Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với AB=a,BC=a
√
3
. Hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với đáy. Điểm I thuộc đoạn SC sao cho SC = 3IC. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AI và SB biết rằng AI vuông góc với SC.

Question

Accepted Answer

Qua I kẻ đường thẳng song song với SB cắt BC tại M, suy ra SB // (AIM), do đó
d(SB, AI) = d(SB, (AIM)) = d(B, (AIM)).

Mà:
$\dfrac{CI}{CS} = \dfrac{CM}{CB} \Rightarrow BM = 2CM \Rightarrow d(B, (AIM)) = 2d(C, (AIM))$

Hạ IH $\perp$ (ABCD), dễ thấy $IH = \dfrac{SO}{3}$

$S_{AMC} = \dfrac{1}{6}S_{ABCD} \Rightarrow V_{IAMC} = \dfrac{1}{18}V_{ABCD} = \dfrac{a^3 \sqrt{15}}{54}$

Ta có: $IM = \dfrac{SB}{3} = \dfrac{SC}{3} = a\sqrt{\dfrac{2}{3}}, AM = \sqrt{AB^2 + BM^2} = a\sqrt{\dfrac{7}{3}}$
$AI = \sqrt{AC^2 - CI^2} = a\sqrt{\dfrac{10}{3}}$

$\Rightarrow \cos MAI = \dfrac{3\sqrt{70}}{28}, \sin MAI = \sqrt{\dfrac{154}{28}}$

$\Rightarrow S_{AMI} = \dfrac{1}{2}.AM.AI.\sin MAI = \dfrac{1}{2} . a\sqrt{\dfrac{7}{3}} . a\sqrt{\dfrac{10}{3}} . \sqrt{\dfrac{154}{28}} = a^2 \dfrac{\sqrt{55}}{12}$

$\Rightarrow d(B, (AIM)) = 2d(C, (AIM)) = 2 . \dfrac{3V_{IAMC}}{S_{AMI}} = \dfrac{4a}{\sqrt{33}}$

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với AB=a,BC=a √ 3 . Hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với đáy. Điểm I thuộc đoạn SC sao cho SC = 3IC. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AI và...