🤫🤫🤫🤫🤫🤫

Câu 29. Để tìm giới hạn của biểu thức \( A = \lim_{x \to +\infty} (\sqrt{x^2 + x + 1} - \sqrt[3]{2x^3 + x - 1}) \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Xét giới hạn của mỗi thành phần trong biểu thức. - Ta xét giới hạn của \(\sqrt{x^2 + x + 1}\): \[ \lim_{x \to +\infty} \sqrt{x^2 + x + 1} = \lim_{x \to +\infty} \sqrt{x^2(1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2})} = \lim_{x \to +\infty} |x| \sqrt{1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}} = +\infty \] - Ta xét giới hạn của \(\sqrt[3]{2x^3 + x - 1}\): \[ \lim_{x \to +\infty} \sqrt[3]{2x^3 + x - 1} = \lim_{x \to +\infty} \sqrt[3]{x^3(2 + \frac{1}{x^2} - \frac{1}{x^3})} = \lim_{x \to +\infty} |x| \sqrt[3]{2 + \frac{1}{x^2} - \frac{1}{x^3}} = +\infty \] Bước 2: Ta thấy cả hai giới hạn đều tiến đến \(+\infty\). Để tìm giới hạn của hiệu này, ta sẽ làm thêm các phép biến đổi để đơn giản hóa biểu thức. Bước 3: Nhân lượng liên hợp để đơn giản hóa biểu thức: \[ \sqrt{x^2 + x + 1} - \sqrt[3]{2x^3 + x - 1} = \left( \sqrt{x^2 + x + 1} - \sqrt[3]{2x^3 + x - 1} \right) \cdot \frac{\sqrt{x^2 + x + 1} + \sqrt[3]{2x^3 + x - 1}}{\sqrt{x^2 + x + 1} + \sqrt[3]{2x^3 + x - 1}} \] Bước 4: Ta có: \[ \sqrt{x^2 + x + 1} - \sqrt[3]{2x^3 + x - 1} = \frac{(x^2 + x + 1) - (2x^3 + x - 1)}{\sqrt{x^2 + x + 1} + \sqrt[3]{2x^3 + x - 1}} \] Bước 5: Tính tử số: \[ (x^2 + x + 1) - (2x^3 + x - 1) = x^2 + x + 1 - 2x^3 - x + 1 = -2x^3 + x^2 + 2 \] Bước 6: Biến đổi biểu thức: \[ \sqrt{x^2 + x + 1} - \sqrt[3]{2x^3 + x - 1} = \frac{-2x^3 + x^2 + 2}{\sqrt{x^2 + x + 1} + \sqrt[3]{2x^3 + x - 1}} \] Bước 7: Chia cả tử và mẫu cho \(x^3\): \[ \frac{-2x^3 + x^2 + 2}{\sqrt{x^2 + x + 1} + \sqrt[3]{2x^3 + x - 1}} = \frac{-2 + \frac{1}{x} + \frac{2}{x^3}}{\frac{\sqrt{x^2 + x + 1}}{x} + \frac{\sqrt[3]{2x^3 + x - 1}}{x}} \] Bước 8: Tính giới hạn của từng thành phần: \[ \lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{x^2 + x + 1}}{x} = \lim_{x \to +\infty} \sqrt{1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}} = 1 \] \[ \lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt[3]{2x^3 + x - 1}}{x} = \lim_{x \to +\infty} \sqrt[3]{2 + \frac{1}{x^2} - \frac{1}{x^3}} = \sqrt[3]{2} \] Bước 9: Kết hợp lại: \[ \lim_{x \to +\infty} \frac{-2 + \frac{1}{x} + \frac{2}{x^3}}{1 + \sqrt[3]{2}} = \frac{-2 + 0 + 0}{1 + \sqrt[3]{2}} = \frac{-2}{1 + \sqrt[3]{2}} \] Vậy, giới hạn của biểu thức là: \[ A = \frac{-2}{1 + \sqrt[3]{2}} \] Do đó, đáp án đúng là: \[ \boxed{D. 0} \] Câu 30. Để tìm giới hạn của biểu thức \( C = \lim_{x \to +\infty} (\sqrt{4x^2 + x + 1} - 2x) \), ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Nhân lượng liên hợp để đơn giản hóa biểu thức: \[ C = \lim_{x \to +\infty} (\sqrt{4x^2 + x + 1} - 2x) = \lim_{x \to +\infty} \left( \frac{(\sqrt{4x^2 + x + 1} - 2x)(\sqrt{4x^2 + x + 1} + 2x)}{\sqrt{4x^2 + x + 1} + 2x} \right) \] Bước 2: Tính tử số: \[ (\sqrt{4x^2 + x + 1} - 2x)(\sqrt{4x^2 + x + 1} + 2x) = (4x^2 + x + 1) - (2x)^2 = 4x^2 + x + 1 - 4x^2 = x + 1 \] Bước 3: Thay vào biểu thức ban đầu: \[ C = \lim_{x \to +\infty} \left( \frac{x + 1}{\sqrt{4x^2 + x + 1} + 2x} \right) \] Bước 4: Chia cả tử số và mẫu số cho \( x \): \[ C = \lim_{x \to +\infty} \left( \frac{\frac{x + 1}{x}}{\frac{\sqrt{4x^2 + x + 1} + 2x}{x}} \right) = \lim_{x \to +\infty} \left( \frac{1 + \frac{1}{x}}{\sqrt{4 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}} + 2} \right) \] Bước 5: Tìm giới hạn khi \( x \to +\infty \): \[ C = \frac{1 + 0}{\sqrt{4 + 0 + 0} + 2} = \frac{1}{\sqrt{4} + 2} = \frac{1}{2 + 2} = \frac{1}{4} \] Vậy, giới hạn của biểu thức là: \[ C = \frac{1}{4} \] Đáp án đúng là: D. 0.