alo hdbwvbwivav

Câu 30. Để xác định số $\frac{1}{4096}$ là số hạng thứ mấy trong cấp số nhân $\frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, ..., \frac{1}{4096}$, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định số hạng đầu tiên và công bội của cấp số nhân: - Số hạng đầu tiên \(a_1 = \frac{1}{2}\) - Công bội \(q = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2}\) 2. Áp dụng công thức số hạng tổng quát của cấp số nhân: \[ a_n = a_1 \cdot q^{n-1} \] Thay \(a_n = \frac{1}{4096}\), \(a_1 = \frac{1}{2}\), và \(q = \frac{1}{2}\): \[ \frac{1}{4096} = \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} \] 3. Đơn giản hóa phương trình: \[ \frac{1}{4096} = \left(\frac{1}{2}\right)^1 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} \] \[ \frac{1}{4096} = \left(\frac{1}{2}\right)^{1 + n - 1} \] \[ \frac{1}{4096} = \left(\frac{1}{2}\right)^n \] 4. Biểu diễn \(\frac{1}{4096}\) dưới dạng lũy thừa của \(\frac{1}{2}\): \[ \frac{1}{4096} = \left(\frac{1}{2}\right)^{12} \] 5. So sánh hai vế để tìm \(n\): \[ \left(\frac{1}{2}\right)^n = \left(\frac{1}{2}\right)^{12} \] Do đó, \(n = 12\). Vậy, số \(\frac{1}{4096}\) là số hạng thứ 12 trong cấp số nhân đã cho. Đáp án đúng là: B. 12 Câu 1: Để tính giá trị của giới hạn $\lim_{n \to \infty} \frac{-3}{4n^2 - 2n + 1}$, ta thực hiện các bước sau: 1. Xét giới hạn của mẫu số: Mẫu số của phân thức là $4n^2 - 2n + 1$. Khi $n$ tiến đến vô cùng ($n \to \infty$), thì $4n^2$ sẽ tăng nhanh hơn tất cả các hạng tử khác trong biểu thức này. Do đó, giới hạn của mẫu số là: \[ \lim_{n \to \infty} (4n^2 - 2n + 1) = \infty \] 2. Tính giới hạn của phân thức: Ta có phân thức $\frac{-3}{4n^2 - 2n + 1}$. Khi mẫu số tiến đến vô cùng, phân số này sẽ tiến đến 0 vì tử số là hằng số (-3) và mẫu số tiến đến vô cùng. Do đó: \[ \lim_{n \to \infty} \frac{-3}{4n^2 - 2n + 1} = 0 \] Vậy giá trị của giới hạn là 0. Đáp án đúng là: C. 0. Câu 2: Để tính giới hạn của biểu thức $\lim_{n \to \infty} \frac{3n^3 - 2n + 1}{4n^4 + 2n + 1}$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Chia cả tử và mẫu cho $n^4$ (vì đây là bậc cao nhất trong mẫu): \[ \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{3n^3 - 2n + 1}{n^4}}{\frac{4n^4 + 2n + 1}{n^4}} \] Bước 2: Rút gọn từng phần tử trong tử và mẫu: \[ = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{3n^3}{n^4} - \frac{2n}{n^4} + \frac{1}{n^4}}{\frac{4n^4}{n^4} + \frac{2n}{n^4} + \frac{1}{n^4}} \] \[ = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{3}{n} - \frac{2}{n^3} + \frac{1}{n^4}}{4 + \frac{2}{n^3} + \frac{1}{n^4}} \] Bước 3: Tính giới hạn từng phần tử khi $n \to \infty$: \[ = \frac{\lim_{n \to \infty} \left( \frac{3}{n} \right) - \lim_{n \to \infty} \left( \frac{2}{n^3} \right) + \lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{n^4} \right)}{\lim_{n \to \infty} 4 + \lim_{n \to \infty} \left( \frac{2}{n^3} \right) + \lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{n^4} \right)} \] \[ = \frac{0 - 0 + 0}{4 + 0 + 0} \] \[ = \frac{0}{4} = 0 \] Vậy giá trị của giới hạn là 0. Đáp án đúng là: B. 0. Câu 3: Để tính giới hạn của $\frac{v_n}{u_n}$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Viết lại biểu thức $\frac{v_n}{u_n}$: \[ \frac{v_n}{u_n} = \frac{\frac{2}{n+2}}{\frac{1}{n+1}} = \frac{2}{n+2} \cdot \frac{n+1}{1} = \frac{2(n+1)}{n+2} \] Bước 2: Tính giới hạn của biểu thức trên khi $n$ tiến đến vô cùng: \[ \lim_{n \to \infty} \frac{2(n+1)}{n+2} = \lim_{n \to \infty} \frac{2n + 2}{n + 2} \] Bước 3: Chia cả tử và mẫu cho $n$ để