..............

Bài tập 1: Để giải quyết các biểu thức trên, chúng ta sẽ sử dụng các tính chất của phương trình bậc hai và các công thức liên quan đến tổng và tích của các nghiệm. Phương trình đã cho là: \[ 2x^2 - 6x - 3 = 0 \] Theo định lý Viète, ta có: \[ x_1 + x_2 = \frac{-(-6)}{2} = 3 \] \[ x_1 x_2 = \frac{-3}{2} = -\frac{3}{2} \] Bây giờ, chúng ta sẽ tính giá trị của từng biểu thức: 1. \( A = x_1^2 + x_2^2 - 2x_1 - 2x_2 \) Ta biết rằng: \[ x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2 \] Thay vào: \[ x_1^2 + x_2^2 = 3^2 - 2 \left( -\frac{3}{2} \right) = 9 + 3 = 12 \] Do đó: \[ A = 12 - 2 \cdot 3 = 12 - 6 = 6 \] 2. \( B = 3x_1 x_2 - x_1^2 - x_2^2 \) Thay vào: \[ B = 3 \left( -\frac{3}{2} \right) - 12 = -\frac{9}{2} - 12 = -\frac{9}{2} - \frac{24}{2} = -\frac{33}{2} \] 3. \( C = x_1^2 + x_2^2 - x_1 x_2 - 19 \) Thay vào: \[ C = 12 - \left( -\frac{3}{2} \right) - 19 = 12 + \frac{3}{2} - 19 = \frac{24}{2} + \frac{3}{2} - \frac{38}{2} = \frac{27}{2} - \frac{38}{2} = -\frac{11}{2} \] 4. \( D = x_1^2 + x_2^2 + 3x_1 x_2 \) Thay vào: \[ D = 12 + 3 \left( -\frac{3}{2} \right) = 12 - \frac{9}{2} = \frac{24}{2} - \frac{9}{2} = \frac{15}{2} \] 5. \( E = x_1(5 - x_2) + x_2(5 - x_1) + 26 \) Rаскроем скобки и упростим: \[ E = 5x_1 - x_1 x_2 + 5x_2 - x_2 x_1 + 26 = 5(x_1 + x_2) - 2x_1 x_2 + 26 \] Теперь подставим значения: \[ E = 5 \cdot 3 - 2 \left( -\frac{3}{2} \right) + 26 = 15 + 3 + 26 = 44 \] 6. \( F = x_1^2 + x_2^2 - 3x_1 x_2 + 4 \) Теперь подставим значения: \[ F = 12 - 3 \left( -\frac{3}{2} \right) + 4 = 12 + \frac{9}{2} + 4 = \frac{24}{2} + \frac{9}{2} + \frac{8}{2} = \frac{41}{2} \] 7. \( G = x_1 x_2 - 2(x_1 + x_2) \) Теперь подставим значения: \[ G = -\frac{3}{2} - 2 \cdot 3 = -\frac{3}{2} - 6 = -\frac{3}{2} - \frac{12}{2} = -\frac{15}{2} \] 8. \( H = 2x_1 x_2 - x_1 - x_2 \) Теперь подставим значения: \[ H = 2 \left( -\frac{3}{2} \right) - 3 = -3 - 3 = -6 \] 9. \( K = 2x_1 + 2x_2 + 4x_1 x_2 \) Теперь подставим значения: \[ K = 2 \cdot 3 + 4 \left( -\frac{3}{2} \right) = 6 - 6 = 0 \] Итак, значения выражений: \[ A = 6 \] \[ B = -\frac{33}{2} \] \[ C = -\frac{11}{2} \] \[ D = \frac{15}{2} \] \[ E = 44 \] \[ F = \frac{41}{2} \] \[ G = -\frac{15}{2} \] \[ H = -6 \] \[ K = 0 \] Bài tập 2: Để giải quyết các biểu thức trên, chúng ta sẽ sử dụng các hệ số của phương trình bậc hai $4x^2 + 3x - 10 = 0$. Theo định lý Viète, ta có: \[ x_1 + x_2 = -\frac{3}{4} \] \[ x_1 x_2 = -\frac{10}{4} = -\frac{5}{2} \] Bây giờ, chúng ta sẽ tính từng biểu thức một. Biểu thức A: \[ A = x_1^2 x_2 + x_1 x_2^2 + x_1^2 + x_2^2 - x_1 x_2 \] Ta có: \[ x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2 \] \[ x_1^2 + x_2^2 = \left(-\frac{3}{4}\right)^2 - 2 \left(-\frac{5}{2}\right) \] \[ x_1^2 + x_2^2 = \frac{9}{16} + 5 = \frac{9}{16} + \frac{80}{16} = \frac{89}{16} \] Và: \[ x_1^2 x_2 + x_1 x_2^2 = x_1 x_2 (x_1 + x_2) \] \[ x_1^2 x_2 + x_1 x_2^2 = -\frac{5}{2} \left(-\frac{3}{4}\right) = \frac{15}{8} \] Do đó: \[ A = \frac{15}{8} + \frac{89}{16} - \left(-\frac{5}{2}\right) \] \[ A = \frac{15}{8} + \frac{89}{16} + \frac{40}{16} \] \[ A = \frac{30}{16} + \frac{89}{16} + \frac{40}{16} \] \[ A = \frac{159}{16} \] Biểu thức B: \[ B = \frac{x_1 + 1}{x_1} + \frac{x_2 + 1}{x_2} \] Ta có: \[ B = 1 + \frac{1}{x_1} + 1 + \frac{1}{x_2} \] \[ B = 2 + \frac{x_1 + x_2}{x_1 x_2} \] \[ B = 2 + \frac{-\frac{3}{4}}{-\frac{5}{2}} \] \[ B = 2 + \frac{3}{4} \times \frac{2}{5} \] \[ B = 2 + \frac{3}{10} \] \[ B = \frac{20}{10} + \frac{3}{10} \] \[ B = \frac{23}{10} \] Biểu thức C: \[ C = \frac{x_1^2}{x_2} + \frac{x_2^2}{x_1} \] Ta có: \[ C = \frac{x_1^3 + x_2^3}{x_1 x_2} \] \[ x_1^3 + x_2^3 = (x_1 + x_2)(x_1^2 - x_1 x_2 + x_2^2) \] \[ x_1^3 + x_2^3 = \left(-\frac{3}{4}\right) \left(\frac{89}{16} + \frac{5}{2}\right) \] \[ x_1^3 + x_2^3 = \left(-\frac{3}{4}\right) \left(\frac{89}{16} + \frac{40}{16}\right) \] \[ x_1^3 + x_2^3 = \left(-\frac{3}{4}\right) \left(\frac{129}{16}\right) \] \[ x_1^3 + x_2^3 = -\frac{387}{64} \] Do đó: \[ C = \frac{-\frac{387}{64}}{-\frac{5}{2}} \] \[ C = \frac{387}{64} \times \frac{2}{5} \] \[ C = \frac{387}{160} \] Biểu thức D: \[ D = x_1^2 - x_1 - x_2 + x_2^2 - 8 \] Ta có: \[ D = (x_1^2 + x_2^2) - (x_1 + x_2) - 8 \] \[ D = \frac{89}{16} - \left(-\frac{3}{4}\right) - 8 \] \[ D = \frac{89}{16} + \frac{12}{16} - \frac{128}{16} \] \[ D = \frac{89 + 12 - 128}{16} \] \[ D = \frac{-27}{16} \] Biểu thức E: \[ E = \frac{2x_1}{x_2} + \frac{2x_2}{x_1} - 3x_1 x_2 \] Ta có: \[ E = 2 \left(\frac{x_1}{x_2} + \frac{x_2}{x_1}\right) - 3 \left(-\frac{5}{2}\right) \] \[ E = 2 \left(\frac{x_1^2 + x_2^2}{x_1 x_2}\right) + \frac{15}{2} \] \[ E = 2 \left(\frac{\frac{89}{16}}{-\frac{5}{2}}\right) + \frac{15}{2} \] \[ E = 2 \left(-\frac{89}{40}\right) + \frac{15}{2} \] \[ E = -\frac{89}{20} + \frac{150}{20} \] \[ E = \frac{61}{20} \] Biểu thức F: \[ F = \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} - \frac{3}{2} \] Ta có: \[ F = \frac{x_1 + x_2}{x_1 x_2} - \frac{3}{2} \] \[ F = \frac{-\frac{3}{4}}{-\frac{5}{2}} - \frac{3}{2} \] \[ F = \frac{3}{10} - \frac{3}{2} \] \[ F = \frac{3}{10} - \frac{15}{10} \] \[ F = -\frac{12}{10} \] \[ F = -\frac{6}{5} \] Biểu thức G: \[ G = x_1 (2 - 2x_2) + x_2 (2 - x_1) \] Ta có: \[ G = 2x_1 - 2x_1 x_2 + 2x_2 - x_1 x_2 \] \[ G = 2(x_1 + x_2) - 3x_1 x_2 \] \[ G = 2 \left(-\frac{3}{4}\right) - 3 \left(-\frac{5}{2}\right) \] \[ G = -\frac{3}{2} + \frac{15}{2} \] \[ G = \frac{12}{2} \] \[ G = 6 \] Biểu thức H: \[ H = (x_1 + x_2)^2 - 5x_1 x_2 - 4 \] Ta có: \[ H = \left(-\frac{3}{4}\right)^2 - 5 \left(-\frac{5}{2}\right) - 4 \] \[ H = \frac{9}{16} + \frac{25}{2} - 4 \] \[ H = \frac{9}{16} + \frac{200}{16} - \frac{64}{16} \] \[ H = \frac{145}{16} \] Biểu thức K: \[ K = \frac{1}{x_1^3} + \frac{1}{x_2^3} - x_1 x_2 \] Ta có: \[ K = \frac{x_1^3 + x_2^3}{x_1^3 x_2^3} - x_1 x_2 \] \[ K = \frac{-\frac{387}{64}}{\left(-\frac{5}{2}\right)^3} - \left(-\frac{5}{2}\right) \] \[ K = \frac{-\frac{387}{64}}{-\frac{125}{8}} - \left(-\frac{5}{2}\right) \] \[ K = \frac{387}{64} \times \frac{8}{125} + \frac{5}{2} \] \[ K = \frac{387}{1000} + \frac{5}{2} \] \[ K = \frac{387}{1000} + \frac{2500}{1000} \] \[ K = \frac{2887}{1000} \] Kết luận: \[ A = \frac{159}{16} \] \[ B = \frac{23}{10} \] \[ C = \frac{387}{160} \] \[ D = -\frac{27}{16} \] \[ E = \frac{61}{20} \] \[ F = -\frac{6}{5} \] \[ G = 6 \] \[ H = \frac{145}{16} \] \[ K = \frac{2887}{1000} \] Bài tập 3: Để giải quyết các biểu thức \(A, B, C, D, E, F, G, H, K\) dựa trên phương trình \(2x^2 + 5x + 1 = 0\), ta sẽ sử dụng các công thức Viète và tính chất của phương trình bậc hai. Phương trình \(2x^2 + 5x + 1 = 0\) có các nghiệm \(x_1\) và \(x_2\). Theo công thức Viète: \[ x_1 + x_2 = -\frac{5}{2} \] \[ x_1 x_2 = \frac{1}{2} \] Bây giờ, ta sẽ tính từng biểu thức: 1. \( A = \frac{x_1}{x_2} + \frac{x_2}{x_1} + \frac{5}{3} \) \[ A = \frac{x_1^2 + x_2^2}{x_1 x_2} + \frac{5}{3} \] Ta biết rằng: \[ x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2 \] Thay vào: \[ x_1^2 + x_2^2 = \left( -\frac{5}{2} \right)^2 - 2 \cdot \frac{1}{2} = \frac{25}{4} - 1 = \frac{21}{4} \] Do đó: \[ A = \frac{\frac{21}{4}}{\frac{1}{2}} + \frac{5}{3} = \frac{21}{4} \cdot 2 + \frac{5}{3} = \frac{21}{2} + \frac{5}{3} = \frac{63}{6} + \frac{10}{6} = \frac{73}{6} \] 2. \( B = \frac{x_1 + 1}{x_2} + \frac{x_2 + 1}{x_1} \) \[ B = \frac{x_1}{x_2} + \frac{1}{x_2} + \frac{x_2}{x_1} + \frac{1}{x_1} = \frac{x_1^2 + x_2^2 + x_1 + x_2}{x_1 x_2} \] Ta đã biết: \[ x_1^2 + x_2^2 = \frac{21}{4} \] \[ x_1 + x_2 = -\frac{5}{2} \] Do đó: \[ B = \frac{\frac{21}{4} - \frac{5}{2}}{\frac{1}{2}} = \frac{\frac{21}{4} - \frac{10}{4}}{\frac{1}{2}} = \frac{\frac{11}{4}}{\frac{1}{2}} = \frac{11}{4} \cdot 