hahajqvacfsw

Câu 46: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ áp dụng công thức tính tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn và tổng của ba số hạng đầu tiên của cấp số nhân. Bước 1: Xác định công thức tổng của cấp số nhân lùi vô hạn. Tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn được tính theo công thức: \[ S = \frac{u_1}{1 - q} \] Trong đó, \( u_1 \) là số hạng đầu tiên và \( q \) là công bội của cấp số nhân. Bước 2: Áp dụng công thức vào bài toán. Theo đề bài, tổng của cấp số nhân lùi vô hạn là 2: \[ \frac{u_1}{1 - q} = 2 \] Bước 3: Xác định công thức tổng của ba số hạng đầu tiên của cấp số nhân. Tổng của ba số hạng đầu tiên của cấp số nhân được tính theo công thức: \[ S_3 = u_1 + u_1q + u_1q^2 \] Theo đề bài, tổng của ba số hạng đầu tiên là \(\frac{9}{4}\): \[ u_1 + u_1q + u_1q^2 = \frac{9}{4} \] Bước 4: Giải hệ phương trình. Ta có hai phương trình: \[ \frac{u_1}{1 - q} = 2 \] \[ u_1 + u_1q + u_1q^2 = \frac{9}{4} \] Từ phương trình thứ nhất, ta có: \[ u_1 = 2(1 - q) \] Thay \( u_1 = 2(1 - q) \) vào phương trình thứ hai: \[ 2(1 - q) + 2(1 - q)q + 2(1 - q)q^2 = \frac{9}{4} \] \[ 2(1 - q) + 2q(1 - q) + 2q^2(1 - q) = \frac{9}{4} \] \[ 2 - 2q + 2q - 2q^2 + 2q^2 - 2q^3 = \frac{9}{4} \] \[ 2 - 2q^3 = \frac{9}{4} \] \[ 2 - \frac{9}{4} = 2q^3 \] \[ \frac{8}{4} - \frac{9}{4} = 2q^3 \] \[ -\frac{1}{4} = 2q^3 \] \[ q^3 = -\frac{1}{8} \] \[ q = -\frac{1}{2} \] Bước 5: Tìm số hạng đầu \( u_1 \). Thay \( q = -\frac{1}{2} \) vào phương trình \( u_1 = 2(1 - q) \): \[ u_1 = 2 \left(1 - \left(-\frac{1}{2}\right)\right) \] \[ u_1 = 2 \left(1 + \frac{1}{2}\right) \] \[ u_1 = 2 \times \frac{3}{2} \] \[ u_1 = 3 \] Vậy số hạng đầu \( u_1 \) của cấp số nhân đó là \( 3 \). Đáp án đúng là: A. \( u_1 = 3 \). Câu 47: Để tính tổng của dãy số \( S = 9 + 3 + 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{9} + ... + \frac{1}{3^{n-3}} + ... \), ta nhận thấy đây là một dãy số vô hạn với tỷ số công bội \( q = \frac{1}{3} \). Công thức tính tổng của một dãy số vô hạn với \( |q| < 1 \) là: \[ S = \frac{a}{1 - q} \] Trong đó: - \( a \) là số hạng đầu tiên của dãy. - \( q \) là tỷ số công bội. Áp dụng vào bài toán: - Số hạng đầu tiên \( a = 9 \) - Tỷ số công bội \( q = \frac{1}{3} \) Thay vào công thức: \[ S = \frac{9}{1 - \frac{1}{3}} \] Rút gọn mẫu số: \[ S = \frac{9}{\frac{2}{3}} \] Chia phân số: \[ S = 9 \times \frac{3}{2} = \frac{27}{2} \] Vậy tổng của dãy số là: \[ S = \frac{27}{2} \] Đáp án đúng là: A. \( S = \frac{27}{2} \). Câu 48: Để tính tổng \( S = \sqrt{2} \left(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \ldots + \frac{1}{2^n} + \ldots \right) \), ta nhận thấy rằng biểu thức trong ngoặc đơn là một dãy số vô hạn với mỗi số hạng là một nửa của số hạng trước đó. Đây là một dãy số hình học với công bội \( q = \frac{1}{2} \). Công thức tính tổng của một dãy số hình học vô hạn là: \[ S_{\text{dãy}} = \frac{a}{1 - q} \] trong đó \( a \) là số hạng đầu tiên và \( q \) là công bội. Trong trường hợp này: - Số hạng đầu tiên \( a = 1 \) - Công bội \( q = \frac{1}{2} \) Áp dụng công thức trên, ta có: \[ S_{\text{dãy}} = \frac{1}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2 \] Do đó, tổng ban đầu sẽ là: \[ S = \sqrt{2} \times 2 = 2\sqrt{2} \] Vậy đáp án đúng là: C. \( S = 2\sqrt{2} \). Câu 49: Để tính tổng của dãy số \( S = 1 + \frac{2}{3} + \frac{4}{9} + ... + \frac{2^n}{3^n} + ... \), ta nhận thấy đây là một dãy số vô hạn và mỗi số hạng tiếp theo là một phần ba của số hạng trước đó nhân với 2. Ta có thể viết lại dãy số này dưới dạng: \[ S = 1 + \frac{2}{3} + \left(\frac{2}{3}\right)^2 + \left(\frac{2}{3}\right)^3 + ... \] Nhận thấy đây là một dãy số lũy thừa với công bội \( q = \frac{2}{3} \). Ta biết rằng tổng của một dãy số lũy thừa vô hạn với \( |q| < 1 \) là: \[ S = \frac{a}{1 - q} \] trong đó \( a \) là số hạng đầu tiên của dãy số và \( q \) là công bội. Trong trường hợp này, \( a = 1 \) và \( q = \frac{2}{3} \). Áp dụng công thức trên, ta có: \[ S = \frac{1}{1 - \frac{2}{3}} = \frac{1}{\frac{1}{3}} = 3 \] Vậy tổng của dãy số là: \[ S = 3 \] Đáp án đúng là: A. \( S = 3 \). Câu 50: Để tính tổng của cấp số nhân vô hạn $\frac{1}{2}, -\frac{1}{6}, \frac{1}{18}, ..., \frac{(-1)^{n+1}}{2 \cdot 3^{n-1}}, ...$, ta làm như sau: Bước 1: Xác định số hạng đầu tiên ($u_1$) và công bội ($q$) của cấp số nhân vô hạn. Số hạng đầu tiên là: \[ u_1 = \frac{1}{2} \] Công bội là: \[ q = \frac{-\frac{1}{6}}{\frac{1}{2}} = -\frac{1}{3} \] Bước 2: Kiểm tra điều kiện để cấp số nhân vô hạn có tổng. Điều kiện để cấp số nhân vô hạn có tổng là $|q| < 1$. Trong trường hợp này: \[ |-\frac{1}{3}| = \frac{1}{3} < 1 \] Do đó, cấp số nhân vô hạn này có tổng. Bước 3: Tính tổng của cấp số nhân vô hạn. Công thức tính tổng của cấp số nhân vô hạn là: \[ S = \frac{u_1}{1 - q} \] Áp dụng vào bài toán: \[ S = \frac{\frac{1}{2}}{1 - (-\frac{1}{3})} = \frac{\frac{1}{2}}{1 + \frac{1}{3}} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{4}{3}} = \frac{1}{2} \times \frac{3}{4} = \frac{3}{8} \] Vậy tổng của cấp số nhân vô hạn là: \[ \boxed{\frac{3}{8}} \] Đáp án đúng là: D. $\frac{3}{8}$. Câu 51: Để tính tổng \( S = \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) + \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right) + \cdots + \left( \frac{1}{2^n} - \frac{1}{3^n} \right) + \cdots \), ta nhận thấy đây là tổng của một dãy vô hạn các số hạng, mỗi số hạng có dạng \( \left( \frac{1}{2^n} - \frac{1}{3^n} \right) \). Ta có thể tách tổng này thành hai tổng riêng biệt: \[ S = \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{1}{2^n} - \frac{1}{3^n} \right) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n} - \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{3^n}. \] Bây giờ, ta sẽ tính từng tổng riêng biệt. 1. Tính tổng \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n} \): \[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n} = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \cdots \] Đây là một cấp số nhân với số hạng đầu tiên \( a = \frac{1}{2} \) và công bội \( r = \frac{1}{2} \). Tổng của một cấp số nhân vô hạn là: \[ \sum_{n=0}^{\infty} ar^n = \frac{a}{1-r}, \text{ với } |r| < 1. \] Áp dụng vào bài toán: \[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n} = \frac{\frac{1}{2}}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}} = 1. \] 2. Tính tổng \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{3^n} \): \[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{3^n} = \frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \frac{1}{27} + \cdots \] Đây cũng là một cấp số nhân với số hạng đầu tiên \( a = \frac{1}{3} \) và công bội \( r = \frac{1}{3} \). Tổng của một cấp số nhân vô hạn là: \[ \sum_{n=0}^{\infty} ar^n = \frac{a}{1-r}, \text{ với } |r| < 1. \] Áp dụng vào bài toán: \[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{3^n} = \frac{\frac{1}{3}}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{2}{3}} = \frac{1}{2}. \] Cuối cùng, ta cộng hai tổng này lại: \[ S = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}. \] Vậy đáp án đúng là: \[ \boxed{\frac{1}{2}}. \]