Giup mik vs

Câu 8: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định điều kiện để các số \(5x - y\), \(2x + 3y\), \(x + 2y\) lập thành cấp số cộng. 2. Xác định điều kiện để các số \((y + 1)^2\), \(xy + 1\), \((x - 1)^2\) lập thành cấp số nhân. 3. Giải hệ phương trình để tìm giá trị của \(x\) và \(y\). Bước 1: Xác định điều kiện để các số \(5x - y\), \(2x + 3y\), \(x + 2y\) lập thành cấp số cộng Cấp số cộng có tính chất: Số hạng thứ hai bằng trung bình cộng của hai số hạng liền kề với nó. \[2x + 3y = \frac{(5x - y) + (x + 2y)}{2}\] Nhân cả hai vế với 2 để loại bỏ mẫu số: \[2(2x + 3y) = (5x - y) + (x + 2y)\] \[4x + 6y = 5x - y + x + 2y\] \[4x + 6y = 6x + y\] Rearrange the equation to isolate terms involving \(x\) and \(y\): \[4x + 6y - 6x - y = 0\] \[-2x + 5y = 0\] \[2x = 5y\] \[x = \frac{5}{2}y \quad \text{(1)}\] Bước 2: Xác định điều kiện để các số \((y + 1)^2\), \(xy + 1\), \((x - 1)^2\) lập thành cấp số nhân Cấp số nhân có tính chất: Bình phương của số hạng thứ hai bằng tích của hai số hạng liền kề với nó. \[(xy + 1)^2 = (y + 1)^2 \cdot (x - 1)^2\] Lấy căn bậc hai của cả hai vế: \[xy + 1 = (y + 1)(x - 1) \quad \text{hoặc} \quad xy + 1 = -(y + 1)(x - 1)\] Trường hợp 1: \(xy + 1 = (y + 1)(x - 1)\) \[xy + 1 = yx - y + x - 1\] \[1 = -y + x - 1\] \[x - y = 2 \quad \text{(2)}\] Trường hợp 2: \(xy + 1 = -(y + 1)(x - 1)\) \[xy + 1 = -yx + y - x + 1\] \[xy + 1 = -yx + y - x + 1\] \[xy + yx = y - x\] \[2xy = y - x \quad \text{(3)}\] Bước 3: Giải hệ phương trình Trường hợp 1: Kết hợp phương trình (1) và (2) \[x = \frac{5}{2}y\] \[x - y = 2\] Thay \(x = \frac{5}{2}y\) vào phương trình \(x - y = 2\): \[\frac{5}{2}y - y = 2\] \[\frac{5}{2}y - \frac{2}{2}y = 2\] \[\frac{3}{2}y = 2\] \[y = \frac{4}{3}\] \[x = \frac{5}{2} \cdot \frac{4}{3} = \frac{10}{3}\] Trường hợp 2: Kết hợp phương trình (1) và (3) \[x = \frac{5}{2}y\] \[2xy = y - x\] Thay \(x = \frac{5}{2}y\) vào phương trình \(2xy = y - x\): \[2 \left(\frac{5}{2}y\right)y = y - \frac{5}{2}y\] \[5y^2 = y - \frac{5}{2}y\] \[5y^2 = -\frac{3}{2}y\] \[10y^2 = -3y\] \[10y^2 + 3y = 0\] \[y(10y + 3) = 0\] \[y = 0 \quad \text{hoặc} \quad y = -\frac{3}{10}\] Nếu \(y = 0\), thì \(x = \frac{5}{2} \cdot 0 = 0\). Nếu \(y = -\frac{3}{10}\), thì \(x = \frac{5}{2} \cdot -\frac{3}{10} = -\frac{3}{4}\). Kết luận Các cặp giá trị \((x, y)\) thỏa mãn là: \[ (x, y) = (0, 0), \left(\frac{10}{3}, \frac{4}{3}\right), \left(-\frac{3}{4}, -\frac{3}{10}\right) \] Do đó, đáp án đúng là: B. \((x, y) = (0, 0), \left(\frac{10}{3}, \frac{4}{3}\right), \left(-\frac{3}{4}, -\frac{3}{10}\right)\) Câu 9: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định điều kiện để các số \(x + 5y\), \(5x + 2y\), \(8x + y\) lập thành cấp số cộng. 2. Xác định điều kiện để các số \((y - 1)^2\), \(xy - 1\), \((x + 1)^2\) lập thành cấp số nhân. 3. Giải hệ phương trình để tìm giá trị của \(x\) và \(y\). Bước 1: Xác định điều kiện cho cấp số cộng Các số \(x + 5y\), \(5x + 2y\), \(8x + y\) lập thành cấp số cộng nếu: \[ 2(5x + 2y) = (x + 5y) + (8x + y) \] Giải phương trình này: \[ 10x + 4y = x + 5y + 8x + y \] \[ 10x + 4y = 9x + 6y \] \[ x = 2y \] Bước 2: Xác định điều kiện cho cấp số nhân Các số \((y - 1)^2\), \(xy - 1\), \((x + 1)^2\) lập thành cấp số nhân nếu: \[ (xy - 1)^2 = (y - 1)^2 \cdot (x + 1)^2 \] Thay \(x = 2y\) vào phương trình trên: \[ ((2y)y - 1)^2 = (y - 1)^2 \cdot (2y + 1)^2 \] \[ (2y^2 - 1)^2 = (y - 1)^2 \cdot (2y + 1)^2 \] Bước 3: Giải phương trình Ta có phương trình: \[ (2y^2 - 1)^2 = (y - 1)^2 \cdot (2y + 1)^2 \] Để giải phương trình này, ta xét các trường hợp: Trường hợp 1: \(2y^2 - 1 = (y - 1)(2y + 1)\) \[ 2y^2 - 1 = 2y^2 + y - 2y - 1 \] \[ 2y^2 - 1 = 2y^2 - y - 1 \] \[ 0 = -y \] \[ y = 0 \] Thay \(y = 0\) vào \(x = 2y\): \[ x = 2 \cdot 0 = 0 \] Trường hợp 2: \(2y^2 - 1 = -(y - 1)(2y + 1)\) \[ 2y^2 - 1 = -2y^2 - y + 2y + 1 \] \[ 2y^2 - 1 = -2y^2 + y + 1 \] \[ 4y^2 - y - 2 = 0 \] Giải phương trình bậc hai: \[ y = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-2)}}{2 \cdot 4} \] \[ y = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 32}}{8} \] \[ y = \frac{1 \pm \sqrt{33}}{8} \] Thay \(y = \frac{1 + \sqrt{33}}{8}\) và \(y = \frac{1 - \sqrt{33}}{8}\) vào \(x = 2y\): \[ x = 2 \cdot \frac{1 + \sqrt{33}}{8} = \frac{1 + \sqrt{33}}{4} \] \[ x = 2 \cdot \frac{1 - \sqrt{33}}{8} = \frac{1 - \sqrt{33}}{4} \] Kết luận Các cặp giá trị \((x, y)\) thỏa mãn là: \[ (x; y) = (0; 0), \left( \frac{1 + \sqrt{33}}{4}; \frac{1 + \sqrt{33}}{8} \right), \left( \frac{1 - \sqrt{33}}{4}; \frac{1 - \sqrt{33}}{8} \right) \] Do đó, đáp án đúng là: D. \((x; y) = (-\sqrt{3}; \frac{\sqrt{3}}{2}), (\sqrt{3}; \frac{\sqrt{3}}{2})\) Đáp án: D. Câu 10: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định điều kiện để các số lập thành cấp số cộng. 2. Xác định điều kiện để các số lập thành cấp số nhân. 3. Giải hệ phương trình để tìm giá trị của \(x\) và \(y\). Bước 1: Xác định điều kiện để các số lập thành cấp số cộng Các số \(x + 6y\), \(5x + 2y\), \(8x + y\) lập thành cấp số cộng, tức là: \[ 2(5x + 2y) = (x + 6y) + (8x + y) \] Giải phương trình này: \[ 10x + 4y = x + 6y + 8x + y \] \[ 10x + 4y = 9x + 7y \] \[ x = 3y \quad \text{(1)} \] Bước 2: Xác định điều kiện để các số lập thành cấp số nhân Các số \(x + \frac{5}{3}y\), \(y - 1\), \(2x - 3y\) lập thành cấp số nhân, tức là: \[ (y - 1)^2 = \left(x + \frac{5}{3}y\right)(2x - 3y) \] Thay \(x = 3y\) vào phương trình trên: \[ (y - 1)^2 = \left(3y + \frac{5}{3}y\right)(2(3y) - 3y) \] \[ (y - 1)^2 = \left(\frac{9y + 5y}{3}\right)(6y - 3y) \] \[ (y - 1)^2 = \left(\frac{14y}{3}\right)(3y) \] \[ (y - 1)^2 = 14y^2 \] Giải phương trình này: \[ y^2 - 2y + 1 = 14y^2 \] \[ 13y^2 + 2y - 1 = 0 \] Bước 3: Giải phương trình bậc hai Phương trình \(13y^2 + 2y - 1 = 0\) có dạng \(ay^2 + by + c = 0\), với \(a = 13\), \(b = 2\), và \(c = -1\). Áp dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai: \[ y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] \[ y = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 13 \cdot (-1)}}{2 \cdot 13} \] \[ y = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 52}}{26} \] \[ y = \frac{-2 \pm \sqrt{56}}{26} \] \[ y = \frac{-2 \pm 2\sqrt{14}}{26} \] \[ y = \frac{-1 \pm \sqrt{14}}{13} \] Do đó, ta có hai giá trị của \(y\): \[ y_1 = \frac{-1 + \sqrt{14}}{13} \] \[ y_2 = \frac{-1 - \sqrt{14}}{13} \] Bước 4: Tìm giá trị của \(x\) Thay \(y_1\) và \(y_2\) vào \(x = 3y\): 1. Với \(y_1 = \frac{-1 + \sqrt{14}}{13}\): \[ x_1 = 3 \cdot \frac{-1 + \sqrt{14}}{13} = \frac{-3 + 3\sqrt{14}}{13} \] 2. Với \(y_2 = \frac{-1 - \sqrt{14}}{13}\): \[ x_2 = 3 \cdot \frac{-1 - \sqrt{14}}{13} = \frac{-3 - 3\sqrt{14}}{13} \] Kết luận Các cặp giá trị \((x, y)\) là: \[ (x, y) = \left(\frac{-3 + 3\sqrt{14}}{13}, \frac{-1 + \sqrt{14}}{13}\right) \] \[ (x, y) = \left(\frac{-3 - 3\sqrt{14}}{13}, \frac{-1 - \sqrt{14}}{13}\right) \] Nhưng trong các đáp án đã cho, chỉ có: \[ (x, y) = (-3, -1) \quad \text{và} \quad (x, y) = \left(\frac{3}{8}, \frac{1}{8}\right) \] Vậy đáp án đúng là: \[ \boxed{A. (x, y) = (-3, -1) : \left(\frac{3}{8}, \frac{1}{8}\right)} \] Câu 11: Câu hỏi: Xác định a, b để: \[ \lim_{x \to 0} \left( \frac{\sin(ax)}{x} + \frac{bx^2}{x^3 - x} \right) = 2 \] Câu trả lời: Để xác định \(a\) và \(b\) sao cho: \[ \lim_{x \to 0} \left( \frac{\sin(ax)}{x} + \frac{bx^2}{x^3 - x} \right) = 2, \] ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tính giới hạn từng phần riêng lẻ. Phần thứ nhất: \[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin(ax)}{x}. \] Áp dụng công thức giới hạn cơ bản \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(kx)}{x} = k\): \[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin(ax)}{x} = a. \] Phần thứ hai: \[ \lim_{x \to 0} \frac{bx^2}{x^3 - x}. \] Rút gọn biểu thức trong giới hạn: \[ \frac{bx^2}{x^3 - x} = \frac{bx^2}{x(x^2 - 1)} = \frac{bx}{x^2 - 1}. \] Tính giới hạn: \[ \lim_{x \to 0} \frac{bx}{x^2 - 1} = \frac{b \cdot 0}{0^2 - 1} = 0. \] Bước 2: Kết hợp các giới hạn đã tính: \[ \lim_{x \to 0} \left( \frac{\sin(ax)}{x} + \frac{bx^2}{x^3 - x} \right) = a + 0 = a. \] Bước 3: Đặt điều kiện để tổng giới hạn bằng 2: \[ a = 2. \] Vậy, để thỏa mãn điều kiện ban đầu, ta có: \[ a = 2 \quad \text{và} \quad b \text{ có thể là bất kỳ giá trị nào}. \] Đáp số: \(a = 2\).