Giúp mik hướng dẫn giải thích ạ

Câu 52: Để tìm nguyên hàm của hàm số \( f(x) = 3\cos x + \frac{1}{x^2} \) trên khoảng \( (0; +\infty) \), ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định nguyên hàm của mỗi thành phần trong tổng. - Nguyên hàm của \( 3\cos x \): \[ \int 3\cos x \, dx = 3 \int \cos x \, dx = 3 \sin x + C_1 \] - Nguyên hàm của \( \frac{1}{x^2} \): \[ \int \frac{1}{x^2} \, dx = \int x^{-2} \, dx = -x^{-1} + C_2 = -\frac{1}{x} + C_2 \] Bước 2: Kết hợp các nguyên hàm lại: \[ \int \left( 3\cos x + \frac{1}{x^2} \right) dx = 3 \sin x - \frac{1}{x} + C \] Trong đó, \( C \) là hằng số tích phân. Vậy nguyên hàm của hàm số \( f(x) = 3\cos x + \frac{1}{x^2} \) là: \[ 3 \sin x - \frac{1}{x} + C \] Do đó, đáp án đúng là: B. \( 3 \sin x - \frac{1}{x} + C \) Đáp án: B. \( 3 \sin x - \frac{1}{x} + C \) Câu 53: Để tìm họ nguyên hàm của hàm số \( f(x) = 3x^2 + \sin x \), chúng ta sẽ tính nguyên hàm từng phần của hàm số này. Bước 1: Tính nguyên hàm của \( 3x^2 \). \[ \int 3x^2 \, dx = 3 \int x^2 \, dx = 3 \cdot \frac{x^3}{3} = x^3 \] Bước 2: Tính nguyên hàm của \( \sin x \). \[ \int \sin x \, dx = -\cos x \] Bước 3: Kết hợp hai kết quả trên lại để tìm họ nguyên hàm của \( f(x) \). \[ \int (3x^2 + \sin x) \, dx = x^3 - \cos x + C \] Vậy họ nguyên hàm của hàm số \( f(x) = 3x^2 + \sin x \) là: \[ x^3 - \cos x + C \] Do đó, đáp án đúng là: C. \( x^3 - \cos x + C \). Câu 54: Để tìm nguyên hàm của hàm số \( f(x) = 3x^2 + 8\sin x \), ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tìm nguyên hàm của mỗi thành phần riêng lẻ trong hàm số. - Nguyên hàm của \( 3x^2 \): \[ \int 3x^2 \, dx = 3 \int x^2 \, dx = 3 \cdot \frac{x^3}{3} = x^3 + C_1 \] - Nguyên hàm của \( 8\sin x \): \[ \int 8\sin x \, dx = 8 \int \sin x \, dx = 8(-\cos x) + C_2 = -8\cos x + C_2 \] Bước 2: Kết hợp các nguyên hàm lại với nhau: \[ \int f(x) \, dx = \int (3x^2 + 8\sin x) \, dx = x^3 - 8\cos x + C \] Trong đó, \( C \) là hằng số tích phân tổng quát, bao gồm cả \( C_1 \) và \( C_2 \). Vậy, nguyên hàm của hàm số \( f(x) = 3x^2 + 8\sin x \) là: \[ \int f(x) \, dx = x^3 - 8\cos x + C \] Do đó, đáp án đúng là: C. \( \int f(x) \, dx = x^3 - 8\cos x + C \) Câu 55: Để tìm nguyên hàm của hàm số \( f(x) = \cos^2\left(\frac{x}{2}\right) \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Áp dụng công thức hạ bậc cho \( \cos^2\left(\frac{x}{2}\right) \): \[ \cos^2\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{1 + \cos x}{2} \] Bước 2: Viết lại hàm số \( f(x) \) dưới dạng: \[ f(x) = \frac{1 + \cos x}{2} \] Bước 3: Tìm