Giúp mình với!

Điều kiện xác định: \[ \begin{cases} x + 1 > 0 \\ 3 - x > 0 \\ x - 1 > 0 \end{cases} \] \[ \Rightarrow \begin{cases} x > -1 \\ x < 3 \\ x > 1 \end{cases} \] \[ \Rightarrow 1 < x < 3 \] Phương trình đã cho: \[ \log_{\sqrt{2}} \sqrt{x+1} - \log_{\frac{1}{2}} (3-x) - \log_8 (x-1)^3 = 0 \] Chúng ta sẽ chuyển đổi các biểu thức logarit về cùng cơ số: \[ \log_{\sqrt{2}} \sqrt{x+1} = \frac{\log_2 \sqrt{x+1}}{\log_2 \sqrt{2}} = \frac{\frac{1}{2} \log_2 (x+1)}{\frac{1}{2}} = \log_2 (x+1) \] \[ \log_{\frac{1}{2}} (3-x) = \frac{\log_2 (3-x)}{\log_2 \left(\frac{1}{2}\right)} = \frac{\log_2 (3-x)}{-1} = -\log_2 (3-x) \] \[ \log_8 (x-1)^3 = \frac{\log_2 (x-1)^3}{\log_2 8} = \frac{3 \log_2 (x-1)}{3} = \log_2 (x-1) \] Thay vào phương trình ban đầu: \[ \log_2 (x+1) - (-\log_2 (3-x)) - \log_2 (x-1) = 0 \] \[ \log_2 (x+1) + \log_2 (3-x) - \log_2 (x-1) = 0 \] Sử dụng tính chất của logarit: \[ \log_2 \left( \frac{(x+1)(3-x)}{x-1} \right) = 0 \] \[ \frac{(x+1)(3-x)}{x-1} = 2^0 = 1 \] \[ (x+1)(3-x) = x-1 \] \[ 3x - x^2 + 3 - x = x - 1 \] \[ -x^2 + 2x + 3 = x - 1 \] \[ -x^2 + x + 4 = 0 \] \[ x^2 - x - 4 = 0 \] Giải phương trình bậc hai: \[ x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4)}}{2 \cdot 1} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 16}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{17}}{2} \] Ta có hai nghiệm: \[ x_1 = \frac{1 + \sqrt{17}}{2}, \quad x_2 = \frac{1 - \sqrt{17}}{2} \] Kiểm tra điều kiện \(1 < x < 3\): \[ \frac{1 + \sqrt{17}}{2} \approx 2.56 \quad (\text{thỏa mãn}) \] \[ \frac{1 - \sqrt{17}}{2} \approx -1.56 \quad (\text{khiến điều kiện}) \] Vậy nghiệm duy nhất của phương trình là: \[ x = \frac{1 + \sqrt{17}}{2} \]