cho tôi đáp án câu 1 Câu 6: (1 điểm - 0,5 điểm/ý) Trên một mảnh đất hình vuông ABCD , bác An đặt một chiếc đèn pin tại vị trí A cả,chùm sáng phân kì sang phía góc C . Bác An nhận thấy góc chiếu sáng của đèn pin giới hạn bởi hai tia AM và AN,đó các điểm M,N lần lượt thuộc các cạnh sao cho $BM=\frac12BC,DN=\frac13DC~(Hình4)$,,a) Tính $ an(BAM+DAN).$,b) Góc chiếu sáng của đèn pin bằng bao nhiêu độ?,Câu 7: (0,5 điểm thưởng) Trog tam giác ABC ta có $\cos A+\cos(B+C)+ an(\frac{A+B}2)=k\cot\frac C2.$ Khi đó $k=?$

Question

cho tôi đáp án câu 1 Câu 6: (1 điểm - 0,5 điểm/ý) Trên một mảnh đất hình vuông ABCD , bác An đặt một chiếc đèn pin tại vị trí A cả,chùm sáng phân kì sang phía góc C . Bác An nhận thấy góc chiếu sáng của đèn pin giới hạn bởi hai tia AM và AN,đó các điểm M,N lần lượt thuộc các cạnh sao cho $BM=\frac12BC,DN=\frac13DC~(Hình4)$,<img src=https://minio.ftech.ai/cvdata/fqa/dev/public/illustration_images/1d22c61b67734982af0db75bdf6fa6dc.jpg />,a) Tính $	an(BAM+DAN).$,b) Góc chiếu sáng của đèn pin bằng bao nhiêu độ?,Câu 7: (0,5 điểm thưởng) Trog tam giác ABC ta có $\cos A+\cos(B+C)+	an(\frac{A+B}2)=k\cot\frac C2.$ Khi đó $k=?$

Accepted Answer

Câu 6:
Để giải bài toán này, ta thực hiện các bước sau:

a) Tính $\tan(BAM + DAN)$:

Giả sử cạnh của hình vuông ABCD là $a$.

- Điểm $M$ thuộc cạnh $BC$ sao cho $BM = \frac{1}{2}BC = \frac{a}{2}$.
- Điểm $N$ thuộc cạnh $DC$ sao cho $DN = \frac{1}{3}DC = \frac{a}{3}$.

Xét tam giác vuông $ABM$:

- $AM = \sqrt{AB^2 + BM^2} = \sqrt{a^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2} = \sqrt{a^2 + \frac{a^2}{4}} = \sqrt{\frac{5a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{5}}{2}$.
- $\tan(\angle BAM) = \frac{BM}{AB} = \frac{\frac{a}{2}}{a} = \frac{1}{2}$.

Xét tam giác vuông $ADN$:

- $AN = \sqrt{AD^2 + DN^2} = \sqrt{a^2 + \left(\frac{a}{3}\right)^2} = \sqrt{a^2 + \frac{a^2}{9}} = \sqrt{\frac{10a^2}{9}} = \frac{a\sqrt{10}}{3}$.
- $\tan(\angle DAN) = \frac{DN}{AD} = \frac{\frac{a}{3}}{a} = \frac{1}{3}$.

Sử dụng công thức cộng góc cho $\tan$:

$$
\tan(BAM + DAN) = \frac{\tan(BAM) + \tan(DAN)}{1 - \tan(BAM) \cdot \tan(DAN)}
$$

Thay các giá trị vào:

$$
\tan(BAM + DAN) = \frac{\frac{1}{2} + \frac{1}{3}}{1 - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}} = \frac{\frac{3}{6} + \frac{2}{6}}{1 - \frac{1}{6}} = \frac{\frac{5}{6}}{\frac{5}{6}} = 1
$$

b) Góc chiếu sáng của đèn pin bằng bao nhiêu độ?

Vì $\tan(BAM + DAN) = 1$, nên $\angle BAM + \angle DAN = 45^\circ$.

Vậy góc chiếu sáng của đèn pin là $45^\circ$.

Câu 7:
Để giải bài toán này, ta cần sử dụng một số công thức lượng giác và tính chất của tam giác.

Trước tiên, ta có công thức lượng giác cơ bản trong tam giác:

1. $\cos(B + C) = -\cos A$ vì $A + B + C = 180^\circ$.

2. $\tan\left(\frac{A+B}{2}\right) = \cot\left(\frac{C}{2}\right)$ vì $\frac{A+B}{2} + \frac{C}{2} = 90^\circ$.

Bây giờ, ta thay các công thức này vào biểu thức đã cho:

$$
\cos A + \cos(B+C) + \tan\left(\frac{A+B}{2}\right) = k \cot\frac{C}{2}
$$

Thay $\cos(B+C) = -\cos A$ và $\tan\left(\frac{A+B}{2}\right) = \cot\left(\frac{C}{2}\right)$ vào, ta có:

$$
\cos A - \cos A + \cot\left(\frac{C}{2}\right) = k \cot\frac{C}{2}
$$

Điều này đơn giản hóa thành:

$$
\cot\left(\frac{C}{2}\right) = k \cot\frac{C}{2}
$$

Vì $\cot\left(\frac{C}{2}\right) \neq 0$ (vì $C \neq 180^\circ$), ta có thể chia cả hai vế cho $\cot\left(\frac{C}{2}\right)$, dẫn đến:

$$
1 = k
$$

Vậy giá trị của $k$ là $1$.