nguyên hàm của \( f(x) \): \[ \int f(x) \, dx = \int \frac{1 + \cos x}{2} \, dx \] Bước 4: Tách nguyên hàm thành hai phần: \[ \int \frac{1 + \cos x}{2} \, dx = \frac{1}{2} \int (1 + \cos x) \, dx \] Bước 5: Tính nguyên hàm từng phần: \[ \frac{1}{2} \int (1 + \cos x) \, dx = \frac{1}{2} \left( \int 1 \, dx + \int \cos x \, dx \right) \] \[ = \frac{1}{2} \left( x + \sin x \right) + C \] \[ = \frac{x}{2} + \frac{\sin x}{2} + C \] Vậy nguyên hàm của hàm số \( f(x) = \cos^2\left(\frac{x}{2}\right) \) là: \[ \int f(x) \, dx = \frac{x}{2} + \frac{\sin x}{2} + C \] Do đó, đáp án đúng là: C. \( \int f(x) \, dx = \frac{x}{2} + \frac{1}{2} \sin x + C \) Đáp án: C. \( \int f(x) \, dx = \frac{x}{2} + \frac{1}{2} \sin x + C \) Câu 56: Để tìm họ nguyên hàm của hàm số \( f(x) = x + \cos x \), chúng ta sẽ tính nguyên hàm từng phần của mỗi thành phần trong hàm số này. Bước 1: Tính nguyên hàm của \( x \). \[ \int x \, dx = \frac{x^2}{2} + C_1 \] Bước 2: Tính nguyên hàm của \( \cos x \). \[ \int \cos x \, dx = \sin x + C_2 \] Bước 3: Kết hợp hai kết quả trên lại để tìm nguyên hàm của \( f(x) \). \[ \int f(x) \, dx = \int (x + \cos x) \, dx = \int x \, dx + \int \cos x \, dx = \frac{x^2}{2} + \sin x + C \] Trong đó, \( C \) là hằng số tích phân tổng quát, bao gồm cả \( C_1 \) và \( C_2 \). Vậy, họ nguyên hàm của hàm số \( f(x) = x + \cos x \) là: \[ \int f(x) \, dx = \frac{x^2}{2} + \sin x + C \] Do đó, đáp án đúng là: A. $\int f(x) \, dx = \frac{x^2}{2} + \sin x + C$. Câu 57: Để tìm giá trị của \(a\) và \(b\), ta sẽ thực hiện phép tích phân bên trái và so sánh với kết quả đã cho. Phép tích phân: \[ \int ((2a + 1)x^3 + bx^2) \, dx \] Ta tính từng phần riêng lẻ: \[ \int (2a + 1)x^3 \, dx = (2a + 1) \int x^3 \, dx = (2a + 1) \cdot \frac{x^4}{4} = \frac{(2a + 1)x^4}{4} \] \[ \int bx^2 \, dx = b \int x^2 \, dx = b \cdot \frac{x^3}{3} = \frac{bx^3}{3} \] Vậy tích phân tổng là: \[ \int ((2a + 1)x^3 + bx^2) \, dx = \frac{(2a + 1)x^4}{4} + \frac{bx^3}{3} + C \] Theo đề bài, tích phân này bằng: \[ \frac{3}{4}x^4 + x^3 + C \] So sánh hai kết quả: \[ \frac{(2a + 1)x^4}{4} + \frac{bx^3}{3} + C = \frac{3}{4}x^4 + x^3 + C \] Bằng cách so sánh hệ số tương ứng của \(x^4\) và \(x^3\) từ cả hai vế, ta có: \[ \frac{2a + 1}{4} = \frac{3}{4} \quad \text{và} \quad \frac{b}{3} = 1 \] Giải phương trình đầu tiên: \[ 2a + 1 = 3 \implies 2a = 2 \implies a = 1 \] Giải phương trình thứ hai: \[ \frac{b}{3} = 1 \implies b = 3 \] Vậy giá trị của \(a\) và \(b\) lần lượt là 1 và 3. Đáp án đúng là: A. 1; 3. Câu 58: Để tìm nguyên hàm \( F(x) \) của