ncgkxktđbzbz

Câu 10. Cấp số nhân $(u_n)$ với $u_1 = -2$ và $q = -5$. Ta sẽ tính bốn số hạng đầu tiên của cấp số nhân này. - Số hạng thứ nhất: $u_1 = -2$ - Số hạng thứ hai: $u_2 = u_1 \times q = -2 \times (-5) = 10$ - Số hạng thứ ba: $u_3 = u_2 \times q = 10 \times (-5) = -50$ - Số hạng thứ tư: $u_4 = u_3 \times q = -50 \times (-5) = 250$ Vậy bốn số hạng đầu tiên của cấp số nhân là: $-2, 10, -50, 250$. Do đó, đáp án đúng là: B. $-2; 10; -50; 250.$ Câu 11. Để xác định dãy số nào là cấp số nhân, ta cần kiểm tra tính chất của cấp số nhân: thương giữa hai số liên tiếp là hằng số. A. \( u_n = \frac{1}{3^{n-2}} \) Ta tính thương giữa hai số hạng liên tiếp: \[ \frac{u_{n+1}}{u_n} = \frac{\frac{1}{3^{(n+1)-2}}}{\frac{1}{3^{n-2}}} = \frac{\frac{1}{3^{n-1}}}{\frac{1}{3^{n-2}}} = \frac{1}{3^{n-1}} \cdot \frac{3^{n-2}}{1} = \frac{3^{n-2}}{3^{n-1}} = \frac{1}{3} \] Thương là hằng số \(\frac{1}{3}\), nên dãy số này là cấp số nhân. B. \( u_n = \frac{1}{3^n} - 1 \) Ta tính thương giữa hai số hạng liên tiếp: \[ \frac{u_{n+1}}{u_n} = \frac{\left(\frac{1}{3^{n+1}} - 1\right)}{\left(\frac{1}{3^n} - 1\right)} \] Thương này không phải là hằng số, nên dãy số này không phải là cấp số nhân. C. \( u_n = n + \frac{1}{3} \) Ta tính thương giữa hai số hạng liên tiếp: \[ \frac{u_{n+1}}{u_n} = \frac{(n+1) + \frac{1}{3}}{n + \frac{1}{3}} = \frac{n + 1 + \frac{1}{3}}{n + \frac{1}{3}} = \frac{n + \frac{4}{3}}{n + \frac{1}{3}} \] Thương này không phải là hằng số, nên dãy số này không phải là cấp số nhân. D. \( u_n = n^2 - \frac{1}{3} \) Ta tính thương giữa hai số hạng liên tiếp: \[ \frac{u_{n+1}}{u_n} = \frac{(n+1)^2 - \frac{1}{3}}{n^2 - \frac{1}{3}} = \frac{n^2 + 2n + 1 - \frac{1}{3}}{n^2 - \frac{1}{3}} = \frac{n^2 + 2n + \frac{2}{3}}{n^2 - \frac{1}{3}} \] Thương này không phải là hằng số, nên dãy số này không phải là cấp số nhân. Kết luận: Dãy số \( u_n = \frac{1}{3^{n-2}} \) là cấp số nhân. Đáp án đúng là: A. \( u_n = \frac{1}{3^{n-2}} \) Câu 12. Để xác định dãy số nào là cấp số nhân, ta cần kiểm tra tính chất của cấp số nhân: thương giữa hai số liên tiếp là hằng số. A. $u_n = 7 - 3n$ Ta tính thương giữa hai số liên tiếp: \[ \frac{u_{n+1}}{u_n} = \frac{7 - 3(n+1)}{7 - 3n} = \frac{7 - 3n - 3}{7 - 3n} = \frac{4 - 3n}{7 - 3n} \] Thương này không là hằng số, do đó dãy số này không phải là cấp số nhân. B. $u_n = 7 - 3^n$ Ta tính thương giữa hai số liên tiếp: \[ \frac{u_{n+1}}{u_n} = \frac{7 - 3^{n+1}}{7 - 3^n} = \frac{7 - 3 \cdot 3^n}{7 - 3^n} \] Thương này cũng không là hằng số, do đó dãy số này không phải là cấp số nhân. C. $u_n = \frac{7}{3n}$ Ta tính thương giữa hai số liên tiếp: \[ \frac{u_{n+1}}{u_n} = \frac{\frac{7}{3(n+1)}}{\frac{7}{3n}} = \frac{7}{3(n+1)} \cdot \frac{3n}{7} = \frac{n}{n+1} \] Thương