zvajjaavgarikteot

Câu 25: Để tính tổng 16 số hạng đầu tiên của cấp số cộng $(u_n)$, ta cần biết số hạng đầu tiên $u_1$ và công sai $d$. Ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định công sai $d$. - Ta có $u_4 = u_1 + 3d = -12$ và $u_{14} = u_1 + 13d = 18$. - Lấy $u_{14}$ trừ $u_4$: $(u_1 + 13d) - (u_1 + 3d) = 18 - (-12)$. - Điều này dẫn đến $10d = 30$, suy ra $d = 3$. Bước 2: Tìm số hạng đầu tiên $u_1$. - Thay $d = 3$ vào phương trình $u_4 = u_1 + 3d = -12$: \[ u_1 + 3 \times 3 = -12 \] \[ u_1 + 9 = -12 \] \[ u_1 = -21 \] Bước 3: Tính tổng 16 số hạng đầu tiên $S_{16}$. - Công thức tính tổng $n$ số hạng đầu tiên của cấp số cộng là: \[ S_n = \frac{n}{2} \left(2u_1 + (n-1)d\right) \] - Với $n = 16$, $u_1 = -21$, và $d = 3$, ta có: \[ S_{16} = \frac{16}{2} \left(2(-21) + (16-1) \times 3\right) \] \[ S_{16} = 8 \left(-42 + 15 \times 3\right) \] \[ S_{16} = 8 \left(-42 + 45\right) \] \[ S_{16} = 8 \times 3 \] \[ S_{16} = 24 \] Vậy đáp án đúng là D. $S_{16} = 24$. Câu 26: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng các tính chất của cấp số cộng và phương trình để tìm số hạng đầu tiên \( u_1 \) và công sai \( d \). Bước 1: Xác định các thông tin đã cho: - \( u_5 = 18 \) - \( 4S_n = S_{2n} \) Bước 2: Áp dụng công thức tổng của cấp số cộng: \[ S_n = \frac{n}{2} [2u_1 + (n-1)d] \] \[ S_{2n} = \frac{2n}{2} [2u_1 + (2n-1)d] = n [2u_1 + (2n-1)d] \] Bước 3: Thay vào điều kiện \( 4S_n = S_{2n} \): \[ 4 \left( \frac{n}{2} [2u_1 + (n-1)d] \right) = n [2u_1 + (2n-1)d] \] \[ 2n [2u_1 + (n-1)d] = n [2u_1 + (2n-1)d] \] \[ 2 [2u_1 + (n-1)d] = 2u_1 + (2n-1)d \] \[ 4u_1 + 2(n-1)d = 2u_1 + (2n-1)d \] \[ 4u_1 + 2nd - 2d = 2u_1 + 2nd - d \] \[ 4u_1 - 2d = 2u_1 - d \] \[ 2u_1 = d \] Bước 4: Xác định số hạng thứ năm \( u_5 \): \[ u_5 = u_1 + 4d \] \[ 18 = u_1 + 4d \] Bước 5: Thay \( d = 2u_1 \) vào phương trình trên: \[ 18 = u_1 + 4(2u_1) \] \[ 18 = u_1 + 8u_1 \] \[ 18 = 9u_1 \] \[ u_1 = 2 \] Bước 6: Tính công sai \( d \): \[ d = 2u_1 = 2 \times 2 = 4 \] Vậy số hạng đầu tiên \( u_1 \) và công sai \( d \) của cấp số cộng là: \[ u_1 = 2; d = 4 \] Đáp án đúng là: A. \( u_1 = 2; d = 4 \). Câu 27: Cấp số cộng $(u_n)$ có số hạng đầu tiên $u_1 = -2$ và công sai $d = 3$. Để tìm số hạng thứ 10 ($u_{10}$), ta sử dụng công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng: \[ u_n = u_1 + (n-1)d \] Áp dụng vào bài toán: \[ u_{10} = u_1 + (10-1)d \] \[ u_{10} = -2 + 9 \times 3 \] \[ u_{10} = -2 + 27 \] \[ u_{10} = 25 \] Vậy đáp án đúng là B. $u_{10} = 25$. Câu 28: Cấp số cộng $(u_n)$ có số hạng đầu tiên $u_1 = 11$ và công sai $d = 4$. Ta cần tính số hạng thứ 99 của dãy số này, tức là $u_{99}$. Công thức để tính số hạng thứ n của một cấp số cộng là: \[ u_n = u_1 + (n-1)d \] Áp dụng công thức trên để tính $u_{99}$: \[ u_{99} = u_1 + (99-1)d \] \[ u_{99} = 11 + 98 \times 4 \] \[ u_{99} = 11 + 392 \] \[ u_{99} = 403 \] Vậy đáp án đúng là B. 403. Câu 29: Để tính tổng của 10 số hạng đầu tiên của cấp số cộng $(u_n)$ với số hạng tổng quát $u_n = 1 - 3n$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định số hạng đầu tiên ($u_1$) và công sai ($d$). Số hạng đầu tiên: \[ u_1 = 1 - 3 \times 1 = 1 - 3 = -2 \] Công sai: \[ d = u_{n+1} - u_n = [1 - 3(n+1)] - (1 - 3n) = 1 - 3n - 3 - 1 + 3n = -3 \] Bước 2: Áp dụng công thức tính tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số cộng: \[ S_n = \frac{n}{2} \left(2u_1 + (n-1)d\right) \] Ở đây, $n = 10$, $u_1 = -2$, và $d = -3$. Thay vào công thức: \[ S_{10} = \frac{10}{2} \left(2 \times (-2) + (10-1) \times (-3)\right) \] \[ S_{10} = 5 \left(-4 + 9 \times (-3)\right) \] \[ S_{10} = 5 \left(-4 - 27\right) \] \[ S_{10} = 5 \times (-31) \] \[ S_{10} = -155 \] Vậy tổng của 10 số hạng đầu tiên của cấp số cộng là \(\boxed{-155}\). Câu 30: Cấp số cộng $(u_n)$ có $u_1=4$ và $u_2=1$. Ta cần tìm giá trị của $u_{10}$. Bước 1: Tìm công sai $d$ của cấp số cộng: \[ d = u_2 - u_1 = 1 - 4 = -3 \] Bước 2: Áp dụng công thức tổng quát của cấp số cộng để tìm $u_{10}$: \[ u_n = u_1 + (n-1)d \] \[ u_{10} = 4 + (10-1)(-3) \] \[ u_{10} = 4 + 9(-3) \] \[ u_{10} = 4 - 27 \] \[ u_{10} = -23 \] Vậy giá trị của $u_{10}$ là $-23$. Đáp án đúng là B. $u_{10} = -23$. Câu 31: Cấp số cộng $(u_n)$ có số hạng đầu $u_1=3,$ công sai $d=5.$ Số hạng thứ tư của cấp số cộng là: \[ u_4 = u_1 + 3d \] Thay các giá trị vào công thức: \[ u_4 = 3 + 3 \times 5 \] \[ u_4 = 3 + 15 \] \[ u_4 = 18 \] Vậy đáp án đúng là B. $u_4 = 18$. Câu 32: Cấp số cộng $(u_n)$ có số hạng đầu $u_1=3$ và công sai $d=2$. Công thức tính số hạng thứ n của cấp số cộng là: \[ u_n = u_1 + (n-1)d \] Áp dụng công thức này để tính $u_5$: \[ u_5 = u_1 + (5-1)d \] \[ u_5 = 3 + 4 \times 2 \] \[ u_5 = 3 + 8 \] \[ u_5 = 11 \] Vậy đáp án đúng là: A. 11 Câu 33: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định công thức của số hạng tổng quát của cấp số cộng. 2. Tìm công sai của cấp số cộng. 3. Tính số hạng $u_{17}$. Bước 1: Xác định công thức của số hạng tổng quát của cấp số cộng. Cấp số cộng có công thức tổng quát: \[ u_n = u_1 + (n-1)d \] Trong đó, $u_1$ là số hạng đầu tiên, $d$ là công sai và $n$ là số thứ tự của số hạng. Bước 2: Tìm công sai của cấp số cộng. Ta biết rằng: \[ u_3 = u_1 + 2d \] \[ u_{15} = u_1 + 14d \] Theo đề bài, ta có: \[ u_3 - u_{15} = 84 \] Thay vào công thức tổng quát: \[ (u_1 + 2d) - (u_1 + 14d) = 84 \] \[ u_1 + 2d - u_1 - 14d = 84 \] \[ -12d = 84 \] \[ d = -7 \] Bước 3: Tính số hạng $u_{17}$. Sử dụng công thức tổng quát của cấp số cộng: \[ u_{17} = u_1 + 16d \] \[ u_{17} = 123 + 16(-7) \] \[ u_{17} = 123 - 112 \] \[ u_{17} = 11 \] Vậy số hạng $u_{17}$ bằng 11. Đáp án đúng là: B. 11. Câu 34: Cấp số cộng $(u_n)$ có $u_1=1$ và công sai $d=2$. Ta cần tính tổng $S_{10} = u_1 + u_2 + u_3 + ... + u_{10}$. Bước 1: Xác định công thức