2 = \frac{11}{2} \] 3. \( C = \frac{2x_1^2}{x_1 + x_2} + 2x_2 \) \[ C = \frac{2x_1^2}{-\frac{5}{2}} + 2x_2 = -\frac{4x_1^2}{5} + 2x_2 \] 4. \( D = \frac{x_1 + 2}{x_2} + \frac{x_2 + 2}{x_1} \) \[ D = \frac{x_1}{x_2} + \frac{2}{x_2} + \frac{x_2}{x_1} + \frac{2}{x_1} = \frac{x_1^2 + x_2^2 + 2(x_1 + x_2)}{x_1 x_2} \] Ta đã biết: \[ x_1^2 + x_2^2 = \frac{21}{4} \] \[ x_1 + x_2 = -\frac{5}{2} \] Do đó: \[ D = \frac{\frac{21}{4} + 2 \cdot -\frac{5}{2}}{\frac{1}{2}} = \frac{\frac{21}{4} - 5}{\frac{1}{2}} = \frac{\frac{21}{4} - \frac{20}{4}}{\frac{1}{2}} = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{2}} = \frac{1}{4} \cdot 2 = \frac{1}{2} \] 5. \( E = \frac{(2x_1 + 3)}{x_2} \cdot \frac{(2x_2 + 3)}{x_1} \) \[ E = \frac{(2x_1 + 3)(2x_2 + 3)}{x_1 x_2} = \frac{4x_1 x_2 + 6(x_1 + x_2) + 9}{x_1 x_2} \] Ta đã biết: \[ x_1 x_2 = \frac{1}{2} \] \[ x_1 + x_2 = -\frac{5}{2} \] Do đó: \[ E = \frac{4 \cdot \frac{1}{2} + 6 \cdot -\frac{5}{2} + 9}{\frac{1}{2}} = \frac{2 - 15 + 9}{\frac{1}{2}} = \frac{-4}{\frac{1}{2}} = -4 \cdot 2 = -8 \] 6. \( F = x_1^2 + x_2^2 - (x_1 - 1)(x_2 - 1) + 5 \) \[ F = x_1^2 + x_2^2 - (x_1 x_2 - x_1 - x_2 + 1) + 5 = x_1^2 + x_2^2 - x_1 x_2 + x_1 + x_2 - 1 + 5 \] Ta đã biết: \[ x_1^2 + x_2^2 = \frac{21}{4} \] \[ x_1 x_2 = \frac{1}{2} \] \[ x_1 + x_2 = -\frac{5}{2} \] Do đó: \[ F = \frac{21}{4} - \frac{1}{2} - \frac{5}{2} + 4 = \frac{21}{4} - \frac{2}{4} - \frac{10}{4} + \frac{16}{4} = \frac{21 - 2 - 10 + 16}{4} = \frac{25}{4} \] 7. \( G = x_1^2 + x_2^2 + 3(x_1 + x_2) \) \[ G = \frac{21}{4} + 3 \cdot -\frac{5}{2} = \frac{21}{4} - \frac{15}{2} = \frac{21}{4} - \frac{30}{4} = -\frac{9}{4} \] 8. \( H = \frac{x_1}{x_2^2} + \frac{x_2}{x_1^2} \) \[ H = \frac{x_1^3 + x_2^3}{x_1^2 x_2^2} \] Ta biết rằng: \[ x_1^3 + x_2^3 = (x_1 + x_2)(x_1^2 - x_1 x_2 + x_2^2) \] Do đó: \[ x_1^3 + x_2^3 = -\frac{5}{2} \left( \frac{21}{4} - \frac{1}{2} \right) = -\frac{5}{2} \left( \frac{21}{4} - \frac{2}{4} \right) = -\frac{5}{2} \cdot \frac{19}{4} = -\frac{95}{8} \] \[ x_1^2 x_2^2 = \left( \frac{1}{2} \right)^2 = \frac{1}{4} \] Do đó: \[ H = \frac{-\frac{95}{8}}{\frac{1}{4}} = -\frac{95}{8} \cdot 4 = -\frac{95}{2} \] 9. \( K = 5x_1^2 + 5x_2^2 - 3x_1 x_2 + 18 \) \[ K = 5 \left( \frac{21}{4} \right) - 3 \left( \frac{1}{2} \right) + 18 = \frac{105}{4} - \frac{3}{2} + 18 = \frac{105}{4} - \frac{6}{4} + \frac{72}{4} = \frac{105 - 6 + 72}{4} = \frac{171}{4} \] Đáp số: \[ A = \frac{73}{6} \] \[ B = \frac{11}{2} \] \[ C = -\frac{4x_1^2}{5} + 2x_2 \] \[ D = \frac{1}{2} \] \[ E = -8 \] \[ F = \frac{25}{4} \] \[ G = -\frac{9}{4} \] \[ H = -\frac{95}{2} \] \[ K = \frac{171}{4} \] Bài tập 4: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng các hệ số của phương trình bậc hai để tìm giá trị của các biểu thức đã cho mà không cần giải phương trình. Phương trình đã cho là: \[ 10x^2 + x - 5 = 0 \] Theo định lý Viète, ta có: \[ x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{1}{10} \] \[ x_1 x_2 = \frac{c}{a} = -\frac{5}{10} = -\frac{1}{2} \] Bây giờ, chúng ta sẽ tính giá trị của các biểu thức \(A\), \(B\), và \(D\): Biểu thức \(A\): \[ A = (x_1 - x_2)^2 + x_1^2 x_2 + x_1 x_2^2 - 4 \] Ta biết rằng: \[ (x_1 - x_2)^2 = (x_1 + x_2)^2 - 4x_1 x_2 \] Thay vào: \[ (x_1 - x_2)^2 = \left(-\frac{1}{10}\right)^2 - 4 \left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{100} + 2 = \frac{1}{100} + \frac{200}{100} = \frac{201}{100} \] Tiếp theo, ta tính: \[ x_1^2 x_2 + x_1 x_2^2 = x_1 x_2 (x_1 + x_2) = -\frac{1}{2} \left(-\frac{1}{10}\right) = \frac{1}{20} \] Vậy: \[ A = \frac{201}{100} + \frac{1}{20} - 4 = \frac{201}{100} + \frac{5}{100} - \frac{400}{100} = \frac{201 + 5 - 400}{100} = \frac{-194}{100} = -\frac{97}{50} \] Biểu thức \(B\): \[ B = x_1^2 + x_2^2 - \frac{5}{x_1} - \frac{5}{x_2} \] Ta biết rằng: \[ x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2 = \left(-\frac{1}{10}\right)^2 - 2 \left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{100} + 1 = \frac{1}{100} + \frac{100}{100} = \frac{101}{100} \] Tiếp theo, ta tính: \[ \frac{5}{x_1} + \frac{5}{x_2} = 5 \left( \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} \right) = 5 \left( \frac{x_1 + x_2}{x_1 x_2} \right) = 5 \left( \frac{-\frac{1}{10}}{-\frac{1}{2}} \right) = 5 \left( \frac{1}{10} \times \frac{2}{1} \right) = 5 \times \frac{1}{5} = 1 \] Vậy: \[ B = \frac{101}{100} - 1 = \frac{101}{100} - \frac{100}{100} = \frac{1}{100} \] Biểu thức \(D\): \[ D = \frac{5}{x_1^2} + \frac{5}{x_2^2} - 7(x_1 + x_2) \] Ta biết rằng: \[ \frac{5}{x_1^2} + \frac{5}{x_2^2} = 5 \left( \frac{1}{x_1^2} + \frac{1}{x_2^2} \right) = 5 \left( \frac{x_1^2 + x_2^2}{(x_1 x_2)^2} \right) = 5 \left( \frac{\frac{101}{100}}{\left(-\frac{1}{2}\right)^2} \right) = 5 \left( \frac{\frac{101}{100}}{\frac{1}{4}} \right) = 5 \left( \frac{101}{100} \times 4 \right) = 5 \left( \frac{404}{100} \right) = 5 \times \frac{404}{100} = \frac{2020}{100} = 20.2 \] Tiếp theo, ta tính: \[ 7(x_1 + x_2) = 7 \left(-\frac{1}{10}\right) = -\frac{7}{10} \] Vậy: \[ D = 20.2 - \left(-\frac{7}{10}\right) = 20.2 + 0.7 = 20.9 \] Đáp số: \[ A = -\frac{97}{50} \] \[ B = \frac{1}{100} \] \[ D = 20.9 \]