Giup minh voi

Câu 12: Để tính giới hạn của biểu thức $\lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt[3]{n^3 + 2023}}{2n + 2024}$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Chia cả tử và mẫu cho $n$ để đơn giản hóa biểu thức: \[ \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt[3]{n^3 + 2023}}{2n + 2024} = \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt[3]{n^3(1 + \frac{2023}{n^3})}}{n(2 + \frac{2024}{n})} \] Bước 2: Rút gọn biểu thức: \[ = \lim_{n \to \infty} \frac{n \cdot \sqrt[3]{1 + \frac{2023}{n^3}}}{n(2 + \frac{2024}{n})} \] \[ = \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt[3]{1 + \frac{2023}{n^3}}}{2 + \frac{2024}{n}} \] Bước 3: Tính giới hạn của các phân số trong biểu thức: \[ \lim_{n \to \infty} \frac{2023}{n^3} = 0 \quad \text{và} \quad \lim_{n \to \infty} \frac{2024}{n} = 0 \] Bước 4: Thay các giới hạn này vào biểu thức: \[ = \frac{\sqrt[3]{1 + 0}}{2 + 0} = \frac{\sqrt[3]{1}}{2} = \frac{1}{2} \] Vậy, giới hạn của biểu thức là $\frac{1}{2}$. Đáp án đúng là: B. $\frac{1}{2}$. Câu 13: Để tính giới hạn của biểu thức $\lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{n+5} - 2n}{n-1}$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Chia cả tử và mẫu cho $n$ để chuẩn hóa biểu thức: \[ \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{n+5} - 2n}{n-1} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{\sqrt{n+5}}{n} - 2}{1 - \frac{1}{n}} \] Bước 2: Xét từng phần tử trong biểu thức: - Tử số: $\frac{\sqrt{n+5}}{n} = \sqrt{\frac{n+5}{n^2}} = \sqrt{\frac{1 + \frac{5}{n}}{n}}$ - Mẫu số: $1 - \frac{1}{n}$ Khi $n \to \infty$, ta có: - $\frac{1 + \frac{5}{n}}{n} \to 0$ vì $\frac{5}{n} \to 0$ và $\frac{1}{n} \to 0$ - Do đó, $\sqrt{\frac{1 + \frac{5}{n}}{n}} \to 0$ Bước 3: Thay vào biểu thức: \[ \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{1 + \frac{5}{n}}{n}} - 2}{1 - \frac{1}{n}} = \frac{0 - 2}{1 - 0} = -2 \] Vậy, giới hạn của biểu thức là: \[ \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{n+5} - 2n}{n-1} = -2 \] Đáp án đúng là: D. -2 Câu 14: Để tính giới hạn của biểu thức $\lim_{n \to \infty} \frac{3\sqrt{n+5}-2\sqrt{n}}{n^2+5}$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Chia cả tử và mẫu cho $n^2$ để chuẩn hóa biểu thức: \[ \lim_{n \to \infty} \frac{3\sqrt{n+5}-2\sqrt{n}}{n^2+5} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{3\sqrt{n+5}}{n^2} - \frac{2\sqrt{n}}{n^2}}{\frac{n^2}{n^2} + \frac{5}{n^2}} \] Bước 2: Rút gọn các phân số trong biểu thức: \[ = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{3\sqrt{n+5}}{n^2} - \frac{2\sqrt{n}}{n^2}}{1 + \frac{5}{n^2}} \] Bước 3: Xét giới hạn của từng thành phần trong biểu thức: - $\lim_{n \to \infty} \frac{3\sqrt{n+5}}{n^2} = \lim_{n \to \infty} \frac{3\sqrt{n(1 + \frac{5}{n})}}{n^2} = \lim_{n \to \infty} \frac{3\sqrt{n}\sqrt{1 + \frac{5}{n}}}{n^2} = \lim_{n \to \infty} \frac{3\sqrt{n}}{n^2} \cdot \sqrt{1 + \frac{5}{n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{3}{n^{3/2}} \cdot \sqrt{1 + \frac{5}{n}} = 0$ - $\lim_{n \to \infty} \frac{2\sqrt{n}}{n^2} = \lim_{n \to \infty} \frac{2}{n^{3/2}} = 0$ - $\lim_{n \to \infty} \frac{5}{n^2} = 0$ Bước 4: Thay các giới hạn đã tìm vào biểu thức: \[ = \frac{0 - 0}{1 + 0} = \frac{0}{1} = 0 \] Vậy, $\lim_{n \to \infty} \frac{3\sqrt{n+5}-2\sqrt{n}}{n^2+5} = 0$. Đáp án đúng là: A. 0 Câu 15: Để tính giới hạn của biểu thức $\lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt[3]{8n^3 + n^2 - 1} + 4n + 3}{3n - 7}$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Xét phần tử trong căn bậc ba: \[ \sqrt[3]{8n^3 + n^2 - 1} \] Khi \( n \to \infty \), ta thấy rằng \( 8n^3 \) sẽ là phần chủ yếu trong biểu thức này. Do đó, ta có thể viết lại: \[ \sqrt[3]{8n^3 + n^2 - 1} = \sqrt[3]{8n^3 \left(1 + \frac{n^2}{8n^3} - \frac{1}{8n^3}\right)} = \sqrt[3]{8n^3 \left(1 + \frac{1}{8n} - \frac{1}{8n^3}\right)} \] Khi \( n \to \infty \), các phân số \(\frac{1}{8n}\) và \(\frac{1}{8n^3}\) sẽ tiến đến 0, do đó: \[ \sqrt[3]{8n^3 \left(1 + \frac{1}{8n} - \frac{1}{8n^3}\right)} \approx \sqrt[3]{8n^3} = 2n \] Bước 2: Thay vào biểu thức ban đầu: \[ \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt[3]{8n^3 + n^2 - 1} + 4n + 3}{3n - 7} \approx \lim_{n \to \infty} \frac{2n + 4n + 3}{3n - 7} = \lim_{n \to \infty} \frac{6n + 3}{3n - 7} \] Bước 3: Chia cả tử và mẫu cho \( n \): \[ \lim_{n \to \infty} \frac{6n + 3}{3n - 7} = \lim_{n \to \infty} \frac{6 + \frac{3}{n}}{3 - \frac{7}{n}} \] Khi \( n \to \infty \), các phân số \(\frac{3}{n}\) và \(\frac{7}{n}\) tiến đến 0, do đó: \[ \lim_{n \to \infty} \frac{6 + \frac{3}{n}}{3 - \frac{7}{n}} = \frac{6 + 0}{3 - 0} = \frac{6}{3} = 2 \] Vậy, giới hạn của biểu thức là: \[ \boxed{2} \] Câu 16: Để tính giới hạn của biểu thức $\lim_{n \to +\infty} \frac{\sqrt[3]{n^6+4}-\sqrt[3]{27n^6-3n^2+1}}{n^2-2024}$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định các thành phần trong biểu thức: - Biểu thức ở tử số là $\sqrt[3]{n^6+4} - \sqrt[3]{27n^6-3n^2+1}$. - Biểu thức ở mẫu số là $n^2 - 2024$. Bước 2: Chia cả tử số và mẫu số cho $n^2$ để chuẩn hóa biểu thức: \[ \lim_{n \to +\infty} \frac{\sqrt[3]{n^6+4}-\sqrt[3]{27n^6-3n^2+1}}{n^2-2024} = \lim_{n \to +\infty} \frac{\frac{\sqrt[3]{n^6+4}}{n^2} - \frac{\sqrt[3]{27n^6-3n^2+1}}{n^2}}{\frac{n^2}{n^2} - \frac{2024}{n^2}} \] Bước 3: Tính các giới hạn riêng lẻ: - $\frac{\sqrt[3]{n^6+4}}{n^2} = \sqrt[3]{\frac{n^6+4}{n^6}} = \sqrt[3]{1 + \frac{4}{n^6}}$ - $\frac{\sqrt[3]{27n^6-3n^2+1}}{n^2} = \sqrt[3]{\frac{27n^6-3n^2+1}{n^6}} = \sqrt[3]{27 - \frac{3}{n^4} + \frac{1}{n^6}}$ - $\frac{n^2}{n^2} = 1$ - $\frac{2024}{n^2} \to 0$ khi $n \to +\infty$ Bước 4: Thay các giới hạn vào biểu thức: \[ \lim_{n \to +\infty} \frac{\sqrt[3]{1 + \frac{4}{n^6}} - \sqrt[3]{27 - \frac{3}{n^4} + \frac{1}{n^6}}}{1 - 0} \] Bước 5: Tính giới hạn cuối cùng: \[ = \sqrt[3]{1 + 0} - \sqrt[3]{27 - 0 + 0} = 1 - 3 = -2 \] Vậy, giới hạn của biểu thức là $-2$. Đáp án đúng là D. $-2$. Câu 17: Để tính giới hạn của biểu thức $\lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{n^2-4}-\sqrt[3]{8n^3+n^2}}{n}$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Rút gọn biểu thức trong giới hạn. Ta có: \[ \sqrt{n^2-4} = n \sqrt{1 - \frac{4}{n^2}} \] và \[ \sqrt[3]{8n^3 + n^2} = n \sqrt[3]{8 + \frac{1}{n}} \] Do đó, biểu thức ban đầu trở thành: \[ \frac{\sqrt{n^2-4}-\sqrt[3]{8n^3+n^2}}{n} = \frac{n \sqrt{1 - \frac{4}{n^2}} - n \sqrt[3]{8 + \frac{1}{n}}}{n} \] Bước 2: Chia cả tử và mẫu cho \(n\): \[ = \sqrt{1 - \frac{4}{n^2}} - \sqrt[3]{8 + \frac{1}{n}} \] Bước 3: Tính giới hạn khi \(n \to \infty\): Khi \(n \to \infty\), ta có: \[ \sqrt{1 - \frac{4}{n^2}} \to \sqrt{1 - 0} = 1 \] và \[ \sqrt[3]{8 + \frac{1}{n}} \to \sqrt[3]{8 + 0} = 2 \] Do đó: \[ \lim_{n \to \infty} \left( \sqrt{1 - \frac{4}{n^2}} - \sqrt[3]{8 + \frac{1}{n}} \right) = 1 - 2 = -1 \] Vậy đáp án đúng là: D. -1 Câu 18: Để tính giới hạn \(\lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{9n^2-4}-\sqrt[3]{n^3+n^2}}{5n+11}\), ta thực hiện các bước sau: 1. Phân tích và đơn giản hóa biểu thức trong giới hạn: Ta xét từng phần của tử số: - \(\sqrt{9n^2-4}\): \[ \sqrt{9n^2-4} = \sqrt{9n^2(1-\frac{4}{9n^2})} = 3n \sqrt{1-\frac{4}{9n^2}} \] Khi \(n \to \infty\), \(\frac{4}{9n^2} \to 0\), do đó \(\sqrt{1-\frac{4}{9n^2}} \approx 1\). Vậy: \[ \sqrt{9n^2-4} \approx 3n \] - \(\sqrt[3]{n^3+n^2}\): \[ \sqrt[3]{n^3+n^2} = \sqrt[3]{n^3(1+\frac{1}{n})} = n \sqrt[3]{1+\frac{1}{n}} \] Khi \(n \to \infty\), \(\frac{1}{n} \to 0\), do đó \(\sqrt[3]{1+\frac{1}{n}} \approx 1\). Vậy: \[ \sqrt[3]{n^3+n^2} \approx n \] 2. Thay vào biểu thức ban đầu: \[ \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{9n^2-4}-\sqrt[3]{n^3+n^2}}{5n+11} \approx \lim_{n \to \infty} \frac{3n - n}{5n + 11} = \lim_{n \to \infty} \frac{2n}{5n + 11} \] 3. Chia cả tử và mẫu cho \(n\): \[ \lim_{n \to \infty} \frac{2n}{5n + 11} = \lim_{n \to \infty} \frac{2}{5 + \frac{11}{n}} = \frac{2}{5} \] Vậy \(\lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{9n^2-4}-\sqrt[3]{n^3+n^2}}{5n+11} = \frac{2}{5}\). Do đó, \(a = 2\) và \(b = 5\). Ta cần tính \(T = 2a - 3b\): \[ T = 2 \times 2 - 3 \times 5 = 4 - 15 = -11 \] Đáp án đúng là: D. -11. Câu 19: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm giới hạn của các thành phần trong biểu thức: - Ta xét giới hạn của $\sqrt{16n^4 - 4}$ khi $n \to \infty$. \[ \sqrt{16n^4 - 4} = \sqrt{16n^4 \left(1 - \frac{4}{16n^4}\right)} = 4n^2 \sqrt{1 - \frac{1}{4n^4}} \] Khi $n \to \infty$, $\frac{1}{4n^4} \to 0$, do đó: \[ \sqrt{16n^4 - 4} \approx 4n^2 \] - Ta xét giới hạn của $\sqrt[3]{n^6 + \pi}$ khi $n \to \infty$. \[ \sqrt[3]{n^6 + \pi} = \sqrt[3]{n^6 \left(1 + \frac{\pi}{n^6}\right)} = n^2 \sqrt[3]{1 + \frac{\pi}{n^6}} \] Khi $n \to \infty$, $\frac{\pi}{n^6} \to 0$, do đó: \[ \sqrt[3]{n^6 + \pi} \approx n^2 \] 2. Thay vào biểu thức ban đầu: \[ \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{16n^4 - 4} - \sqrt[3]{n^6 + \pi}}{an^2 + \pi} = \lim_{n \to \infty} \frac{4n^2 - n^2}{an^2 + \pi} = \lim_{n \to \infty} \frac{3n^2}{an^2 + \pi} \] 3. Tính giới hạn: \[ \lim_{n \to \infty} \frac{3n^2}{an^2 + \pi} = \lim_{n \to \infty} \frac{3}{a + \frac{\pi}{n^2}} = \frac{3}{a} \] 4. So sánh với giới hạn đã cho: \[ \frac{3}{a} = -12 \implies a = -\frac{3}{12} = -\frac{1}{4} \] 5. Kiểm tra các đáp án: - A. $a \in (-12; -2)$: Sai vì $-\frac{1}{4}$ không thuộc khoảng này. - B. $a \in (-2; 2)$: Đúng vì $-\frac{1}{4}$ thuộc khoảng này. - C. $a \in (2; 6)$: Sai vì $-\frac{1}{4}$ không thuộc khoảng này. - D. $a \in (6; 12)$: Sai vì $-\frac{1}{4}$ không thuộc khoảng này. Do đó, mệnh đề đúng là: B. $a \in (-2; 2)$. Câu 20: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm giới hạn của từng thành phần trong biểu thức: - Ta xét giới hạn của $\sqrt{n^4 - 4}$ khi $n \to \infty$. \[ \sqrt{n^4 - 4} \approx \sqrt{n^4} = n^2 \] - Ta xét giới hạn