e xin cách làm ạ Câu 15: Giá trị nhỏ nhất của hàm số $f(x)=\frac{x^2-x+1}{x-1}$ trên khoảng $(1;+\infty)$ là,$A.~\min_{(1;+\infty)}y=5.$ $\Rightarrow\min_{(1;+\infty)}y=3.$ $C.~\min_{(1;+\infty)}y=-1.$ $D.~\min_{(1;+\infty)}y=\frac{-7}3.$,Câu 16: Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số $y=-x^3+x^2+5x-5$ là,$A.~(0;-5).$ $B.~(1;0).$ $C.~(\frac53;\frac{40}{27}).$ $D.~(-1;-8).$,Câu 17: Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm trên $\mathbb R$ và $f^\prime(x)=(x+3)(x-1)^2(x-5).$ Khi đó hàm số,đã cho đạt cực đại tại điểm nào?,$A.~x=-3.$ $B.~x=1.$ $C.~x=0.$ $D.~x=5.$,Câu 18: Cho hàm số $y=f(x)$ có đồ thị như sau,,Tọa độ tâm đối xứng của đồ thị là,$A.~(0;0).$ $B.~(2;3).$ $C.~(1;1).$ $D.~(0;-1).$,và lim $f(x)=1.$ Khẳng định nào sau đây là khẳng

Question

e xin cách làm ạ Câu 15: Giá trị nhỏ nhất của hàm số $f(x)=\frac{x^2-x+1}{x-1}$ trên khoảng $(1;+\infty)$ là,$A.~\min_{(1;+\infty)}y=5.$ $\Rightarrow\min_{(1;+\infty)}y=3.$ $C.~\min_{(1;+\infty)}y=-1.$ $D.~\min_{(1;+\infty)}y=\frac{-7}3.$,Câu 16: Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số $y=-x^3+x^2+5x-5$ là,$A.~(0;-5).$ $B.~(1;0).$ $C.~(\frac53;\frac{40}{27}).$ $D.~(-1;-8).$,Câu 17: Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm trên $\mathbb R$ và $f^\prime(x)=(x+3)(x-1)^2(x-5).$ Khi đó hàm số,đã cho đạt cực đại tại điểm nào?,$A.~x=-3.$ $B.~x=1.$ $C.~x=0.$ $D.~x=5.$,Câu 18: Cho hàm số $y=f(x)$ có đồ thị như sau,<img src=https://minio.ftech.ai/cvdata/fqa/prod/public/illustration_images/8be53201db254d45bce0fc4ffc7d1bdb.jpg />,Tọa độ tâm đối xứng của đồ thị là,$A.~(0;0).$ $B.~(2;3).$ $C.~(1;1).$ $D.~(0;-1).$,và lim $f(x)=1.$ Khẳng định nào sau đây là khẳng