này không là hằng số, do đó dãy số này không phải là cấp số nhân. D. $u_n = 7 \cdot 3^n$ Ta tính thương giữa hai số liên tiếp: \[ \frac{u_{n+1}}{u_n} = \frac{7 \cdot 3^{n+1}}{7 \cdot 3^n} = \frac{7 \cdot 3 \cdot 3^n}{7 \cdot 3^n} = 3 \] Thương này là hằng số 3, do đó dãy số này là cấp số nhân. Vậy dãy số là cấp số nhân là dãy số D. $u_n = 7 \cdot 3^n$. Câu 13. A. Dãy số có tất cả các số hạng bằng nhau là một cấp số nhân. - Phát biểu này đúng vì trong một cấp số nhân, mỗi số hạng sau bằng số hạng trước nhân với một hằng số (lời tỷ). Nếu tất cả các số hạng đều bằng nhau, ta có thể coi đó là một cấp số nhân với lời tỷ bằng 1. B. Dãy số có tất cả các số hạng bằng nhau là một cấp số cộng. - Phát biểu này cũng đúng vì trong một cấp số cộng, mỗi số hạng sau bằng số hạng trước cộng với một hằng số (công sai). Nếu tất cả các số hạng đều bằng nhau, ta có thể coi đó là một cấp số cộng với công sai bằng 0. C. Một cấp số cộng có công sai dương là một dãy số tăng. - Phát biểu này đúng vì nếu công sai dương, mỗi số hạng sau sẽ lớn hơn số hạng trước, do đó dãy số sẽ tăng dần. D. Một cấp số cộng có công sai dương là một dãy số dương. - Phát biểu này sai vì chỉ cần công sai dương thì dãy số sẽ tăng dần, nhưng không có nghĩa là tất cả các số hạng đều dương. Ví dụ, dãy số -5, -3, -1, 1, 3,... là một cấp số cộng có công sai dương nhưng không phải là dãy số dương. Vậy phát biểu sai là: D. Một cấp số cộng có công sai dương là một dãy số dương. Câu 14. Để xác định xem mỗi dãy số có phải là cấp số nhân hay không, ta cần kiểm tra xem tỉ số giữa hai số hạng liên tiếp có là hằng số không. A. \( u_n = (-1)^n n \) Ta tính tỉ số giữa hai số hạng liên tiếp: \[ \frac{u_{n+1}}{u_n} = \frac{(-1)^{n+1}(n+1)}{(-1)^n n} = \frac{(-1)(-1)^n(n+1)}{(-1)^n n} = \frac{-(n+1)}{n} = -\left(1 + \frac{1}{n}\right) \] Tỉ số này không là hằng số vì nó phụ thuộc vào \( n \). Do đó, dãy số này không phải là cấp số nhân. B. \( u_n = n^2 \) Ta tính tỉ số giữa hai số hạng liên tiếp: \[ \frac{u_{n+1}}{u_n} = \frac{(n+1)^2}{n^2} = \frac{n^2 + 2n + 1}{n^2} = 1 + \frac{2}{n} + \frac{1}{n^2} \] Tỉ số này không là hằng số vì nó phụ thuộc vào \( n \). Do đó, dãy số này không phải là cấp số nhân. C. \( u_n = 2^n \) Ta tính tỉ số giữa hai số hạng liên tiếp: \[ \frac{u_{n+1}}{u_n} = \frac{2^{n+1}}{2^n} = 2 \] Tỉ số này là hằng số 2. Do đó, dãy số này là cấp số nhân. D. \( u_n = \frac{n}{3^n} \) Ta tính tỉ số giữa hai số hạng liên tiếp: \[ \frac{u_{n+1}}{u_n} = \frac{\frac{n+1}{3^{n+1}}}{\frac{n}{3^n}} = \frac{(n+1)3^n}{n3^{n+1}} = \frac{n+1}{3n} \] Tỉ số này không là hằng số vì nó phụ thuộc vào \( n \). Do đó, dãy số này không phải là cấp số nhân. Kết luận: Dãy số \( u_n = 2^n \) là cấp số nhân. Đáp án đúng là: C. \( u_n = 2^n \) Câu 15. Để ba số \(2x - 3\), \(x\), \(2x + 3\) lập thành cấp số nhân, ta cần có: \[ x^2 = (2x - 3)(2x + 3) \] Bước 1: Tính tích hai vế: \[ x^2 = (2x - 3)(2x + 3) \] \[ x^2 = 4x^2 - 9 \] Bước 2: Chuyển tất cả về một vế: \[ x^2 - 4x^2 + 9 = 0 \] \[ -3x^2 + 9 = 0 \] Bước 3: Giải phương trình bậc hai: \[ -3x^2 + 9 = 0 \] \[ -3x^2 = -9 \] \[ x^2 = 3 \] \[ x = \sqrt{3} \text{ hoặc } x = -\sqrt{3} \] Bước 4: Kiểm tra điều kiện \(x > 0\): \[ x = \sqrt{3} \text{ (thỏa mãn)} \] \[ x = -\sqrt{3} \text{ (không thỏa mãn vì } x > 0) \] Vậy giá trị của \(x\) là: \[ x = \sqrt{3} \] Đáp án đúng là: B. \(x = \sqrt{3}\). Câu 16. Để các số 2, 8, x, 128 theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân, ta cần tìm x sao cho tỷ số giữa hai số liên tiếp là hằng số. Gọi tỷ số chung của cấp số nhân này là q. Ta có: \[ 8 = 2 \times q \] \[ q = \frac{8}{2} = 4 \] Tiếp theo, ta kiểm tra x: \[ x = 8 \times q = 8 \times 4 = 32 \] Cuối cùng, ta kiểm tra lại: \[ 128 = x \times q = 32 \times 4 = 128 \] Như vậy, các số 2, 8, 32, 128 lập thành một cấp số nhân với tỷ số chung là 4. Đáp án đúng là: B. \( x = 32 \). Câu 17. Để ba số $-4; x; -9$ lập thành một cấp số nhân, ta cần có: \[ x^2 = (-4) \times (-9) \] Tính: \[ x^2 = 36 \] Giải phương trình này: \[ x = \pm 6 \] Do đó, các giá trị của \( x \) có thể là \( x = 6 \) hoặc \( x = -6 \). Trong các đáp án đã cho, chỉ có \( x = 6 \) là đúng. Vậy đáp án đúng là: C. \( x = 6 \). Câu 18. Để ba số $\frac{1}{\sqrt{2}}$, $\sqrt{b}$, $\sqrt{2}$ lập thành một cấp số nhân, ta cần có: \[ \left(\sqrt{b}\right)^2 = \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) \cdot \left(\sqrt{2}\right) \] Bước 1: Tính bình phương của $\sqrt{b}$: \[ \left(\sqrt{b}\right)^2 = b \] Bước 2: Tính tích của $\frac{1}{\sqrt{2}}$ và $\sqrt{2}$: \[ \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) \cdot \left(\sqrt{2}\right) = \frac{1 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 1 \] Bước 3: Đặt hai biểu thức này bằng nhau: \[ b = 1 \] Vậy, giá trị của $b$ là $1$. Do đó, đáp án đúng là: B. $b = 1$. Câu 19. Để ba số \(1 + x\), \(9 + x\), \(33 + x\) lập thành một cấp số nhân, ta cần có: \[ (9 + x)^2 = (1 + x)(33 + x) \] Bước 1: Mở rộng hai vế của phương trình: \[ (9 + x)^2 = 81 + 18x + x^2 \] \[ (1 + x)(33 + x) = 33 + x + 33x + x^2 = 33 + 34x + x^2 \] Bước 2: Đặt hai biểu thức này bằng nhau: \[ 81 + 18x + x^2 = 33 + 34x + x^2 \] Bước 3: Chuyển tất cả các hạng tử sang một vế: \[ 81 + 18x + x^2 - 33 - 34x - x^2 = 0 \] \[ 48 - 16x = 0 \] Bước 4: Giải phương trình: \[ 48 = 16x \] \[ x = \frac{48}{16} \] \[ x = 3 \] Vậy, giá trị của \( x \) để ba số \(1 + x\), \(9 + x\), \(33 + x\) lập thành một cấp số nhân là \( x = 3 \). Đáp án đúng là: B. \( x = 3 \).