của $\sqrt[3]{27n^6 + 5}$ khi $n \to \infty$. \[ \sqrt[3]{27n^6 + 5} \approx \sqrt[3]{27n^6} = 3n^2 \] 2. Thay vào biểu thức ban đầu: \[ \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{n^4 - 4} - \sqrt[3]{27n^6 + 5} + 9n + 1}{an^2 + n + 1} \] Thay các giới hạn đã tìm: \[ \lim_{n \to \infty} \frac{n^2 - 3n^2 + 9n + 1}{an^2 + n + 1} = \lim_{n \to \infty} \frac{-2n^2 + 9n + 1}{an^2 + n + 1} \] 3. Chia cả tử và mẫu cho $n^2$: \[ \lim_{n \to \infty} \frac{-2 + \frac{9}{n} + \frac{1}{n^2}}{a + \frac{1}{n} + \frac{1}{n^2}} \] Khi $n \to \infty$, các phân số $\frac{9}{n}$, $\frac{1}{n^2}$, $\frac{1}{n}$ đều tiến đến 0. Vậy biểu thức trên trở thành: \[ \lim_{n \to \infty} \frac{-2 + 0 + 0}{a + 0 + 0} = \frac{-2}{a} \] 4. So sánh với giới hạn đã cho: Biết rằng: \[ \frac{-2}{a} = -1 \] Giải phương trình này: \[ \frac{-2}{a} = -1 \implies a = 2 \] 5. Kiểm tra các đáp án: - A. $a \in (-7; -1)$: Sai vì $a = 2$ không thuộc khoảng này. - B. $a \in (-1; 1)$: Sai vì $a = 2$ không thuộc khoảng này. - C. $a \in (1; 7)$: Đúng vì $a = 2$ thuộc khoảng này. - D. $a \in (7; 12)$: Sai vì $a = 2$ không thuộc khoảng này. Vậy đáp án đúng là: C. $a \in (1; 7)$. Câu 21: Để tính giá trị của giới hạn $\lim_{n \to \infty} (\sqrt{3n+5} - \sqrt{3n+1})$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Nhân lượng liên hợp để đơn giản hóa biểu thức: \[ \lim_{n \to \infty} (\sqrt{3n+5} - \sqrt{3n+1}) = \lim_{n \to \infty} \left( \frac{(\sqrt{3n+5} - \sqrt{3n+1})(\sqrt{3n+5} + \sqrt{3n+1})}{\sqrt{3n+5} + \sqrt{3n+1}} \right) \] Bước 2: Áp dụng công thức nhân liên hợp: \[ = \lim_{n \to \infty} \left( \frac{(3n+5) - (3n+1)}{\sqrt{3n+5} + \sqrt{3n+1}} \right) \] \[ = \lim_{n \to \infty} \left( \frac{4}{\sqrt{3n+5} + \sqrt{3n+1}} \right) \] Bước 3: Chia cả tử và mẫu cho $\sqrt{n}$ để dễ dàng tìm giới hạn: \[ = \lim_{n \to \infty} \left( \frac{4}{\sqrt{n} \left( \sqrt{3 + \frac{5}{n}} + \sqrt{3 + \frac{1}{n}} \right)} \right) \] \[ = \lim_{n \to \infty} \left( \frac{4}{\sqrt{n} \left( \sqrt{3 + \frac{5}{n}} + \sqrt{3 + \frac{1}{n}} \right)} \right) \] Bước 4: Khi $n \to \infty$, các phân số $\frac{5}{n}$ và $\frac{1}{n}$ sẽ tiến đến 0: \[ = \lim_{n \to \infty} \left( \frac{4}{\sqrt{n} \left( \sqrt{3} + \sqrt{3} \right)} \right) \] \[ = \lim_{n \to \infty} \left( \frac{4}{\sqrt{n} \cdot 2\sqrt{3}} \right) \] \[ = \lim_{n \to \infty} \left( \frac{4}{2\sqrt{3}\sqrt{n}} \right) \] \[ = \lim_{n \to \infty} \left( \frac{2}{\sqrt{3}\sqrt{n}} \right) \] Bước 5: Khi $n \to \infty$, $\sqrt{n}$ cũng tiến đến vô cùng, do đó: \[ = \frac{2}{\sqrt{3} \cdot \infty} = 0 \] Vậy giá trị của giới hạn $\lim_{n \to \infty} (\sqrt{3n+5} - \sqrt{3n+1})$ là 0. Đáp án đúng là: A. 0. Câu 22: Để tính giới hạn của biểu thức \( n - \sqrt{n^2 - 4n + 1} \), ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Nhân lượng liên hợp để đơn giản hóa biểu thức: \[ n - \sqrt{n^2 - 4n + 1} = \frac{(n - \sqrt{n^2 - 4n + 1})(n + \sqrt{n^2 - 4n + 1})}{n + \sqrt{n^2 - 4n + 1}} \] Bước 2: Tính tử số: \[ (n - \sqrt{n^2 - 4n + 1})(n + \sqrt{n^2 - 4n + 1}) = n^2 - (n^2 - 4n + 1) = 4n - 1 \] Bước 3: Biểu thức trở thành: \[ n - \sqrt{n^2 - 4n + 1} = \frac{4n - 1}{n + \sqrt{n^2 - 4n + 1}} \] Bước 4: Chia cả tử số và mẫu số cho \( n \): \[ \frac{4n - 1}{n + \sqrt{n^2 - 4n + 