giải bài trên

Điều kiện xác định: \( x \geq 0, y \geq 0, xy \neq 0 \) cho \( A \); \( x \geq 0, y \geq 0, x \neq y \) cho \( B \); \( a \geq 0, a \neq \frac{1}{4} \) cho \( C \). a) \( A = \frac{x\sqrt{y} + y\sqrt{x}}{x + 2\sqrt{xy} + y} \) Ta nhận thấy rằng: \[ x\sqrt{y} + y\sqrt{x} = \sqrt{x}\sqrt{y}(\sqrt{x} + \sqrt{y}) \] \[ x + 2\sqrt{xy} + y = (\sqrt{x} + \sqrt{y})^2 \] Do đó: \[ A = \frac{\sqrt{x}\sqrt{y}(\sqrt{x} + \sqrt{y})}{(\sqrt{x} + \sqrt{y})^2} = \frac{\sqrt{x}\sqrt{y}}{\sqrt{x} + \sqrt{y}} \] b) \( B = \frac{x\sqrt{y} - y\sqrt{x}}{x - 2\sqrt{xy} + y} \) Ta nhận thấy rằng: \[ x\sqrt{y} - y\sqrt{x} = \sqrt{x}\sqrt{y}(\sqrt{x} - \sqrt{y}) \] \[ x - 2\sqrt{xy} + y = (\sqrt{x} - \sqrt{y})^2 \] Do đó: \[ B = \frac{\sqrt{x}\sqrt{y}(\sqrt{x} - \sqrt{y})}{(\sqrt{x} - \sqrt{y})^2} = \frac{\sqrt{x}\sqrt{y}}{\sqrt{x} - \sqrt{y}} \] c) \( C = \frac{3\sqrt{a} - 2a - 1}{4a - 4\sqrt{a} + 1} \) Ta nhận thấy rằng: \[ 3\sqrt{a} - 2a - 1 = 3\sqrt{a} - 2(\sqrt{a})^2 - 1 \] \[ 4a - 4\sqrt{a} + 1 = (2\sqrt{a} - 1)^2 \] Do đó: \[ C = \frac{3\sqrt{a} - 2(\sqrt{a})^2 - 1}{(2\sqrt{a} - 1)^2} \] Để đơn giản hóa biểu thức này, ta đặt \( t = \sqrt{a} \): \[ C = \frac{3t - 2t^2 - 1}{(2t - 1)^2} \] Nhận thấy rằng: \[ 3t - 2t^2 - 1 = -(2t^2 - 3t + 1) = -(2t - 1)(t - 1) \] Do đó: \[ C = \frac{-(2t - 1)(t - 1)}{(2t - 1)^2} = \frac{-(t - 1)}{2t - 1} = \frac{1 - t}{2t - 1} \] Tóm lại: \[ A = \frac{\sqrt{x}\sqrt{y}}{\sqrt{x} + \sqrt{y}} \] \[ B = \frac{\sqrt{x}\sqrt{y}}{\sqrt{x} - \sqrt{y}} \] \[ C = \frac{1 - \sqrt{a}}{2\sqrt{a} - 1} \]