cấp số nhân, ta cần kiểm tra tính chất của mỗi dãy số. Một dãy số được gọi là cấp số nhân nếu thương giữa hai số liên tiếp là hằng số. A. Dãy số $2, 4, 8, 16, ...$ - Thương giữa hai số liên tiếp: $\frac{4}{2} = 2$, $\frac{8}{4} = 2$, $\frac{16}{8} = 2$ - Thương là hằng số 2, nên đây là cấp số nhân. B. Dãy số $1, -1, 1, -1, ...$ - Thương giữa hai số liên tiếp: $\frac{-1}{1} = -1$, $\frac{1}{-1} = -1$, $\frac{-1}{1} = -1$ - Thương là hằng số -1, nên đây là cấp số nhân. C. Dãy số $1^2, 2^2, 3^2, 4^2, ...$ - Các số hạng của dãy số là: $1, 4, 9, 16, ...$ - Thương giữa hai số liên tiếp: $\frac{4}{1} = 4$, $\frac{9}{4} = 2.25$, $\frac{16}{9} = 1.78$ - Thương không là hằng số, nên đây không phải là cấp số nhân. D. Dãy số $a, a^3, a^5, a^7, ... (a \neq 0)$ - Thương giữa hai số liên tiếp: $\frac{a^3}{a} = a^2$, $\frac{a^5}{a^3} = a^2$, $\frac{a^7}{a^5} = a^2$ - Thương là hằng số $a^2$, nên đây là cấp số nhân. Vậy dãy số không phải là cấp số nhân là dãy số C. Đáp án: C. $1^2, 2^2, 3^2, 4^2, ...$ Câu 9. Để xác định dãy số nào không phải là cấp số nhân, ta cần kiểm tra tính chất của cấp số nhân: mỗi số hạng kể từ số hạng thứ hai trở đi bằng số hạng đứng liền trước nó nhân với một hằng số cố định gọi là công bội. Cụ thể, ta sẽ kiểm tra từng dãy số để xem liệu chúng có thỏa mãn tính chất này hay không. 1. Dãy số \(1, 2, 4, 8, 16, \ldots\) - Số hạng thứ hai: \(2 = 1 \times 2\) - Số hạng thứ ba: \(4 = 2 \times 2\) - Số hạng thứ tư: \(8 = 4 \times 2\) - Số hạng thứ năm: \(16 = 8 \times 2\) Ta thấy rằng mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng liền trước nó nhân với 2. Do đó, đây là cấp số nhân với công bội \(q = 2\). 2. Dãy số \(3, 9, 27, 81, 243, \ldots\) - Số hạng thứ hai: \(9 = 3 \times 3\) - Số hạng thứ ba: \(27 = 9 \times 3\) - Số hạng thứ tư: \(81 = 27 \times 3\) - Số hạng thứ năm: \(243 = 81 \times 3\) Ta thấy rằng mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng liền trước nó nhân với 3. Do đó, đây là cấp số nhân với công bội \(q = 3\). 3. Dãy số \(1, 3, 6, 10, 15, \ldots\) - Số hạng thứ hai: \(3 = 1 + 2\) - Số hạng thứ ba: \(6 = 3 + 3\) - Số hạng thứ tư: \(10 = 6 + 4\) - Số hạng thứ năm: \(15 = 10 + 5\) Ta thấy rằng mỗi số hạng không bằng số hạng đứng liền trước nó nhân với một hằng số cố định. Thay vào đó, mỗi số hạng bằng số hạng đứng liền trước nó cộng với một số tăng dần (2, 3, 4, 5,...). Do đó, đây không phải là cấp số nhân. 4. Dãy số \(2, 6, 18, 54, 162, \ldots\) - Số hạng thứ hai: \(6 = 2 \times 3\) - Số hạng thứ ba: \(18 = 6 \times 3\) - Số hạng thứ tư: \(54 = 18 \times 3\) - Số hạng thứ năm: \(162 = 54 \times 3\) Ta thấy rằng mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng liền trước nó nhân với 3. Do đó, đây là cấp số nhân với công bội \(q = 3\). Từ các phân tích trên, ta kết luận rằng dãy số \(1, 3, 6, 10, 15, \ldots\) không phải là cấp số nhân.