hàm số \( f(x) = 2x + \frac{1}{\sin^2 x} \), ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tìm nguyên hàm của mỗi thành phần trong \( f(x) \). - Nguyên hàm của \( 2x \) là: \[ \int 2x \, dx = x^2 + C_1 \] - Nguyên hàm của \( \frac{1}{\sin^2 x} \): \[ \frac{1}{\sin^2 x} = \csc^2 x \] Nguyên hàm của \( \csc^2 x \) là: \[ \int \csc^2 x \, dx = -\cot x + C_2 \] Bước 2: Kết hợp các nguyên hàm trên để tìm \( F(x) \): \[ F(x) = x^2 - \cot x + C \] Bước 3: Áp dụng điều kiện \( F\left( \frac{\pi}{4} \right) = -1 \) để xác định hằng số \( C \). Thay \( x = \frac{\pi}{4} \) vào \( F(x) \): \[ F\left( \frac{\pi}{4} \right) = \left( \frac{\pi}{4} \right)^2 - \cot \left( \frac{\pi}{4} \right) + C \] \[ F\left( \frac{\pi}{4} \right) = \frac{\pi^2}{16} - 1 + C \] Theo đề bài, \( F\left( \frac{\pi}{4} \right) = -1 \): \[ \frac{\pi^2}{16} - 1 + C = -1 \] \[ \frac{\pi^2}{16} + C = 0 \] \[ C = -\frac{\pi^2}{16} \] Bước 4: Viết lại \( F(x) \) với hằng số \( C \) đã tìm được: \[ F(x) = x^2 - \cot x - \frac{\pi^2}{16} \] Vậy đáp án đúng là: D. \( F(x) = -\cot x + x^2 - \frac{\pi^2}{16} \) Đáp án: D. \( F(x) = -\cot x + x^2 - \frac{\pi^2}{16} \) Câu 59: Để tìm $f(x)$, ta cần tính đạo hàm của $\int f(x)dx$. Biết rằng $\int f(x)dx = e^x + \sin^2x + C$, ta có: $f(x) = \frac{d}{dx}(e^x + \sin^2x + C)$ Ta tính đạo hàm từng thành phần: 1. Đạo hàm của $e^x$ là $e^x$. 2. Đạo hàm của $\sin^2x$: - Áp dụng công thức đạo hàm của hàm hợp: $(\sin^2x)' = 2\sin x \cdot (\sin x)'$ - Ta biết $(\sin x)' = \cos x$, do đó $(\sin^2x)' = 2\sin x \cdot \cos x = \sin 2x$ Vậy, đạo hàm của $\int f(x)dx$ là: $f(x) = e^x + \sin 2x$ Do đó, đáp án đúng là: D. $e^x + \sin 2x$ Câu 60: Để tìm một nguyên hàm \( F(x) \) của \( f(x) = \frac{x^3 - 1}{x^2} \), ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Rút gọn biểu thức \( f(x) \): \[ f(x) = \frac{x^3 - 1}{x^2} = x - \frac{1}{x^2} \] Bước 2: Tìm nguyên hàm của \( f(x) \): \[ F(x) = \int \left( x - \frac{1}{x^2} \right) dx \] \[ F(x) = \int x \, dx - \int \frac{1}{x^2} \, dx \] \[ F(x) = \frac{x^2}{2} + \frac{1}{x} + C \] Bước 3: Xác định hằng số \( C \) bằng cách sử dụng điều kiện \( F(1) = 0 \): \[ F(1) = \frac{1^2}{2} + \frac{1}{1} + C = 0 \] \[ \frac{1}{2} + 1 + C = 0 \] \[ \frac{3}{2} + C = 0 \] \[ C = -\frac{3}{2} \] Bước 4: Viết lại nguyên hàm \( F(x) \) với hằng số \( C \) đã tìm được: \[ F(x) = \frac{x^2}{2} + \frac{1}{x} - \frac{3}{2} \] Vậy đáp án đúng là: D. \( F(x) = \frac{x^2}{2} + \frac{1}{x} - \frac{3}{2} \) Đáp số: D. \( F(x) = \frac{x^2}{2} + \frac{1}{x} - \frac{3}{2} \) Câu 