Giải giúp t vs ạ $c)~\lim_{x\rightarrow2^-}\frac{|2-x|}{2x^2-5x+2}$

Question

Accepted Answer

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Tìm điều kiện xác định (ĐKXĐ):
   - Ta cần kiểm tra mẫu số $2x^2 - 5x + 2$ để đảm bảo nó không bằng 0.
   - Giải phương trình $2x^2 - 5x + 2 = 0$:
     $$
     2x^2 - 5x + 2 = 0
     $$
     Áp dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai:
     $$
     x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
     $$
     Với $a = 2$, $b = -5$, $c = 2$:
     $$
     x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 16}}{4} = \frac{5 \pm 3}{4}
     $$
     Vậy:
     $$
     x_1 = \frac{5 + 3}{4} = 2 \quad \text{và} \quad x_2 = \frac{5 - 3}{4} = \frac{1}{2}
     $$
     Do đó, $2x^2 - 5x + 2 = 0$ khi $x = 2$ hoặc $x = \frac{1}{2}$.

2. Xét giới hạn khi $x \to 2^-$:
   - Khi $x \to 2^-$, tức là $x$ tiến gần đến 2 từ phía bên trái (nhỏ hơn 2). Điều này có nghĩa là $2 - x > 0$, do đó $|2 - x| = 2 - x$.
   - Thay vào biểu thức:
     $$
     \lim_{x \to 2^-} \frac{|2 - x|}{2x^2 - 5x + 2} = \lim_{x \to 2^-} \frac{2 - x}{2x^2 - 5x + 2}
     $$

3. Thực hiện phép chia:
   - Ta thấy rằng khi $x \to 2^-$, mẫu số $2x^2 - 5x + 2$ tiến gần đến 0 từ phía âm (vì $2x^2 - 5x + 2 = (x - 2)(2x - 1)$ và khi $x < 2$, $x - 2 < 0$).
   - Tử số $2 - x$ tiến gần đến 0 từ phía dương.
   - Do đó, biểu thức $\frac{2 - x}{2x^2 - 5x + 2}$ tiến gần đến $-\infty$ vì tử số tiến gần đến 0 dương và mẫu số tiến gần đến 0 âm.

Kết luận:
$$
\lim_{x \to 2^-} \frac{|2 - x|}{2x^2 - 5x + 2} = -\infty
$$