Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với AB=a,BC=a √ 3 . Hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với đáy. Điểm I thuộc đoạn SC sao cho SC = 3IC. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AI và...

Trước tiên, ta xác định các điểm và tính toán các khoảng cách cần thiết. 1. Xác định tọa độ các đỉnh của hình chóp: - Gọi O là tâm của hình chữ nhật ABCD. - Ta có A(0, 0, 0), B(a, 0, 0), C(a, a√3, 0), D(0, a√3, 0). - Vì (SAC) và (SBD) vuông góc với đáy, ta có S nằm trên đường thẳng vuông góc với đáy đi qua O. Gọi S có tọa độ (0, 0, h). 2. Tìm tọa độ điểm I: - Điểm I thuộc đoạn SC sao cho SC = 3IC, tức là I chia SC theo tỉ số 1:2. - Tọa độ của I là: \[ I = \left( \frac{2a}{3}, \frac{2a\sqrt{3}}{3}, \frac{h}{3} \right) \] 3. Tìm vectơ AI và SB: - Vectơ AI: \[ \overrightarrow{AI} = \left( \frac{2a}{3}, \frac{2a\sqrt{3}}{3}, \frac{h}{3} \right) \] - Vectơ SB: \[ \overrightarrow{SB} = (a, 0, -h) \] 4. Kiểm tra điều kiện AI vuông góc với SC: - Vectơ SC: \[ \overrightarrow{SC} = (a, a\sqrt{3}, -h) \] - Điều kiện AI vuông góc với SC: \[ \overrightarrow{AI} \cdot \overrightarrow{SC} = 0 \] \[ \left( \frac{2a}{3}, \frac{2a\sqrt{3}}{3}, \frac{h}{3} \right) \cdot (a, a\sqrt{3}, -h) = 0 \] \[ \frac{2a^2}{3} + \frac{2a^2 \cdot 3}{3} - \frac{h^2}{3} = 0 \] \[ \frac{2a^2}{3} + 2a^2 - \frac{h^2}{3} = 0 \] \[ \frac{8a^2}{3} = \frac{h^2}{3} \] \[ h^2 = 8a^2 \] \[ h = a\sqrt{8} = 2a\sqrt{2} \] 5. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AI và SB: - Ta sử dụng công thức khoảng cách giữa hai đường thẳng: \[ d = \frac{|(\overrightarrow{AI} \times \overrightarrow{SB}) \cdot \overrightarrow{AB}|}{|\overrightarrow{AI} \times \overrightarrow{SB}|} \] - Vectơ AB: \[ \overrightarrow{AB} = (a, 0, 0) \] - Tích vectơ AI và SB: \[ \overrightarrow{AI} \times \overrightarrow{SB} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \frac{2a}{3} & \frac{2a\sqrt{3}}{3} & \frac{2a\sqrt{2}}{3} \\ a & 0 & -2a\sqrt{2} \end{vmatrix} \] \[ = \mathbf{i} \left( \frac{2a\sqrt{3}}{3} \cdot (-2a\sqrt{2}) - \frac{2a\sqrt{2}}{3} \cdot 0 \right) - \mathbf{j} \left( \frac{2a}{3} \cdot (-2a\sqrt{2}) - \frac{2a\sqrt{2}}{3} \cdot a \right) + \mathbf{k} \left( \frac{2a}{3} \cdot 0 - \frac{2a\sqrt{3}}{3} \cdot a \right) \] \[ = \mathbf{i} \left( -\frac{4a^2\sqrt{6}}{3} \right) - \mathbf{j} \left( -\frac{4a^2\sqrt{2}}{3} - \frac{2a^2\sqrt{2}}{3} \right) + \mathbf{k} \left( -\frac{2a^2\sqrt{3}}{3} \right) \] \[ = -\frac{4a^2\sqrt{6}}{3} \mathbf{i} + 2a^2\sqrt{2} \mathbf{j} - \frac{2a^2\sqrt{3}}{3} \mathbf{k} \] - Độ dài vectơ này: \[ |\overrightarrow{AI} \times \overrightarrow{SB}| = \sqrt{\left( -\frac{4a^2\sqrt{6}}{3} \right)^2 + (2a^2\sqrt{2})^2 + \left( -\frac{2a^2\sqrt{3}}{3} \right)^2} \] \[ = \sqrt{\frac{16a^4 \cdot 6}{9} + 4a^4 \cdot 2 + \frac{4a^4 \cdot 3}{9}} \] \[ = \sqrt{\frac{96a^4}{9} + 8a^4 + \frac{12a^4}{9}} \] \[ = \sqrt{\frac{96a^4 + 72a^4 + 12a^4}{9}} \] \[ = \sqrt{\frac{180a^4}{9}} \] \[ = \sqrt{20a^4} \] \[ = 2a^2\sqrt{5} \] - Tích vô hướng: \[ (\overrightarrow{AI} \times \overrightarrow{SB}) \cdot \overrightarrow{AB} = \left( -\frac{4a^2\sqrt{6}}{3} \mathbf{i} + 2a^2\sqrt{2} \mathbf{j} - \frac{2a^2\sqrt{3}}{3} \mathbf{k} \right) \cdot (a, 0, 0) \] \[ = -\frac{4a^3\sqrt{6}}{3} \] - Khoảng cách: \[ d = \frac{|-\frac{4a^3\sqrt{6}}{3}|}{2a^2\sqrt{5}} = \frac{\frac{4a^3\sqrt{6}}{3}}{2a^2\sqrt{5}} = \frac{4a\sqrt{6}}{6\sqrt{5}} = \frac{2a\sqrt{6}}{3\sqrt{5}} = \frac{2a\sqrt{30}}{15} \] Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng AI và SB là $\frac{2a\sqrt{30}}{15}$.