chỉ câu 4 đến câu 10 giúp ạ

Câu 4: Để tìm tọa độ của điểm G thỏa mãn \(\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GD} = \overrightarrow{0}\), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm trung điểm của các đoạn thẳng: - Tính trung điểm của đoạn thẳng AB: \[ M_{AB} = \left( \frac{1+2}{2}, \frac{-4+1}{2}, \frac{2-3}{2} \right) = \left( \frac{3}{2}, \frac{-3}{2}, \frac{-1}{2} \right) \] - Tính trung điểm của đoạn thẳng CD: \[ M_{CD} = \left( \frac{3+2}{2}, \frac{0-5}{2}, \frac{-2-1}{2} \right) = \left( \frac{5}{2}, \frac{-5}{2}, \frac{-3}{2} \right) \] 2. Tìm trung điểm của đoạn thẳng nối hai trung điểm trên: - Tính trung điểm của đoạn thẳng nối \(M_{AB}\) và \(M_{CD}\): \[ G = \left( \frac{\frac{3}{2} + \frac{5}{2}}{2}, \frac{\frac{-3}{2} + \frac{-5}{2}}{2}, \frac{\frac{-1}{2} + \frac{-3}{2}}{2} \right) = \left( \frac{8}{4}, \frac{-8}{4}, \frac{-4}{4} \right) = (2, -2, -1) \] Vậy tọa độ của điểm G là \(G(2, -2, -1)\). Do đó, đáp án đúng là: B. \(G(2, -2, -1)\). Câu 5: Để tìm tọa độ của vectơ $\overrightarrow{u} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}$, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm tọa độ của điểm B và C: - Trọng tâm G của tam giác ABC có tọa độ $(2, 1, -3)$. - Công thức tính tọa độ trọng tâm của tam giác là: \[ G = \left( \frac{x_A + x_B + x_C}{3}, \frac{y_A + y_B + y_C}{3}, \frac{z_A + z_B + z_C}{3} \right) \] Áp dụng vào bài toán: \[ 2 = \frac{1 + x_B + x_C}{3} \] \[ 1 = \frac{-1 + y_B + y_C}{3} \] \[ -3 = \frac{-2 + z_B + z_C}{3} \] Từ đó, ta có: \[ 1 + x_B + x_C = 6 \Rightarrow x_B + x_C = 5 \] \[ -1 + y_B + y_C = 3 \Rightarrow y_B + y_C = 4 \] \[ -2 + z_B + z_C = -9 \Rightarrow z_B + z_C = -7 \] 2. Tìm tọa độ của vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$: - Tọa độ của $\overrightarrow{AB}$ là $(x_B - 1, y_B + 1, z_B + 2)$. - Tọa độ của $\overrightarrow{AC}$ là $(x_C - 1, y_C + 1, z_C + 2)$. 3. Tính tổng của hai vectơ: \[ \overrightarrow{u} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = ((x_B - 1) + (x_C - 1), (y_B + 1) + (y_C + 1), (z_B + 2) + (z_C + 2)) \] \[ \overrightarrow{u} = (x_B + x_C - 2, y_B + y_C + 2, z_B + z_C + 4) \] Thay các giá trị đã tìm được: \[ \overrightarrow{u} = (5 - 2, 4 + 2, -7 + 4) \] \[ \overrightarrow{u} = (3, 6, -3) \] Vậy tọa độ của vectơ $\overrightarrow{u}$ là $(3, 6, -3)$. Đáp án đúng là: B. $(3, 6, -3)$. Câu 6: Để tìm tọa độ điểm \( I \) thỏa mãn \(\overrightarrow{IA} + 2\overrightarrow{IB} = 0\), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm vectơ \(\overrightarrow{IA}\) và \(\overrightarrow{IB}\): Giả sử tọa độ của điểm \( I \) là \( (x, y, z) \). - Vectơ \(\overrightarrow{IA}\) từ \( I \) đến \( A \): \[ \overrightarrow{IA} = (1 - x, 2 - y, -1 - z) \] - Vectơ \(\overrightarrow{IB}\) từ \( I \) đến \( B \): \[ \overrightarrow{IB} = (2 - x, -1 - y, 3 - z) \] 2. Áp dụng điều kiện \(\overrightarrow{IA} + 2\overrightarrow{IB} = 0\): Ta có: \[ \overrightarrow{IA} + 2\overrightarrow{IB} = (1 - x, 2 - y, -1 - z) + 2(2 - x, -1 - y, 3 - z) = 0 \] Tính toán từng thành phần: \[ (1 - x, 2 - y, -1 - z) + (4 - 2x, -2 - 2y, 6 - 2z) = (0, 0, 0) \] Kết hợp các thành phần tương ứng: \[ (1 - x + 4 - 2x, 2 - y - 2 - 2y, -1 - z + 6 - 2z) = (0, 0, 0) \] \[ (5 - 3x, -3y, 5 - 3z) = (0, 0, 0) \] 3. Giải hệ phương trình: Ta có hệ phương trình: \[ \begin{cases} 5 - 3x = 0 \\ -3y = 0 \\ 5 - 3z = 0 \end{cases} \] Giải từng phương trình: \[ 5 - 3x = 0 \implies x = \frac{5}{3} \] \[ -3y = 0 \implies y = 0 \] \[ 5 - 3z = 0 \implies z = \frac{5}{3} \] 4. Kết luận: Tọa độ của điểm \( I \) là \( \left( \frac{5}{3}, 0, \frac{5}{3} \right) \). Do đó, đáp án đúng là: C. \( I \left( \frac{5}{3}, 0, \frac{5}{3} \right) \). Câu 7: Để tìm tọa độ trọng tâm \( G \) của tam giác \( \Delta ABC \), ta cần biết tọa độ của các đỉnh \( A, B, \) và \( C \). Ta sẽ sử dụng điều kiện đã cho để tìm tọa độ của các điểm này. Giả sử tọa độ của các điểm \( A, B, \) và \( C \) lần lượt là \( A(x_1, y_1, z_1) \), \( B(x_2, y_2, z_2) \), và \( C(x_3, y_3, z_3) \). Theo đề bài, ta có: \[ \overrightarrow{AE} + \overrightarrow{BF} + \overrightarrow{CK} = \overrightarrow{0} \] Tính các vectơ: \[ \overrightarrow{AE} = E - A = (1 - x_1, 3 - y_1, 2 - z_1) \] \[ \overrightarrow{BF} = F - B = (0 - x_2, -1 - y_2, 5 - z_2) \] \[ \overrightarrow{CK} = K - C = (2 - x_3, 4 - y_3, -1 - z_3) \] Theo điều kiện: \[ (1 - x_1, 3 - y_1, 2 - z_1) + (0 - x_2, -1 - y_2, 5 - z_2) + (2 - x_3, 4 - y_3, -1 - z_3) = (0, 0, 0) \] Phân tích từng thành phần: \[ (1 - x_1) + (-x_2) + (2 - x_3) = 0 \] \[ (3 - y_1) + (-1 - y_2) + (4 - y_3) = 0 \] \[ (2 - z_1) + (5 - z_2) + (-1 - z_3) = 0 \] Sắp xếp lại: \[ 1 - x_1 - x_2 + 2 - x_3 = 0 \Rightarrow 3 - (x_1 + x_2 + x_3) = 0 \Rightarrow x_1 + x_2 + x_3 = 3 \] \[ 3 - y_1 - 1 - y_2 + 4 - y_3 = 0 \Rightarrow 6 - (y_1 + y_2 + y_3) = 0 \Rightarrow y_1 + y_2 + y_3 = 6 \] \[ 2 - z_1 + 5 - z_2 - 1 - z_3 = 0 \Rightarrow 6 - (z_1 + z_2 + z_3) = 0 \Rightarrow z_1 + z_2 + z_3 = 6 \] Tọa độ trọng tâm \( G \) của tam giác \( \Delta ABC \) là: \[ G\left(\frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3}, \frac{z_1 + z_2 + z_3}{3}\right) \] Thay vào: \[ G\left(\frac{3}{3}, \frac{6}{3}, \frac{6}{3}\right) = G(1, 2, 2) \] Vậy tọa độ trọng tâm \( G \) của tam giác \( \Delta ABC \) là: \[ G(1, 2, 2) \] Đáp án đúng là: A. \( G(1, 2, 2) \) Câu 8: Để tìm tọa độ điểm \( Q \), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm tọa độ điểm \( R \): - Ta biết rằng \( M \) là trung điểm của đoạn \( QR \). Do đó, tọa độ của \( M \) là trung bình cộng của tọa độ của \( Q \) và \( R \). Gọi tọa độ của \( Q \) là \( (x_1, y_1, z_1) \) và tọa độ của \( R \) là \( (x_2, y_2, z_2) \). Vì \( M \) là trung điểm của \( QR \), ta có: \[ M = \left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}, \frac{z_1 + z_2}{2} \right) \] Biết \( M(1, -2, 2) \), ta có: \[ \left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}, \frac{z_1 + z_2}{2} \right) = (1, -2, 2) \] Từ đây, ta có ba phương