Giúp mình với! $\log_{\sqrt2}\sqrt{x+1}-\log_{\frac12}(3-x)-\log_8(x-1)^3=0$

Question

Accepted Answer

Điều kiện xác định: $$ \begin{cases} x + 1 > 0 \ 3 - x > 0 \ x - 1 > 0 \end{cases} $$ $$ \Rightarrow \begin{cases} x > -1 \ x < 3 \ x > 1 \end{cases} $$ $$ \Rightarrow 1 < x < 3 $$ Phương trình đã cho: $$ \log_{\sqrt{2}} \sqrt{x+1} - \log_{\frac{1}{2}} (3-x) - \log_8 (x-1)^3 = 0 $$ Chúng ta sẽ chuyển đổi các biểu thức logarit về cùng cơ số: $$ \log_{\sqrt{2}} \sqrt{x+1} = \frac{\log_2 \sqrt{x+1}}{\log_2 \sqrt{2}} = \frac{\frac{1}{2} \log_2 (x+1)}{\frac{1}{2}} = \log_2 (x+1) $$ $$ \log_{\frac{1}{2}} (3-x) = \frac{\log_2 (3-x)}{\log_2 \left(\frac{1}{2}\right)} = \frac{\log_2 (3-x)}{-1} = -\log_2 (3-x) $$ $$ \log_8 (x-1)^3 = \frac{\log_2 (x-1)^3}{\log_2 8} = \frac{3 \log_2 (x-1)}{3} = \log_2 (x-1) $$ Thay vào phương trình ban đầu: $$ \log_2 (x+1) - (-\log_2 (3-x)) - \log_2 (x-1) = 0 $$ $$ \log_2 (x+1) + \log_2 (3-x) - \log_2 (x-1) = 0 $$ Sử dụng tính chất của logarit: $$ \log_2 \left( \frac{(x+1)(3-x)}{x-1} \right) = 0 $$ $$ \frac{(x+1)(3-x)}{x-1} = 2^0 = 1 $$ $$ (x+1)(3-x) = x-1 $$ $$ 3x - x^2 + 3 - x = x - 1 $$ $$ -x^2 + 2x + 3 = x - 1 $$ $$ -x^2 + x + 4 = 0 $$ $$ x^2 - x - 4 = 0 $$ Giải phương trình bậc hai: $$ x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4)}}{2 \cdot 1} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 16}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{17}}{2} $$ Ta có hai nghiệm: $$ x_1 = \frac{1 + \sqrt{17}}{2}, \quad x_2 = \frac{1 - \sqrt{17}}{2} $$ Kiểm tra điều kiện $1 < x < 3$: $$ \frac{1 + \sqrt{17}}{2} \approx 2.56 \quad (\text{thỏa mãn}) $$ $$ \frac{1 - \sqrt{17}}{2} \approx -1.56 \quad (\text{khiến điều kiện}) $$ Vậy nghiệm duy nhất của phương trình là: $$ x = \frac{1 + \sqrt{17}}{2} $$