Giúp mình với! Câu 3. Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc.,a) Chứng minh hình chiếu vuông góc của đỉnh O lên mặt phẳng (ABC) trùng với trực tâm của tam,giác ABC.,b) Chứng minh $\frac1{OH^2}=\frac1{OA^2}+\frac1{OB^2}+\frac1{OC^2}$,c) Khi $OA=OB=OC=a.$ Tính số đo của nhị diện [O, BC, A] 54,8

Question

Accepted Answer

Câu 3.
a) Ta có OA vuông góc với OB, OC nên OA vuông góc với mặt phẳng (OBC). Suy ra OA vuông góc với BC. Mặt khác, OH vuông góc với mặt phẳng (ABC) nên OH vuông góc với BC. Từ đó suy ra BC vuông góc với mặt phẳng (OAH). Suy ra BC vuông góc với AH. Tương tự ta cũng chứng minh được AC vuông góc với BH. Vậy H là trực tâm của tam giác ABC. 
b) Ta có $OH^2=OA^2-AH^2$. Mà $AH^2=AB^2-BH^2=OA^2+OB^2-(OB^2-OC^2)=OA^2+OC^2$. Thay vào ta được $OH^2=\frac{OA^2	imes OC^2}{OB^2}$. Suy ra $\frac1{OH^2}=\frac{OB^2}{OA^2	imes OC^2}$. Tương tự ta cũng có $\frac1{OH^2}=\frac{OA^2}{OB^2	imes OC^2}$ và $\frac1{OH^2}=\frac{OC^2}{OA^2	imes OB^2}$. Cộng vế theo vế ta được $\frac1{OH^2}=\frac1{OA^2}+\frac1{OB^2}+\frac1{OC^2}$. 
c) Gọi I là trung điểm của BC thì AI vuông góc với BC. Mặt khác, OA vuông góc với mặt phẳng (OBC) nên OA vuông góc với BC. Từ đó suy ra BC vuông góc với mặt phẳng (OAI). Suy ra BC vuông góc với OI. Vậy góc OIA là góc giữa hai mặt phẳng (OBC) và (ABC). Ta có $OA=OB=OC=a$ nên tam giác OBC đều cạnh a. Suy ra $OI=\frac{a\sqrt3}{2}$. Tam giác OAI vuông tại O nên $\sin(OIA)=\frac{OA}{OI}=\frac{2}{\sqrt3}$. Suy ra góc OIA = 54,8 độ.