trình: \[ \frac{x_1 + x_2}{2} = 1 \quad \Rightarrow \quad x_1 + x_2 = 2 \] \[ \frac{y_1 + y_2}{2} = -2 \quad \Rightarrow \quad y_1 + y_2 = -4 \] \[ \frac{z_1 + z_2}{2} = 2 \quad \Rightarrow \quad z_1 + z_2 = 4 \] 2. Sử dụng vectơ \(\overrightarrow{PR}\): - Ta biết rằng \(\overrightarrow{PR} = (-2, -1, 0)\). Điều này có nghĩa là: \[ \overrightarrow{PR} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1, z_2 - z_1) = (-2, -1, 0) \] Từ đây, ta có ba phương trình: \[ x_2 - x_1 = -2 \] \[ y_2 - y_1 = -1 \] \[ z_2 - z_1 = 0 \] 3. Giải hệ phương trình: - Ta có hệ phương trình: \[ \begin{cases} x_1 + x_2 = 2 \\ x_2 - x_1 = -2 \end{cases} \] Cộng hai phương trình này lại: \[ (x_1 + x_2) + (x_2 - x_1) = 2 - 2 \quad \Rightarrow \quad 2x_2 = 0 \quad \Rightarrow \quad x_2 = 0 \] Thay \( x_2 = 0 \) vào \( x_1 + x_2 = 2 \): \[ x_1 + 0 = 2 \quad \Rightarrow \quad x_1 = 2 \] - Tiếp theo, ta giải hệ phương trình: \[ \begin{cases} y_1 + y_2 = -4 \\ y_2 - y_1 = -1 \end{cases} \] Cộng hai phương trình này lại: \[ (y_1 + y_2) + (y_2 - y_1) = -4 - 1 \quad \Rightarrow \quad 2y_2 = -5 \quad \Rightarrow \quad y_2 = -\frac{5}{2} \] Thay \( y_2 = -\frac{5}{2} \) vào \( y_1 + y_2 = -4 \): \[ y_1 - \frac{5}{2} = -4 \quad \Rightarrow \quad y_1 = -4 + \frac{5}{2} = -\frac{8}{2} + \frac{5}{2} = -\frac{3}{2} \] - Cuối cùng, ta giải hệ phương trình: \[ \begin{cases} z_1 + z_2 = 4 \\ z_2 - z_1 = 0 \end{cases} \] Cộng hai phương trình này lại: \[ (z_1 + z_2) + (z_2 - z_1) = 4 + 0 \quad \Rightarrow \quad 2z_2 = 4 \quad \Rightarrow \quad z_2 = 2 \] Thay \( z_2 = 2 \) vào \( z_1 + z_2 = 4 \): \[ z_1 + 2 = 4 \quad \Rightarrow \quad z_1 = 2 \] 4. Kết luận: - Tọa độ của điểm \( Q \) là \( (2, -\frac{3}{2}, 2) \). Do đó, đáp án đúng là: D. \( (2, -1, 1) \) Tuy nhiên, ta thấy rằng tọa độ \( (2, -\frac{3}{2}, 2) \) không khớp với bất kỳ đáp án nào trong các lựa chọn. Do đó, có thể có lỗi trong quá trình giải hoặc dữ liệu đầu vào không chính xác. Câu 9: Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng \(AB\) là: \[ M = \left( \frac{2+0}{2}, \frac{0+2}{2}, \frac{0+0}{2} \right) = (1, 1, 0) \] Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng \(CD\) là: \[ N = \left( \frac{0+2}{2}, \frac{0+2}{2}, \frac{2+2}{2} \right) = (1, 1, 2) \] Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng \(MN\) là: \[ I = \left( \frac{1+1}{2}, \frac{1+1}{2}, \frac{0+2}{2} \right) = (1, 1, 1) \] Vậy đáp án đúng là: C. \(I(1;1;1)\) Câu 10: Để \(M(a,b,c)\) là đỉnh thứ tư của hình bình hành \(ABCM\), ta có: \[ \overrightarrow{AM} = \overrightarrow{BC} \] Tính vectơ \(\overrightarrow{AM}\): \[ \overrightarrow{AM} = (a-1, b-2, c+1) \] Tính vectơ \(\overrightarrow{BC}\): \[ \overrightarrow{BC} = (-2-2, 3+1, 3-3) = (-4, 4, 0) \] Do đó: \[ (a-1, b-2, c+1) = (-4, 4, 0) \] Suy ra: \[ a-1 = -4 \Rightarrow a = -3 \] \[ b-2 = 4 \Rightarrow b = 6 \] \[ c+1 = 0 \Rightarrow c = -1 \] Tính \(P = a^2 + b^2 - c^2\): \[ P = (-3)^2 + 6^2 - (-1)^2 = 9 + 36 - 1 = 44 \] Vậy đáp án đúng là: D. 44