của số hạng thứ n trong cấp số cộng: \[ u_n = u_1 + (n-1)d \] Áp dụng vào bài toán: \[ u_n = 1 + (n-1) \cdot 2 = 1 + 2n - 2 = 2n - 1 \] Bước 2: Xác định số hạng thứ 10: \[ u_{10} = 2 \cdot 10 - 1 = 20 - 1 = 19 \] Bước 3: Áp dụng công thức tính tổng của cấp số cộng: \[ S_n = \frac{n}{2} \cdot (u_1 + u_n) \] Áp dụng vào bài toán để tính $S_{10}$: \[ S_{10} = \frac{10}{2} \cdot (1 + 19) = 5 \cdot 20 = 100 \] Vậy đáp án đúng là: B. $S_{10} = 100$. Câu 35: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ áp dụng công thức của cấp số cộng. Cấp số cộng có dạng: \[ u_n = u_1 + (n-1)d \] Trong đó: - \( u_n \) là số hạng thứ \( n \) - \( u_1 \) là số hạng đầu tiên - \( d \) là công sai Biết rằng: \[ u_2 = 3 \] \[ u_4 = 7 \] Áp dụng công thức của cấp số cộng vào hai số hạng đã biết: \[ u_2 = u_1 + d = 3 \] \[ u_4 = u_1 + 3d = 7 \] Ta có hệ phương trình: \[ u_1 + d = 3 \quad \text{(1)} \] \[ u_1 + 3d = 7 \quad \text{(2)} \] Lấy phương trình (2) trừ phương trình (1): \[ (u_1 + 3d) - (u_1 + d) = 7 - 3 \] \[ 2d = 4 \] \[ d = 2 \] Thay \( d = 2 \) vào phương trình (1): \[ u_1 + 2 = 3 \] \[ u_1 = 1 \] Bây giờ, ta đã biết \( u_1 = 1 \) và \( d = 2 \). Ta sẽ tính \( u_{15} \): \[ u_{15} = u_1 + (15-1)d \] \[ u_{15} = 1 + 14 \times 2 \] \[ u_{15} = 1 + 28 \] \[ u_{15} = 29 \] Vậy giá trị của \( u_{15} \) là 29. Đáp án đúng là: D. 29 BÀI 7. Cấp số nhân là dãy số trong đó mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ hai) bằng số hạng liền trước nó nhân với một hằng số cố định, gọi là công bội của cấp số nhân. Giả sử ta có một cấp số nhân với số hạng đầu tiên là \(a\) và công bội là \(q\). Các số hạng tiếp theo sẽ được tính như sau: - Số hạng thứ hai: \(a \cdot q\) - Số hạng thứ ba: \(a \cdot q^2\) - Số hạng thứ tư: \(a \cdot q^3\) - ... - Số hạng thứ \(n\): \(a \cdot q^{n-1}\) Công thức tổng quát cho số hạng thứ \(n\) của cấp số nhân là: \[ a_n = a \cdot q^{n-1} \] Ví dụ: Cho cấp số nhân với số hạng đầu tiên \(a = 2\) và công bội \(q = 3\). - Số hạng thứ hai: \(2 \cdot 3 = 6\) - Số hạng thứ ba: \(2 \cdot 3^2 = 2 \cdot 9 = 18\) - Số hạng thứ tư: \(2 \cdot 3^3 = 2 \cdot 27 = 54\) Vậy dãy số này là: 2, 6, 18, 54, ... Tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số nhân: Tổng của \(n\) số hạng đầu tiên của cấp số nhân được tính bằng công thức: \[ S_n = a \cdot \frac{1 - q^n}{1 - q} \quad \text{nếu } q \neq 1 \] \[ S_n = a \cdot n \quad \text{nếu } q = 1 \] Ví dụ: Tính tổng của 4 số hạng đầu tiên của cấp số nhân với \(a = 2\) và \(q = 3\): \[ S_4 = 2 \cdot \frac{1 - 3^4}{1 - 3} = 2 \cdot \frac{1 - 81}{-2} = 2 \cdot \frac{-80}{-2} = 2 \cdot 40 = 80 \] Vậy tổng của 4 số hạng đầu tiên là 80. Kết luận: Cấp số nhân là dãy số trong đó mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ hai) bằng số hạng liền trước nó nhân với một hằng số cố định. Công bội của cấp số nhân là tỷ số giữa hai số hạng liên tiếp.