61: Để tìm nguyên hàm của hàm số \( f(x) = \frac{2}{\sqrt{x}} + \frac{3}{x} \), chúng ta sẽ tính nguyên hàm từng phần riêng lẻ. 1. Tìm nguyên hàm của \( \frac{2}{\sqrt{x}} \): \[ \int \frac{2}{\sqrt{x}} \, dx = 2 \int x^{-\frac{1}{2}} \, dx = 2 \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} + C_1 = 2 \cdot 2 \sqrt{x} + C_1 = 4 \sqrt{x} + C_1 \] 2. Tìm nguyên hàm của \( \frac{3}{x} \): \[ \int \frac{3}{x} \, dx = 3 \int \frac{1}{x} \, dx = 3 \ln |x| + C_2 \] Gộp lại, ta có: \[ \int \left( \frac{2}{\sqrt{x}} + \frac{3}{x} \right) \, dx = 4 \sqrt{x} + 3 \ln |x| + C \] Trong đó, \( C = C_1 + C_2 \) là hằng số tích phân. Vậy, họ nguyên hàm của hàm số \( f(x) = \frac{2}{\sqrt{x}} + \frac{3}{x} \) là: \[ 4 \sqrt{x} + 3 \ln |x| + C \] Do đó, đáp án đúng là: A. \( 4 \sqrt{x} + 3 \ln |x| + C \). Câu 62: Để tìm hàm số \( F(x) \) biết rằng \( F'(x) = 4x^3 - 3x^2 + 2 \) và \( F(-1) = 3 \), ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tính nguyên hàm của \( F'(x) \). \[ F(x) = \int (4x^3 - 3x^2 + 2) \, dx \] Ta tính từng phần nguyên hàm: \[ \int 4x^3 \, dx = 4 \cdot \frac{x^4}{4} = x^4 \] \[ \int -3x^2 \, dx = -3 \cdot \frac{x^3}{3} = -x^3 \] \[ \int 2 \, dx = 2x \] Vậy: \[ F(x) = x^4 - x^3 + 2x + C \] Bước 2: Xác định hằng số \( C \) bằng cách sử dụng điều kiện \( F(-1) = 3 \). Thay \( x = -1 \) vào \( F(x) \): \[ F(-1) = (-1)^4 - (-1)^3 + 2(-1) + C = 1 + 1 - 2 + C = 0 + C = C \] Theo đề bài, \( F(-1) = 3 \), nên: \[ C = 3 \] Bước 3: Viết phương trình của hàm số \( F(x) \). \[ F(x) = x^4 - x^3 + 2x + 3 \] Vậy đáp án đúng là: B. \( F(x) = x^4 - x^3 + 2x + 3 \) Đáp số: B. \( F(x) = x^4 - x^3 + 2x + 3 \) Câu 63: Để tìm hàm số \( f(x) \) thỏa mãn đồng thời các điều kiện \( f'(x) = x + \sin x \) và \( f(0) = 1 \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm nguyên hàm của \( f'(x) \): Ta có \( f'(x) = x + \sin x \). Nguyên hàm của \( x \) là \( \frac{x^2}{2} \). Nguyên hàm của \( \sin x \) là \( -\cos x \). Do đó, nguyên hàm của \( f'(x) \) là: \[ f(x) = \int (x + \sin x) \, dx = \frac{x^2}{2} - \cos x + C \] trong đó \( C \) là hằng số tích phân. 2. Xác định hằng số \( C \): Ta biết rằng \( f(0) = 1 \). Thay \( x = 0 \) vào biểu thức của \( f(x) \): \[ f(0) = \frac{0^2}{2} - \cos 0 + C = 0 - 1 + C = -1 + C \] Vì \( f(0) = 1 \), nên ta có: \[ -1 + C = 1 \implies C = 2 \] 3. Viết phương trình của hàm số \( f(x) \): Thay \( C = 2 \) vào biểu thức của \( f(x) \): \[ f(x) = \frac{x^2}{2} - \cos x + 2 \] Vậy hàm số \( f(x) \) là: \[ f(x) = \frac{x^2}{2} - \cos x + 2 \]