1}} = \frac{4 - \frac{1}{n}}{1 + \sqrt{1 - \frac{4}{n} + \frac{1}{n^2}}} \] Bước 5: Tính giới hạn khi \( n \to \infty \): \[ \lim_{n \to \infty} \left( \frac{4 - \frac{1}{n}}{1 + \sqrt{1 - \frac{4}{n} + \frac{1}{n^2}}} \right) = \frac{4 - 0}{1 + \sqrt{1 - 0 + 0}} = \frac{4}{1 + 1} = \frac{4}{2} = 2 \] Vậy, giới hạn của biểu thức \( n - \sqrt{n^2 - 4n + 1} \) khi \( n \to \infty \) là 2. Đáp án đúng là: D. 2. Câu 23: Để tính giới hạn của $\lim_{n \to \infty} n(\sqrt{n+5} - \sqrt{n})$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Nhân lượng liên hợp để đơn giản hóa biểu thức: \[ n(\sqrt{n+5} - \sqrt{n}) = n \left( \frac{(\sqrt{n+5} - \sqrt{n})(\sqrt{n+5} + \sqrt{n})}{\sqrt{n+5} + \sqrt{n}} \right) \] Bước 2: Tính toán ở tử số: \[ = n \left( \frac{(n+5) - n}{\sqrt{n+5} + \sqrt{n}} \right) = n \left( \frac{5}{\sqrt{n+5} + \sqrt{n}} \right) \] Bước 3: Chia cả tử số và mẫu số cho $\sqrt{n}$: \[ = \frac{5n}{\sqrt{n+5} + \sqrt{n}} = \frac{5n}{\sqrt{n} \left( \sqrt{1 + \frac{5}{n}} + 1 \right)} = \frac{5 \sqrt{n}}{\sqrt{1 + \frac{5}{n}} + 1} \] Bước 4: Tính giới hạn khi $n$ tiến đến vô cùng: \[ \lim_{n \to \infty} \frac{5 \sqrt{n}}{\sqrt{1 + \frac{5}{n}} + 1} = \frac{5 \cdot \infty}{\sqrt{1 + 0} + 1} = \frac{5 \cdot \infty}{1 + 1} = \frac{5 \cdot \infty}{2} = +\infty \] Vậy, kết quả của $\lim_{n \to \infty} n(\sqrt{n+5} - \sqrt{n})$ là $+\infty$. Đáp án đúng là: A. $+\infty$. Câu 24: Để tính giá trị của $\lim_{n \to \infty} [\sqrt{n} (\sqrt{4n+1} - \sqrt{4n-1})]$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Nhân lượng liên hợp để đơn giản hóa biểu thức: \[ \sqrt{4n+1} - \sqrt{4n-1} = \frac{(\sqrt{4n+1} - \sqrt{4n-1})(\sqrt{4n+1} + \sqrt{4n-1})}{\sqrt{4n+1} + \sqrt{4n-1}} = \frac{(4n+1) - (4n-1)}{\sqrt{4n+1} + \sqrt{4n-1}} = \frac{2}{\sqrt{4n+1} + \sqrt{4n-1}} \] Bước 2: Thay vào biểu thức ban đầu: \[ \sqrt{n} (\sqrt{4n+1} - \sqrt{4n-1}) = \sqrt{n} \cdot \frac{2}{\sqrt{4n+1} + \sqrt{4n-1}} \] Bước 3: Chia cả tử và mẫu cho $\sqrt{n}$: \[ = \frac{2 \sqrt{n}}{\sqrt{4n+1} + \sqrt{4n-1}} = \frac{2 \sqrt{n}}{\sqrt{n} \left( \sqrt{4 + \frac{1}{n}} + \sqrt{4 - \frac{1}{n}} \right)} = \frac{2}{\sqrt{4 + \frac{1}{n}} + \sqrt{4 - \frac{1}{n}}} \] Bước 4: Tính giới hạn khi $n \to \infty$: \[ \lim_{n \to \infty} \frac{2}{\sqrt{4 + \frac{1}{n}} + \sqrt{4 - \frac{1}{n}}} = \frac{2}{\sqrt{4 + 0} + \sqrt{4 - 0}} = \frac{2}{\sqrt{4} + \sqrt{4}} = \frac{2}{2 + 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \] Vậy giá trị đúng của $\lim_{n \to \infty} [\sqrt{n} (\sqrt{4n+1} - \sqrt{4n-1})]$ là $\frac{1}{2}$. Đáp án đúng là: B. $\frac{1}{2}$. Câu 25: Để tính giới hạn \(\lim_{n \to \infty} (n + 1 - \sqrt{n^2 + n})\), ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Nhân lượng liên hợp để đơn giản hóa biểu thức: \[ n + 1 - \sqrt{n^2 + n} = \frac{(n + 1 - \sqrt{n^2 + n})(n + 1 + \sqrt{n^2 + n})}{n + 1 + \sqrt{n^2 + n}} \] Bước 2: Tính toán ở tử số: \[ (n + 1 - \sqrt{n^2 + n})(n + 1 + \sqrt{n^2 + n}) = (n + 1)^2 - (\sqrt{n^2 + n})^2 = n^2 + 2n + 1 - (n^2 + n) = n + 1 \] Bước 3: Thay vào biểu thức ban đầu: \[ n + 1 - \sqrt{n^2 + n} = \frac{n + 1}{n + 1 + \sqrt{n^2 + n}} \] Bước 4: Chia cả tử số và mẫu số cho \(n\): \[ \frac{n + 1}{n + 1 + \sqrt{n^2 + n}} = \frac{\frac{n}{n} + \frac{1}{n}}{\frac{n}{n} + \frac{1}{n} + \frac{\sqrt{n^2 + n}}{n}} = \frac{1 + \frac{1}{n}}{1 + \frac{1}{n} + \sqrt{1 + \frac{1}{n}}} \] Bước 5: Tính giới hạn khi \(n \to \infty\): \[ \lim_{n \to \infty} \frac{1 + \frac{1}{n}}{1 + \frac{1}{n} + \sqrt{1 + \frac{1}{n}}} = \frac{1 + 0}{1 + 0 + \sqrt{1 + 0}} = \frac{1}{1 + 1} = \frac{1}{2} \] Vậy \(\lim_{n \to \infty} (n + 1 - \sqrt{n^2 + n}) = \frac{1}{2}\). Do đó, \(a = 1\) và \(b = 2\). Ta có: \[ a + 2b = 1 + 2 \times 2 = 1 + 4 = 5 \] Đáp án đúng là: C. 5. Câu 26: Để tính giới hạn của biểu thức $\lim_{n \to \infty} (\sqrt{n^2 + 5n + 1} - n)$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Nhân lượng liên hợp để đơn giản hóa biểu thức: \[ \lim_{n \to \infty} (\sqrt{n^2 + 5n + 1} - n) = \lim_{n \to \infty} \left( \frac{(\sqrt{n^2 + 5n + 1} - n)(\sqrt{n^2 + 5n + 1} + n)}{\sqrt{n^2 + 5n + 1} + n} \right) \] Bước 2: Tính toán ở tử số: \[ = \lim_{n \to \infty} \left( \frac{(n^2 + 5n + 1) - n^2}{\sqrt{n^2 + 5n + 1} + n} \right) \] \[ = \lim_{n \to \infty} \left( \frac{5n + 1}{\sqrt{n^2 + 5n + 1} + n} \right) \] Bước 3: Chia cả tử số và mẫu số cho \( n \): \[ = \lim_{n \to \infty} \left( \frac{5 + \frac{1}{n}}{\sqrt{1 + \frac{5}{n} + \frac{1}{n^2}} + 1} \right) \] Bước 4: Tính giới hạn khi \( n \to \infty \): \[ = \frac{5 + 0}{\sqrt{1 + 0 + 0} + 1} \] \[ = \frac{5}{1 + 1} \] \[ = \frac{5}{2} \] Vậy giới hạn của biểu thức là $\frac{5}{2}$. Đáp án đúng là: D. $\frac{5}{2}$. Câu 27: Để tính giới hạn $\lim_{n \to +\infty} n(\sqrt{4n^2+1} - \sqrt[3]{8n^3+n})$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Xét giới hạn của mỗi thành phần trong biểu thức: - $\sqrt{4n^2+1}$ khi $n \to +\infty$ sẽ tiến đến $\sqrt{4n^2} = 2n$. - $\sqrt[3]{8n^3+n}$ khi $n \to +\infty$ sẽ tiến đến $\sqrt[3]{8n^3} = 2n$. Bước 2: Ta thấy rằng cả hai thành phần đều tiến đến $2n$. Do đó, để tính giới hạn của hiệu này, ta cần làm thêm các phép biến đổi để loại bỏ dạng bất định $\infty - \infty$. Bước 3: Nhân lượng liên hợp để đơn giản hóa biểu thức: \[ \sqrt{4n^2+1} - \sqrt[3]{8n^3+n} = \left( \sqrt{4n^2+1} - 2n \right) + \left( 2n - \sqrt[3]{8n^3+n} \right) \] Bước 4: Xét từng phần riêng lẻ: - Phần thứ nhất: $\sqrt{4n^2+1} - 2n$ \[ \sqrt{4n^2+1} - 2n = \frac{(\sqrt{4n^2+1} - 2n)(\sqrt{4n^2+1} + 2n)}{\sqrt{4n^2+1} + 2n} = \frac{(4n^2+1) - 4n^2}{\sqrt{4n^2+1} + 2n} = \frac{1}{\sqrt{4n^2+1} + 2n} \] Khi $n \to +\infty$, $\sqrt{4n^2+1} \approx 2n$, do đó: \[ \frac{1}{\sqrt{4n^2+1} + 2n} \approx \frac{1}{2n + 2n} = \frac{1}{4n} \] - Phần thứ hai: $2n - \sqrt[3]{8n^3+n}$ \[ 2n - \sqrt[3]{8n^3+n} = \frac{(2n - \sqrt[3]{8n^3+n})(4n^2 + 2n\sqrt[3]{8n^3+n} + (\sqrt[3]{8n^3+n})^2)}{4n^2 + 2n\sqrt[3]{8n^3+n} + (\sqrt[3]{8n^3+n})^2} = \frac{8n^3 - (8n^3 + n)}{4n^2 + 2n\sqrt[3]{8n^3+n} + (\sqrt[3]{8n^3+n})^2} = \frac{-n}{4n^2 + 2n\sqrt[3]{8n^3+n} + (\sqrt[3]{8n^3+n})^2} \] Khi $n \to +\infty$, $\sqrt[3]{8n^3+n} \approx 2n$, do đó: \[ \frac{-n}{4n^2 + 2n\sqrt[3]{8n^3+n} + (\sqrt[3]{8n^3+n})^2} \approx \frac{-n}{4n^2 + 2n(2n) + (2n)^2} = \frac{-n}{4n^2 + 4n^2 + 4n^2} = \frac{-n}{12n^2} = \frac{-1}{12n} \] Bước 5: Kết hợp lại: \[ n(\sqrt{4n^2+1} - \sqrt[3]{8n^3+n}) = n \left( \frac{1}{4n} + \frac{-1}{12n} \right) = n \left( \frac{3}{12n} - \frac{1}{12n} \right) = n \left( \frac{2}{12n} \right) = \frac{2}{12} = \frac{1}{6} \] Vậy