Accepted Answer

Câu 15: Để tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $ f(x) = \frac{x^2 - x + 1}{x - 1} $ trên khoảng $ (1; +\infty) $, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số: $$ f'(x) = \left( \frac{x^2 - x + 1}{x - 1} \right)' $$ Áp dụng quy tắc đạo hàm của thương: $$ f'(x) = \frac{(x^2 - x + 1)'(x - 1) - (x^2 - x + 1)(x - 1)'}{(x - 1)^2} $$ Tính đạo hàm của tử và mẫu: $$ (x^2 - x + 1)' = 2x - 1 $$ $$ (x - 1)' = 1 $$ Thay vào công thức: $$ f'(x) = \frac{(2x - 1)(x - 1) - (x^2 - x + 1)}{(x - 1)^2} $$ Rút gọn biểu thức: $$ f'(x) = \frac{2x^2 - 2x - x + 1 - x^2 + x - 1}{(x - 1)^2} = \frac{x^2 - 2x}{(x - 1)^2} = \frac{x(x - 2)}{(x - 1)^2} $$ 2. Xác định điểm cực trị: Đặt $ f'(x) = 0 $: $$ \frac{x(x - 2)}{(x - 1)^2} = 0 $$ Điều này xảy ra khi: $$ x(x - 2) = 0 \Rightarrow x = 0 \text{ hoặc } x = 2 $$ Vì $ x $ thuộc khoảng $ (1; +\infty) $, ta chỉ xét $ x = 2 $. 3. Kiểm tra tính chất của đạo hàm ở các điểm cận và điểm cực trị: - Khi $ x \to 1^+ $, $ f'(x) < 0 $ (vì $ x - 1 $ nhỏ hơn 0 và $ x(x - 2) $ nhỏ hơn 0). - Khi $ x > 2 $, $ f'(x) > 0 $ (vì $ x - 1 $ lớn hơn 0 và $ x(x - 2) $ lớn hơn 0). Do đó, $ x = 2 $ là điểm cực tiểu của hàm số. 4. Tính giá trị của hàm số tại điểm cực tiểu: $$ f(2) = \frac{2^2 - 2 + 1}{2 - 1} = \frac{4 - 2 + 1}{1} = 3 $$ Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số $ f(x) = \frac{x^2 - x + 1}{x - 1} $ trên khoảng $ (1; +\infty) $ là 3, đạt được khi $ x = 2 $. Đáp án đúng là: B. $\min_{(1;+\infty)}y=3$. Câu 16: Để tìm điểm cực tiểu của đồ thị hàm số $y = -x^3 + x^2 + 5x - 5$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số: $$ y' = \frac{d}{dx} (-x^3 + x^2 + 5x - 5) = -3x^2 + 2x + 5 $$ Bước 2: Tìm các điểm cực trị bằng cách giải phương trình đạo hàm bằng 0: $$ y' = 0 $$ $$ -3x^2 + 2x + 5 = 0 $$ Bước 3: Giải phương trình bậc hai: $$ -3x^2 + 2x + 5 = 0 $$ Áp dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai: $$ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $$ Trong đó, $ a = -3 $, $ b = 2 $, $ c = 5 $: $$ x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4(-3)(5)}}{2(-3)} $$ $$ x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 60}}{-6} $$ $$ x = \frac{-2 \pm \sqrt{64}}{-6} $$ $$ x = \frac{-2 \pm 8}{-6} $$ Tìm các nghiệm: $$ x_1 = \frac{-2 + 8}{-6} = \frac{6}{-6} = -1 $$ $$ x_2 = \frac{-2 - 8}{-6} = \frac{-10}{-6} = \frac{5}{3} $$ Bước 4: Xác định tính chất của các điểm cực trị bằng cách kiểm tra đạo hàm ở các khoảng giữa các nghiệm: - Kiểm tra đạo hàm tại các điểm x < -1, -1 < x < $\frac{5}{3}$, x > $\frac{5}{3}$. Bước 5: Tính giá trị của hàm số tại các điểm cực trị: - Tại $ x = -1 $: $$ y(-1) = -(-1)^3 + (-1)^2 + 5(-1) - 5 = 1 + 1 - 5 - 5 = -8 $$ - Tại $ x = \frac{5}{3} $: $$ y\left(\frac{5}{3}\right) = -\left(\frac{5}{3}\right)^3 + \left(\frac{5}{3}\right)^2 + 5\left(\frac{5}{3}\right) - 5 $$ $$ = -\frac{125}{27} + \frac{25}{9} + \frac{25}{3} - 5 $$ $$ = -\frac{125}{27} + \frac{75}{27} + \frac{225}{27} - \frac{135}{27} $$ $$ = \frac{-125 + 75 + 225 - 135}{27} $$ $$ = \frac{40}{27} $$ Bước 6: Kết luận: - Điểm $ (-1, -8) $ là điểm cực đại. - Điểm $ \left(\frac{5}{3}, \frac{40}{27}\right) $ là điểm cực tiểu. Vậy điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là $ \left(\frac{5}{3}, \frac{40}{27}\right) $. Đáp án đúng là: C. $ \left(\frac{5}{3}; \frac{40}{27}\right) $. Câu 17: Để tìm điểm cực đại của hàm số $ y = f(x) $ đã cho, ta cần sử dụng đạo hàm $ f'(x) $. Bước 1: Xác định các điểm mà đạo hàm bằng 0: $$ f'(x) = (x + 3)(x - 1)^2(x - 5) = 0 $$ Từ đây, ta có các nghiệm: $$ x = -3, \quad x = 1, \quad x = 5 $$ Bước 2: Xét dấu của đạo hàm $ f'(x) $ trong các khoảng giữa các nghiệm: - Khi $ x < -3 $: $$ f'(x) = (x + 3)(x - 1)^2(x - 5) < 0 $$ (vì $ x + 3 < 0 $, $ (x - 1)^2 > 0 $, $ x - 5 < 0 $) - Khi $ -3 < x < 1 $: $$ f'(x) = (x + 3)(x - 1)^2(x - 5) > 0 $$ (vì $ x + 3 > 0 $, $ (x - 1)^2 > 0 $, $ x - 5 < 0 $) - Khi $ 1 < x < 5 $: $$ f'(x) = (x + 3)(x - 1)^2(x - 5) < 0 $$ (vì $ x + 3 > 0 $, $ (x - 1)^2 > 0 $, $ x - 5 < 0 $) - Khi $ x > 5 $: $$ f'(x) = (x + 3)(x - 1)^2(x - 5) > 0 $$ (vì $ x + 3 > 0 $, $ (x - 1)^2 > 0 $, $ x - 5 > 0 $) Bước 3: Xác định tính chất cực đại hoặc cực tiểu tại các điểm $ x = -3 $, $ x = 1 $, và $ x = 5 $: - Tại $ x = -3 $: \[ f'(x) \) chuyển từ âm sang dương, do đó $ x = -3 $ là điểm cực tiểu. - Tại $ x = 1 $: \[ f'(x) \) không đổi dấu vì $ (x - 1)^2 \geq 0 $ luôn luôn đúng, do đó $ x = 1 $ không phải là điểm cực đại hay cực tiểu. - Tại $ x = 5 $: \[ f'(x) \) chuyển từ âm sang dương, do đó $ x = 5 $ là điểm cực tiểu. Do đó, hàm số đã cho không đạt cực đại tại bất kỳ điểm nào trong các lựa chọn đã cho. Đáp án: D. Không có điểm cực đại trong các lựa chọn đã cho. Câu 18: Để xác định tọa độ tâm đối xứng của đồ thị hàm số $ y = f(x) $, ta cần dựa vào tính chất của tâm đối xứng. Tâm đối xứng của đồ thị hàm số là điểm mà qua đó mỗi điểm trên đồ thị có một điểm đối xứng nằm ở vị trí đối xứng qua tâm đó. Dựa vào đồ thị đã cho, ta thấy rằng đồ thị hàm số $ y = f(x) $ có tâm đối xứng tại điểm $ (1; 1) $. Cụ thể: - Điểm $ (0; 0) $ có điểm đối xứng là $ (2; 2) $. - Điểm $ (2; 2) $ có điểm đối xứng là $ (0; 0) $. - Điểm $ (-1; -1) $ có điểm đối xứng là $ (3; 3) $. - Điểm $ (3; 3) $ có điểm đối xứng là $ (-1; -1) $. Như vậy, tất cả các điểm trên đồ thị đều có điểm đối xứng qua tâm $ (1; 1) $. Do đó, tọa độ tâm đối xứng của đồ thị là $ (1; 1) $. Đáp án đúng là: C. $ (1; 1) $.