dễ dàng tính giới hạn: \[ \lim_{n \to \infty} \frac{2n + 2}{n + 2} = \lim_{n \to \infty} \frac{2 + \frac{2}{n}}{1 + \frac{2}{n}} \] Bước 4: Tính giới hạn của từng phần tử trong biểu thức: \[ \lim_{n \to \infty} \left(2 + \frac{2}{n}\right) = 2 + 0 = 2 \] \[ \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{2}{n}\right) = 1 + 0 = 1 \] Bước 5: Kết hợp các kết quả trên để tìm giới hạn cuối cùng: \[ \lim_{n \to \infty} \frac{2 + \frac{2}{n}}{1 + \frac{2}{n}} = \frac{2}{1} = 2 \] Vậy $\lim_{n \to \infty} \frac{v_n}{u_n} = 2$. Đáp án đúng là B. 2. Câu 4: Để dãy số $(u_n)$ có giới hạn bằng 2, ta cần tìm giá trị của $a$ sao cho $\lim_{n \to \infty} u_n = 2$. Ta có: \[ u_n = \frac{an + 4}{5n + 3} \] Ta chia cả tử và mẫu cho $n$: \[ u_n = \frac{a + \frac{4}{n}}{5 + \frac{3}{n}} \] Khi $n \to \infty$, các phân số $\frac{4}{n}$ và $\frac{3}{n}$ sẽ tiến đến 0. Do đó: \[ \lim_{n \to \infty} u_n = \frac{a + 0}{5 + 0} = \frac{a}{5} \] Theo đề bài, giới hạn này phải bằng 2: \[ \frac{a}{5} = 2 \] Giải phương trình này để tìm $a$: \[ a = 2 \times 5 = 10 \] Vậy giá trị của $a$ là $10$. Đáp án đúng là: A. $a = 10$. Câu 5: Để tính giới hạn \( L = \lim_{n \to \infty} \frac{n^2 + n + 5}{2n^2 + 1} \), ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Chia cả tử và mẫu cho \( n^2 \): \[ L = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n^2 + n + 5}{n^2}}{\frac{2n^2 + 1}{n^2}} = \lim_{n \to \infty} \frac{1 + \frac{1}{n} + \frac{5}{n^2}}{2 + \frac{1}{n^2}} \] Bước 2: Tính giới hạn của từng thành phần trong biểu thức: - \( \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0 \) - \( \lim_{n \to \infty} \frac{5}{n^2} = 0 \) - \( \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2} = 0 \) Bước 3: Thay các giới hạn này vào biểu thức: \[ L = \frac{1 + 0 + 0}{2 + 0} = \frac{1}{2} \] Vậy, giới hạn \( L = \frac{1}{2} \). Đáp án đúng là: B. \( L = \frac{1}{2} \). Câu 6: Để tính giới hạn \( L = \lim_{n \to \infty} \frac{n^2 - 3n^3}{2n^3 + 5n - 2} \), ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Chia cả tử và mẫu cho \( n^3 \) (vì \( n^3 \) là bậc cao nhất trong cả tử và mẫu). \[ L = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n^2}{n^3} - \frac{3n^3}{n^3}}{\frac{2n^3}{n^3} + \frac{5n}{n^3} - \frac{2}{n^3}} \] Bước 2: Rút gọn các phân số. \[ L = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{n} - 3}{2 + \frac{5}{n^2} - \frac{2}{n^3}} \] Bước 3: Tính giới hạn của từng thành phần khi \( n \to \infty \). \[ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0, \quad \lim_{n \to \infty} \frac{5}{n^2} = 0, \quad \lim_{n \to \infty} \frac{2}{n^3} = 0 \] Do đó: \[ L = \frac{0 - 3}{2 + 0 - 0} = \frac{-3}{2} = -\frac{3}{2} \] Vậy đáp án đúng là: A. \( L = -\frac{3}{2} \). Câu 9: Để tính giới hạn của biểu thức $\lim_{n \to \infty} \frac{n^3 - 2n}{1 - 3n^2}$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Chia cả tử số và mẫu số cho $n^3$ để dễ dàng nhận biết hành vi của biểu thức khi $n$ tiến đến vô cùng. \[ \lim_{n \to \infty} \frac{n^3 - 2n}{1 - 3n^2} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n^3}{n^3} - \frac{2n}{n^3}}{\frac{1}{n^3} - \frac{3n^2}{n^3}} \] Bước 2: Rút gọn các phân số trong biểu thức. \[ = \lim_{n \to \infty} \frac{1 - \frac{2}{n^2}}{\frac{1}{n^3} - \frac{3}{n}} \] Bước 3: Xét giới hạn của từng thành phần khi $n$ tiến đến vô cùng. \[ = \frac{\lim_{n \to \infty} \left(1 - \frac{2}{n^2}\right)}{\lim_{n \to \infty} \left(\frac{1}{n^3} - \frac{3}{n}\right)} \] Khi $n$ tiến đến vô cùng: - $\frac{2}{n^2}$ tiến