cm b= x3-x+1 >0 với mọi x

Để chứng minh rằng \( b = x^3 - x + 1 > 0 \) với mọi \( x \), ta sẽ xét các trường hợp khác nhau của \( x \): 1. Xét khi \( x \geq 1 \): - Ta có \( x^3 \geq x \) vì \( x \geq 1 \). - Do đó, \( x^3 - x \geq 0 \). - Suy ra \( x^3 - x + 1 \geq 1 > 0 \). 2. Xét khi \( 0 < x < 1 \): - Ta có \( x^3 < x \) vì \( 0 < x < 1 \). - Do đó, \( x^3 - x < 0 \). - Tuy nhiên, \( x^3 - x + 1 \) vẫn lớn hơn 0 vì \( x^3 - x \) là một số âm nhỏ hơn 1, cộng thêm 1 sẽ lớn hơn 0. - Cụ thể, \( x^3 - x + 1 = x(x^2 - 1) + 1 = x(x-1)(x+1) + 1 \). - Vì \( 0 < x < 1 \), ta có \( x - 1 < 0 \) và \( x + 1 > 0 \), do đó \( x(x-1)(x+1) \) là một số âm nhỏ hơn 1. - Vậy \( x(x-1)(x+1) + 1 > 0 \). 3. Xét khi \( x = 0 \): - Ta có \( x^3 - x + 1 = 0^3 - 0 + 1 = 1 > 0 \). 4. Xét khi \( x < 0 \): - Ta có \( x^3 < 0 \) và \( -x > 0 \). - Do đó, \( x^3 - x \) là tổng của một số âm và một số dương. - Vì \( x^3 \) là số âm và \( -x \) là số dương lớn hơn \( |x^3| \) (vì \( x^3 \) là số âm nhỏ hơn \( x \)), nên \( x^3 - x \) là số âm nhỏ hơn \( x \). - Tuy nhiên, \( x^3 - x + 1 \) vẫn lớn hơn 0 vì \( x^3 - x \) là một số âm nhỏ hơn 1, cộng thêm 1 sẽ lớn hơn 0. - Cụ thể, \( x^3 - x + 1 = x(x^2 - 1) + 1 = x(x-1)(x+1) + 1 \). - Vì \( x < 0 \), ta có \( x - 1 < 0 \) và \( x + 1 < 0 \), do đó \( x(x-1)(x+1) \) là một số âm nhỏ hơn 1. - Vậy \( x(x-1)(x+1) + 1 > 0 \). Từ các trường hợp trên, ta thấy rằng \( x^3 - x + 1 > 0 \) với mọi \( x \). Vậy \( b = x^3 - x + 1 > 0 \) với mọi \( x \).