Đề bài là phân biệt đúng/sai ạ . Giải chi tiết giúp mình ạ . Nhanh giúp mình vs ạ . Cảm ơn bạn Câu 4. Trong không gian Oxyz cho tam giác ABC với $A(8;9;2);B(3;5;1);C(11;10;4).$ Tọa độ điểm,$M(x;y;z)$ thỏa mãn $\overrightarrow{AM}=3\overrightarrow{AB}.$,$a)~\overrightarrow{AB}=(-5;-4;-1).$ $b)~AB=\sqrt{41}.$,c) Số đo góc A trong tam giác ABC bằng $45^0$ $d)~x+y+z=-17.$

Question

Accepted Answer

Câu 4.
Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng bước theo yêu cầu của đề bài.

Bước 1: Tìm tọa độ của vectơ $\overrightarrow{AB}$

Tọa độ của điểm $A$ là $(8, 9, 2)$ và tọa độ của điểm $B$ là $(3, 5, 1)$.

Tọa độ của vectơ $\overrightarrow{AB}$ được tính như sau:
$$
\overrightarrow{AB} = (3 - 8, 5 - 9, 1 - 2) = (-5, -4, -1)
$$

Bước 2: Xác định tọa độ của điểm $M$

Theo đề bài, $\overrightarrow{AM} = 3\overrightarrow{AB}$. Ta có:
$$
\overrightarrow{AM} = 3(-5, -4, -1) = (-15, -12, -3)
$$

Tọa độ của điểm $M$ được xác định từ tọa độ của điểm $A$ và vectơ $\overrightarrow{AM}$:
$$
M = A + \overrightarrow{AM} = (8, 9, 2) + (-15, -12, -3) = (8 - 15, 9 - 12, 2 - 3) = (-7, -3, -1)
$$

Bước 3: Kiểm tra các lựa chọn

a) $\overrightarrow{AB} = (-5, -4, -1)$. Đúng.

b) Độ dài đoạn thẳng $AB$:
$$
AB = \sqrt{(3-8)^2 + (5-9)^2 + (1-2)^2} = \sqrt{(-5)^2 + (-4)^2 + (-1)^2} = \sqrt{25 + 16 + 1} = \sqrt{42}
$$
Đề bài nói $AB = \sqrt{41}$, nhưng thực tế là $\sqrt{42}$. Do đó, lựa chọn này sai.

c) Số đo góc $A$ trong tam giác $ABC$:
Ta cần tính vectơ $\overrightarrow{AC}$:
$$
\overrightarrow{AC} = (11 - 8, 10 - 9, 4 - 2) = (3, 1, 2)
$$

Sử dụng công thức cosin để tính góc giữa hai vectơ:
$$
\cos(\angle BAC) = \frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}| |\overrightarrow{AC}|}
$$
$$
\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = (-5)(3) + (-4)(1) + (-1)(2) = -15 - 4 - 2 = -21
$$
$$
|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{42}, \quad |\overrightarrow{AC}| = \sqrt{3^2 + 1^2 + 2^2} = \sqrt{9 + 1 + 4} = \sqrt{14}
$$
$$
\cos(\angle BAC) = \frac{-21}{\sqrt{42} \cdot \sqrt{14}} = \frac{-21}{\sqrt{588}} = \frac{-21}{2\sqrt{147}} = \frac{-21}{2 \cdot 7\sqrt{3}} = \frac{-21}{14\sqrt{3}} = \frac{-3}{2\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{2}
$$
$$
\angle BAC = \cos^{-1}\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 150^\circ
$$
Do đó, góc $A$ không phải là $45^\circ$. Lựa chọn này sai.

d) Tổng tọa độ của điểm $M$:
$$
x + y + z = -7 + (-3) + (-1) = -11
$$
Lựa chọn này sai.

Kết luận
Đáp án đúng là:
a) $\overrightarrow{AB} = (-5, -4, -1)$