đến 0. - $\frac{1}{n^3}$ tiến đến 0. - $\frac{3}{n}$ tiến đến 0. Do đó: \[ = \frac{1 - 0}{0 - 0} \] Bước 4: Nhận thấy rằng mẫu số tiến đến 0 và tử số tiến đến 1, nhưng mẫu số tiến đến 0 từ phía âm (vì $\frac{1}{n^3}$ và $\frac{3}{n}$ đều tiến đến 0 từ phía âm). \[ = \frac{1}{0^-} = -\infty \] Vậy, giới hạn của biểu thức $\lim_{n \to \infty} \frac{n^3 - 2n}{1 - 3n^2}$ là $-\infty$. Đáp án đúng là: C. $-\infty$. Câu 10: Để tính giới hạn của biểu thức $\lim_{n \to \infty} \frac{2n + 3n^3}{4n^2 + 2n + 1}$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Chia cả tử và mẫu cho $n^3$ (vì $n^3$ là lũy thừa cao nhất trong biểu thức): \[ \lim_{n \to \infty} \frac{2n + 3n^3}{4n^2 + 2n + 1} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2n}{n^3} + \frac{3n^3}{n^3}}{\frac{4n^2}{n^3} + \frac{2n}{n^3} + \frac{1}{n^3}} \] Bước 2: Rút gọn các phân số: \[ = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2}{n^2} + 3}{\frac{4}{n} + \frac{2}{n^2} + \frac{1}{n^3}} \] Bước 3: Tính giới hạn của từng phân số khi $n \to \infty$: - $\lim_{n \to \infty} \frac{2}{n^2} = 0$ - $\lim_{n \to \infty} \frac{4}{n} = 0$ - $\lim_{n \to \infty} \frac{2}{n^2} = 0$ - $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^3} = 0$ Do đó: \[ = \frac{0 + 3}{0 + 0 + 0} = \frac{3}{0} \] Khi một số dương chia cho 0, kết quả là $+\infty$. Vậy: \[ \lim_{n \to \infty} \frac{2n + 3n^3}{4n^2 + 2n + 1} = +\infty \] Đáp án đúng là: B. $+\infty$. Câu 11: Để tính giới hạn của biểu thức $\lim_{n \to \infty} \frac{3n - n^4}{4n - 5}$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Chia cả tử số và mẫu số cho $n^4$ (vì $n^4$ là lũy thừa cao nhất trong biểu thức): \[ \lim_{n \to \infty} \frac{3n - n^4}{4n - 5} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{3n}{n^4} - \frac{n^4}{n^4}}{\frac{4n}{n^4} - \frac{5}{n^4}} \] Bước 2: Rút gọn các phân số: \[ = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{3}{n^3} - 1}{\frac{4}{n^3} - \frac{5}{n^4}} \] Bước 3: Tính giới hạn của từng phần tử trong biểu thức: \[ = \frac{\lim_{n \to \infty} \left( \frac{3}{n^3} \right) - \lim_{n \to \infty} 1}{\lim_{n \to \infty} \left( \frac{4}{n^3} \right) - \lim_{n \to \infty} \left( \frac{5}{n^4} \right)} \] Khi $n \to \infty$, ta có: \[ \lim_{n \to \infty} \frac{3}{n^3} = 0, \quad \lim_{n \to \infty} \frac{4}{n^3} = 0, \quad \lim_{n \to \infty} \frac{5}{n^4} = 0 \] Do đó: \[ = \frac{0 - 1}{0 - 0} = \frac{-1}{0} \] Khi chia một số khác 0 cho 0, kết quả là $-\infty$. Vậy: \[ \lim_{n \to \infty} \frac{3n - n^4}{4n - 5} = -\infty \] Đáp án đúng là: C. $-\infty$. Câu 12: Để xác định giới hạn nào trong các giới hạn sau bằng 0, chúng ta sẽ xét từng giới hạn một cách chi tiết. Giả sử chúng ta có các giới hạn sau: 1. $\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}$ 2. $\lim_{x \to 0} x^2$ 3. $\lim_{x \to \infty} e^{-x}$ 4. $\lim_{x \to 0} \sin(x)$ Bây giờ, chúng ta sẽ xét từng giới hạn một: 1. $\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}$: - Khi $x$ tiến đến vô cùng ($\infty$), $\frac{1}{x}$ sẽ tiến đến 0. - Do đó, $\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0$. 2. $\lim_{x \to 0} x^2$: - Khi $x$ tiến đến 0, $x^2$ cũng tiến đến 0. - Do đó, $\lim_{x \to 0} x^2 = 0$. 3. $\lim_{x \to \infty} e^{-x}$: - Khi $x$ tiến đến vô cùng ($\infty$), $e^{-x}$ sẽ tiến đến 0. - Do đó, $\lim_{x \to \infty} e^{-x} = 0$. 4. $\lim_{x \to 0} \sin(x)$: - Khi $x$ tiến đến 0, $\sin(x)$ cũng tiến đến 0. - Do đó, $\lim_{x \to 0} \sin(x) = 0$. Như vậy, tất cả các giới hạn trên đều bằng 0.