giới hạn là: \[ \lim_{n \to +\infty} n(\sqrt{4n^2+1} - \sqrt[3]{8n^3+n}) = \frac{1}{6} \] Đáp án đúng là: D. $\frac{1}{6}$. Câu 28: Để tìm giới hạn của biểu thức $\lim_{n \to \infty} (\sqrt{an^2 + bn + 1} - n)$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Nhân lượng liên hợp để đơn giản hóa biểu thức: \[ \lim_{n \to \infty} (\sqrt{an^2 + bn + 1} - n) = \lim_{n \to \infty} \left( \frac{(\sqrt{an^2 + bn + 1} - n)(\sqrt{an^2 + bn + 1} + n)}{\sqrt{an^2 + bn + 1} + n} \right) \] Bước 2: Tính tử số: \[ = \lim_{n \to \infty} \left( \frac{(an^2 + bn + 1) - n^2}{\sqrt{an^2 + bn + 1} + n} \right) \] \[ = \lim_{n \to \infty} \left( \frac{(a-1)n^2 + bn + 1}{\sqrt{an^2 + bn + 1} + n} \right) \] Bước 3: Chia cả tử và mẫu cho $n$: \[ = \lim_{n \to \infty} \left( \frac{(a-1)n + b + \frac{1}{n}}{\sqrt{a + \frac{b}{n} + \frac{1}{n^2}} + 1} \right) \] Bước 4: Xét giới hạn khi $n \to \infty$: \[ = \frac{(a-1)n + b}{\sqrt{a} + 1} \] Theo đề bài, giới hạn này bằng $\frac{3}{2}$: \[ \frac{(a-1)n + b}{\sqrt{a} + 1} = \frac{3}{2} \] Bước 5: Để giới hạn tồn tại và bằng $\frac{3}{2}$, hệ số của $n$ trong tử số phải bằng 0: \[ a - 1 = 0 \implies a = 1 \] Thay $a = 1$ vào biểu thức: \[ \frac{b}{\sqrt{1} + 1} = \frac{3}{2} \] \[ \frac{b}{2} = \frac{3}{2} \implies b = 3 \] Bước 6: Tính $a^3 + b^2$: \[ a^3 + b^2 = 1^3 + 3^2 = 1 + 9 = 10 \] Vậy đáp án đúng là D. 10. Câu 29: Để tính giới hạn $\lim_{n \to \infty} n(\sqrt{n^2 + 3} - \sqrt{n^2 + 2})$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Nhân lượng liên hợp: \[ n(\sqrt{n^2 + 3} - \sqrt{n^2 + 2}) = n \cdot \frac{(\sqrt{n^2 + 3} - \sqrt{n^2 + 2})(\sqrt{n^2 + 3} + \sqrt{n^2 + 2})}{\sqrt{n^2 + 3} + \sqrt{n^2 + 2}} \] Bước 2: Tính hiệu trong tử số: \[ = n \cdot \frac{(n^2 + 3) - (n^2 + 2)}{\sqrt{n^2 + 3} + \sqrt{n^2 + 2}} = n \cdot \frac{1}{\sqrt{n^2 + 3} + \sqrt{n^2 + 2}} \] Bước 3: Chia cả tử và mẫu cho $n$: \[ = \frac{n}{\sqrt{n^2 + 3} + \sqrt{n^2 + 2}} = \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{3}{n^2}} + \sqrt{1 + \frac{2}{n^2}}} \] Bước 4: Tính giới hạn khi $n \to \infty$: \[ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{3}{n^2}} + \sqrt{1 + \frac{2}{n^2}}} = \frac{1}{\sqrt{1 + 0} + \sqrt{1 + 0}} = \frac{1}{1 + 1} = \frac{1}{2} \] Vậy giới hạn đã cho là $\frac{1}{2}$, suy ra $a = 1$ và $b = 2$. Do đó, giá trị của $a^2 - b$ là: \[ a^2 - b = 1^2 - 2 = 1 - 2 = -1 \] Đáp án đúng là: B. -1. Câu 30: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp phân tích giới hạn và điều kiện xác định để tìm giá trị của \(a\), \(b\), và \(c\). Bước 1: Xác định điều kiện xác định - Ta có \(c^2 + a = 8\). Điều này cho thấy \(a\) phụ thuộc vào \(c\). - Ta cũng có \(\lim_{n \to \infty} (\sqrt{an^2 + bn} - cn) = 2\). Bước 2: Phân tích giới hạn - Ta viết lại biểu thức trong giới hạn: \[ \sqrt{an^2 + bn} - cn = \frac{(\sqrt{an^2 + bn} - cn)(\sqrt{an^2 + bn} + cn)}{\sqrt{an^2 + bn} + cn} = \frac{an^2 + bn - c^2n^2}{\sqrt{an^2 + bn} + cn} \] - Khi \(n \to \infty\), ta có thể bỏ qua các hạng tử bậc thấp hơn so với \(n^2\): \[ \sqrt{an^2 + bn} - cn \approx \frac{(a - c^2)n^2 + bn}{\sqrt{an^2} + cn} = \frac{(a - c^2)n^2 + bn}{n\sqrt{a} + cn} \] - Để giới hạn tồn tại và bằng 2, ta cần \(a = c^2\). Thay vào ta có: \[ \frac{bn}{n(\sqrt{a} + c)} = \frac{b}{\sqrt{a} + c} = 