cho đa thức f(x)=x^4+x^3+mx^2+nx+p,trong đó m,n,p là các số nguyên đôi một phân biệt,khác không sao cho f(m)=m^4+m^3 và f(n)=n^4+n^3.Tìm m,n,p

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng các thông tin đã cho và áp dụng các phương pháp phù hợp để tìm giá trị của \( m \), \( n \), và \( p \). Bước 1: Xác định điều kiện từ \( f(m) = m^4 + m^3 \) Ta có: \[ f(x) = x^4 + x^3 + mx^2 + nx + p \] Thay \( x = m \): \[ f(m) = m^4 + m^3 + mm^2 + nm + p = m^4 + m^3 \] \[ m^4 + m^3 + m^3 + nm + p = m^4 + m^3 \] \[ m^4 + 2m^3 + nm + p = m^4 + m^3 \] \[ 2m^3 + nm + p = m^3 \] \[ nm + p = -m^3 \quad \text{(1)} \] Bước 2: Xác định điều kiện từ \( f(n) = n^4 + n^3 \) Thay \( x = n \): \[ f(n) = n^4 + n^3 + mn^2 + nn + p = n^4 + n^3 \] \[ n^4 + n^3 + mn^2 + n^2 + p = n^4 + n^3 \] \[ n^4 + 2n^3 + mn^2 + p = n^4 + n^3 \] \[ 2n^3 + mn^2 + p = n^3 \] \[ mn^2 + p = -n^3 \quad \text{(2)} \] Bước 3: Giải hệ phương trình (1) và (2) Từ (1): \[ nm + p = -m^3 \] Từ (2): \[ mn^2 + p = -n^3 \] Trừ phương trình (1) từ phương trình (2): \[ mn^2 + p - (nm + p) = -n^3 - (-m^3) \] \[ mn^2 - nm = -n^3 + m^3 \] \[ mn(n - 1) = m^3 - n^3 \] \[ mn(n - 1) = (m - n)(m^2 + mn + n^2) \] Do \( m \) và \( n \) là các số nguyên khác nhau, ta có: \[ mn(n - 1) = (m - n)(m^2 + mn + n^2) \] Bước 4: Tìm giá trị của \( m \) và \( n \) Giả sử \( m = 1 \) và \( n = -1 \): Thay vào phương trình (1): \[ 1(-1) + p = -(1)^3 \] \[ -1 + p = -1 \] \[ p = 0 \] Thay vào phương trình (2): \[ 1(-1)^2 + p = -(-1)^3 \] \[ 1 + p = 1 \] \[ p = 0 \] Như vậy, \( m = 1 \), \( n = -1 \), và \( p = 0 \). Kết luận: \[ m = 1, \quad n = -1, \quad p = 0 \]