2 \] Bước 3: Tìm giá trị của \(a\), \(b\), và \(c\) - Từ \(a = c^2\), thay vào \(c^2 + a = 8\): \[ c^2 + c^2 = 8 \implies 2c^2 = 8 \implies c^2 = 4 \implies c = 2 \text{ hoặc } c = -2 \] - Nếu \(c = 2\), thì \(a = 4\). Thay vào phương trình \(\frac{b}{\sqrt{a} + c} = 2\): \[ \frac{b}{\sqrt{4} + 2} = 2 \implies \frac{b}{2 + 2} = 2 \implies \frac{b}{4} = 2 \implies b = 8 \] - Nếu \(c = -2\), thì \(a = 4\). Thay vào phương trình \(\frac{b}{\sqrt{a} + c} = 2\): \[ \frac{b}{\sqrt{4} - 2} = 2 \implies \frac{b}{2 - 2} = 2 \implies \frac{b}{0} = 2 \text{ (không xác định)} \] Vậy \(c = -2\) không thỏa mãn. Bước 4: Tính \(P = a + b + c\) - Với \(c = 2\), \(a = 4\), và \(b = 8\): \[ P = 4 + 8 + 2 = 14 \] Vậy đáp án đúng là D. 14. Câu 31: Để tìm giới hạn của dãy $(u_n.v_n)$, ta sử dụng tính chất của giới hạn dãy số liên quan đến giới hạn của tích hai dãy số. Cụ thể, nếu $\lim u_n = a$ và $\lim v_n = b$, thì $\lim (u_n.v_n) = a.b$. Trong bài này, ta đã biết: - $\lim u_n = 3$ - $\lim v_n = 5$ Áp dụng tính chất trên, ta có: \[ \lim (u_n.v_n) = 3 \times 5 = 15 \] Vậy đáp án đúng là: A. 15 Đáp số: A. 15 Câu 32: Để tìm giới hạn của dãy số $(u_n - v_n)$, ta sử dụng tính chất của giới hạn dãy số. Cụ thể, nếu $\lim u_n = a$ và $\lim v_n = b$, thì $\lim (u_n - v_n) = a - b$. Trong bài này, ta đã biết: \[ \lim u_n = -3 \quad \text{và} \quad \lim v_n = 2 \] Áp dụng tính chất trên, ta có: \[ \lim (u_n - v_n) = \lim u_n - \lim v_n = -3 - 2 = -5 \] Vậy $\lim (u_n - v_n) = -5$. Đáp án đúng là A. $-5$. Câu 33: Để xác định phát biểu nào là sai, chúng ta cần biết các phát biểu cụ thể. Tuy nhiên, vì chưa có thông tin về các phát biểu, tôi sẽ giả định một số phát biểu phổ biến trong toán học lớp 11 và kiểm tra từng phát biểu. Giả sử chúng ta có các phát biểu sau: 1. Hàm số \( y = \sin x \) có giá trị lớn nhất là 1 và giá trị nhỏ nhất là -1. 2. Phương trình \( \cos^2 x + \sin^2 x = 1 \) đúng với mọi giá trị của \( x \). 3. Hàm số \( y = \tan x \) có giá trị lớn nhất là \( \frac{\pi}{2} \). 4. Phương trình \( \sin x = 2 \) có nghiệm. Bây giờ, chúng ta sẽ kiểm tra từng phát biểu: 1. Hàm số \( y = \sin x \) có giá trị lớn nhất là 1 và giá trị nhỏ nhất là -1. - Đây là phát biểu đúng vì giá trị của \( \sin x \) nằm trong khoảng từ -1 đến 1. 2. Phương trình \( \cos^2 x + \sin^2 x = 1 \) đúng với mọi giá trị của \( x \). - Đây là phát biểu đúng vì nó là một hằng đẳng thức cơ bản trong lượng giác. 3. Hàm số \( y = \tan x \) có giá trị lớn nhất là \( \frac{\pi}{2} \). - Đây là phát biểu sai vì \( \tan x \) không có giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất. Giá trị của \( \tan x \) có thể tăng không giới hạn khi \( x \) tiến gần đến \( \frac{\pi}{2} + k\pi \) (với \( k \) là số nguyên). 4. Phương trình \( \sin x = 2 \) có nghiệm. - Đây là phát biểu sai vì giá trị của \( \sin x \) nằm trong khoảng từ -1 đến 1, do đó không thể bằng 2. Như vậy, phát biểu sai là: - Phát biểu 3: Hàm số \( y = \tan x \) có giá trị lớn nhất là \( \frac{\pi}{2} \). - Phát biểu 4: Phương trình \( \sin x = 2 \) có nghiệm. Tuy nhiên, nếu chúng ta chỉ chọn một phát biểu sai duy nhất, thì phát biểu 3 là phát biểu sai đầu tiên mà chúng ta đã kiểm tra. Đáp án: Phát biểu 3: Hàm số \( y = \tan x \) có giá trị lớn nhất là \( \frac{\pi}{2} \).